Grupa ilorazowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa ilorazowa – zbiór warstw danej grupy względem jej pewnej podgrupy normalnej, tj. szczególny podział grupy (na niepuste podzbiory) uwzględniający jej strukturę, który sam tworzy grupę z naturalnie określonym działaniem pochodzącym od grupy wyjściowej. Z teoriomnogościowego punktu widzenia jest to zbiór ilorazowy, w którym wprowadzono zgodne z działaniem w grupie działanie na klasach relacji równoważności wyznaczającej wspomniany podział.

W przypadku grup w zapisie addytywnym powinno mówić się formalnie o „grupach różnicowych”, zamiast bardziej adekwatnych w zapisie multiplikatywnym „grupach ilorazowych”[a], co czynili klasyczni badacze teorii grup, np. Zariski i Samuel[1], czy Jacobson[2]; współcześnie stosuje się wyłącznie nazewnictwo i notację multiplikatywną – nawet w przypadku grup w zapisie addytywnym, zob. Lang[3], czy Fuchs[4]. W artykule utrzymano współcześnie stosowaną konwencję.

Motywacja[edytuj]

 Zobacz też: arytmetyka modularna.

Konstrukcja grupy ilorazowej ma na celu uogólnienie arytmetyki modularnej grupy addytywnej w której działania pochodzą z grupy addytywnej liczb całkowitych na dowolną grupę (zob. Przykłady). Dla danych grupy i jej dowolnej podgrupy należy więc wprowadzić takie działanie dwuargumentowe na zbiorze warstw grupy względem które byłoby odzwierciedleniem działania w grupie i uczyniłoby ze zbioru warstw grupę. Natychmiast pojawiają się dwa problemy:

  • Po pierwsze istnieją zbiory warstw lewostronnych i prawostronnych grupy względem jeżeli jest przemienna, to zbiory te są równe, jednakże w ogólności mogą się one istotnie od siebie różnić (zob. przykład). W którym z nich wprowadzić strukturę grupy? Może oba te zbiory można przekształcić w grupy? Jeśli tak, to jaka zachodzi między nimi relacja? Jeśli nie, to dlaczego jest to niemożliwe?
  • Druga kwestia dotyczy samego działania. Zasadniczym problemem wprowadzania działania na zbiorze jest to, czy dodawanie elementów tego zbioru jest dobrze określone; wtedy sprawdzenie, że jest grupą nie przedstawia większych problemów. Podobnie ma się rzecz z grupą ilorazową.

Okazuje się, że postawione zagadnienia są ze sobą blisko powiązane i dlatego odpowiedzi na nie zostaną przedstawione równocześnie.

Wprowadzenie[edytuj]

 Zobacz też: warstwapodgrupa normalna.

Niech będzie grupą, a będzie jej dowolną podgrupą, zaś oznacza zbiór warstw lewostronnych grupy względem czyli podzbiorów postaci dla Najbardziej naturalnym kandydatem[b] na działanie w jest wybór elementów zgodnie ze wzorem

Należy jednak najpierw sprawdzić, iż tak zadane działanie jest dobrze określone na gdyż powyższy wzór wskazujący iloczyn wykorzystuje do tego elementy które mogą być przecież wybrane na wiele sposobów. Powyższa reguła mówi w istocie, że aby obliczyć iloczyn elementów należy najpierw wziąć dla którego następnie wziąć dla którego po czym obliczyć iloczyn w grupie i wreszcie wybrać warstwę odpowiadającą iloczynowi która ma być iloczynem Dlatego należy się upewnić, że w wyniku zastosowania tej procedury dla danych dwóch warstw lewostronnych otrzymuje się zawsze tę samą warstwę lewostronną; nawet wtedy, gdy wybrano inne elementy z warstw lewostronnych do ich reprezentowania. Problem ten można podsumować następująco: czy wspomnianym warstwom lewostronnym przyporządkowuje się zawsze ten sam iloczyn niezależnie od sposobu ich identyfikacji (tzw. funkcyjność) i czy sam jest on warstwą lewostronną (tzw. zamkniętość), tj. czy tak zdefiniowane mnożenie jest działaniem wewnętrznym?[c]

Powyższy wzór daje dobrze określone działanie wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich i zachodzi implikacja postaci: oraz pociągają co korzystając z własności warstw można zapisać w równoważnej postaci: oraz pociąga co po podstawieniu upraszcza się do przy czym (korzystając raz jeszcze z własności warstw) można zapisać to jako czy też dla każdego [d]. Ostatni wzór jest jedną z charakteryzacji podgrupy jako podgrupy normalnej w dlatego też działanie mnożenia warstw lewostronnych grupy względem podgrupy jest dobrze określone wtedy i tylko wtedy, gdy podgrupa jest normalna[e].

Wspomniany warunek normalności jest równoważny innemu, mianowicie dla każdego oznacza on, że każda warstwa lewostronna jest równocześnie warstwą prawostronną względem innymi słowy zbiory warstw lewo- i prawostronnych grupy względem są równe wtedy i tylko wtedy, gdy jest normalna w – daje to odpowiedź na oba z postawionych w poprzedniej sekcji pytań: nie ma potrzeby przejmować się rozróżnianiem tych zbiorów wtedy (i tylko wtedy), gdy działanie jest dobrze określone (w związku z tym działanie na warstwach prawostronnych również jest dobrze określone: w istocie działania te są wtedy identyczne).

Konstrukcje[edytuj]

Powyższe rozważania prowadzą wprost do konstrukcji wprowadzającej mnożenie warstw opisanej w kolejnej sekcji, bardziej naturalną konstrukcję opisano w sekcji Iloczyn kompleksowy, zaś najogólniejszą z nich opisano w sekcji Kongruencja.

Mnożenie warstw[edytuj]

 Zobacz też: warstwa.

Niech będzie podgrupą normalną w grupie Zbiór z działaniem mnożenia warstw określonym wzorem

tworzy grupę:

  • niezależność i wewnętrzność: zgodnie z powyższym rozumowaniem działanie jest dobrze określone, a iloczyn dwóch warstw lewostronnych również jest warstwą lewostronną;
  • łączność: dla dowolnych zachodzi na mocy łączności elementów
  • element neutralny: warstwa jest lewostronnym elementem neutralnym, gdzie jest lewostronnym elementem neutralnym grupy, ponieważ dla wszystkich
  • element odwrotny: każda warstwa lewostronna ma element odwrotny lewostronnie w postaci warstwy lewostronnej gdyż jest elementem neutralnym.

Grupę tę nazywa się grupą ilorazową lub krótko ilorazem przez i oznacza zwykle tak jak zbiór warstw, zazwyczaj

Iloczyn kompleksowy[edytuj]

 Zobacz też: iloczyn kompleksowy.

Mnożenie warstw polegające na wyborze reprezentantów jest sztuczne: dużo bardziej naturalnym podejściem byłoby traktowanie wszystkich elementów warstw w jednakowy sposób, nie zaś wyróżnianie jednego z nich, a następnie wykazywanie, że nie jest to niesprawiedliwością w stosunku do pozostałych. Z tego powodu wprowadza się naturalnie określone działanie na dowolnych niepustych podzbiorach danej grupy nazywanych kompleksami, które w przypadku warstw (będących kompleksami) pokrywa się z opisanym wyżej mnożeniem warstw.

Jeżeli są kompleksami (tzn. niepustymi podzbiorami) grupy to ich iloczynem nazywa się zbiór dla warstw stosuje się notację oraz gdzie zaś jest podgrupą w Iloczyn kompleksowy warstw lewostronnych grupy względem podgrupy jest warstwą lewostronną wtedy i tylko wtedy, gdy podgrupa jest normalna. Otóż iloczynem oraz dla jest zbiór przy czym Zatem jest warstwą lewostronną grupy względem wtedy i tylko wtedy, gdy jest warstwą lewostronną względem zawierającą tzn. jest warstwą lewostronną względem wtedy i tylko wtedy, gdy Wystarczy więc wykazać, że dla wszystkich zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy jest normalna w [f].

Porównując działania mnożenia warstw grupy względem podgrupy oraz ich iloczyn kompleksowy można zauważyć, że mnożenie dwóch warstw lewostronnych jest zawsze warstwą lewostronną, o ile działanie to jest dobrze określone, co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy jest normalna w z drugiej zaś strony iloczyn kompleksowy dwóch warstw jest zawsze dobrze określonym kompleksem, który jest warstwą lewostronną wtedy i tylko wtedy, gdy warstwy wyznaczane są przez podgrupę normalną: związek w powyższym rozumowaniu dowodzi, że działania te są identyczne pod warunkiem normalności podgrupy w grupie

Kongruencja[edytuj]

 Zobacz też: kongruencja.

Z szerszego punktu widzenia przejście od relacji równoważności do warstw jest wygodnym (ze względu na algebraiczną charakteryzację klas równoważności), ale nieco ograniczającym (z uwagi na zawężoną stosowalność tego podejścia) krokiem: w przypadku algebr ogólnych nie można wyróżnić podalgebry będącej odpowiednikiem podgrupy normalnej, która wskazywałaby relację równoważności zachowującą daną strukturę algebraiczną – jedynym właściwym rozwiązaniem jest pozostanie przy relacjach równoważności i zagwarantowanie w algebrze ilorazowej dobrego określenia (niezależności od wyboru reprezentantów) działań pochodzących z algebry wyjściowej[g].

Na relację równoważności określoną na w której wtedy i tylko wtedy, gdy można patrzeć jako na podzbiór Wówczas wtedy i tylko wtedy, gdy [h] – relację tę nazywa się kongruencją (lewostronną)[i]. Przedstawione dalej obserwacje są powtórzeniem rozumowań dotyczących mnożenia warstw, ich związku z relacjami równoważności i roli podgrup normalnych (zob. warstwa: Własności, Wprowadzenie) w języku kongruencji. W zbiorze istnieje naturalna struktura grupy odziedziczona z grupy (w postaci iloczynu prostego), a ponieważ jest podzbiorem to ma sens pytanie, czy i kiedy tworzy grupę w Sytuacja ta miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy jest normalna w [j]; wynika stąd, że mnożenie na zbiorze ilorazowym grupy przez relację równoważności na tej grupie zdefiniowane wzorem jest dobrze określone wtedy i tylko wtedy, gdy jest podgrupą w [k]; co więcej, wszystkie tego rodzaju równoważności wyznaczane są przez podgrupy normalne: jeżeli jest relacją równoważności na której odpowiada zbiór zaś to podgrupa jest normalna w oraz wtedy i tylko wtedy, gdy [l].

Ogólnie relację równoważności na algebrze ogólnej dla której jest podalgebrą nazywa kongruencją. W przypadku grup i pierścieni można odejść od kongruencji na rzecz badania indukującej jej podgrupy normalnej o powyższej postaci. Przystawanie utożsamia ze sobą pewne elementy, jednakże w przypadku grup zamiast utożsamiać element z elementem można dokonać utożsamienia z elementem neutralnym: podgrupa normalna jest właśnie zbiorem elementów równoważnych elementowi neutralnemu, co tłumaczy intuicję grupy ilorazowej jako grupy w której dokonano utożsamiania jej elementów z elementem neutralnym. W przypadku ogólniejszych struktur (takich jak półgrupy) nie ma możliwości przedstawienia dowolnego elementu neutralnego w analogicznej postaci, dlatego należy śledzić obie strony odpowiedniej równości. W przypadku grup efektywniejsze operowanie warstwami grupy względem podgrupy (pozostającymi we wzajemnej odpowiedniości z klasami odpowiadających im relacji równoważności, zob. warstwa: Własności), a warunkiem dobrej określoności jest normalność wspomnianej podgrupy (jak pokazano to we Wprowadzeniu); analogiczna sytuacja ma miejsce dla pierścieni, a przez to również modułów, czy przestrzeni liniowych (zob. Uogólnienia).

Własności[edytuj]

Grupa nie jest podgrupą w gdyż jej elementami są niepuste podzbiory (kompleksy) grupy a nie jej elementy. Ponieważ działanie w pochodzi od działania w to grupy ilorazowe dziedziczą niektóre z własności grup bazowych: cykliczność, przemienność, nilpotentność, rozwiązalność oraz skończone generowanie; ponadto rząd grupy ilorazowej przez jest równy z definicji indeksowi w tzn. przy czym jeżeli jest skończona, to (twierdzenia odwrotne nie muszą zachodzić).

Każda grupa jest izomorficzna z grupą ilorazową pewnej grupy wolnej (zob. prezentacja grupy).

Rozkład[edytuj]

Jeśli jest podgrupą normalną w to przekształcenie dane wzorem jest homomorfizmem, a nawet epimorfizmem, nazywanym kanonicznym lub naturalnym[m] o jądrze

Twierdzenie o homomorfizmie
Niech będzie homomorfizmem grup, a będzie podgrupą w Wówczas istnieje jeden i tylko jeden homomorfizm spełniający
który dany jest wzorem dla

Wynika stąd, iż obraz ma tę samą strukturę, co grupa ilorazowa przez jądro mianowicie zachodzi.

Twierdzenie o izomorfizmie
Niech będzie homomorfizmem grup, a Wówczas istnieje jeden i tylko jeden monomorfizm jak w twierdzeniu wyżej i istnieje izomorfizm
w szczególności: jeżeli jest epimorfizmem, to jest wspomnianym izomorfizmem.

Homomorfizm, którego obraz podgrupy normalnej również jest podgrupą normalną nazywa się normalnym; wszystkie epimorfizmy grup są normalne, istnieją jednak monomorfizmy, które nie są normalne. Każdy homomorfizm ma jądro w sensie kategoryjnym; dlatego dowolny homomorfizm można przedstawić jako złożenie monomorfizmu oraz epimorfizmu Wspomniany rozkład, nazywany również faktoryzacją, można przedstawić za pomocą ciągu homomorfizmów: kolejno monomorfizmu i epimorfizmu między grupami przy czym obraz pierwszego z nich jest jądrem drugiego; krótko

jest krótkim ciągiem dokładnym. Z tego powodu twierdzenie o izomorfizmie nazywa się też twierdzeniem o faktoryzacji. Nazwę można rozumieć dwojako: z jednej strony, jak opisano wyżej, homomorfizm rozkłada się/faktoryzuje na homomorfizmy (lub, że dzieli się/faktoryzuje przez ); z drugiej strony można powiedzieć, że to grupa rozkłada się/faktoryzuje za pomocą pewnego homomorfizmu na jego jądro i obraz – w ogólności jest iloczynem półprostym. W przypadku grup przemiennych monomorfizmy są zawsze morfizmami normalnymi, dlatego wspomniany rozkład jest iloczynem prostym ( jest sumą prostą w notacji addytywnej).

Podgrupy[edytuj]

Między zbiorem wszystkich podgrup w zawierających a zbiorem wszystkich podgrup w istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość. Niech oznacza zbiór podgrup grupy a oznacza zbiór podgrup grupy zawierających podgrupę niech podobnie oraz będą zbiorami podgrup normalnych odpowiadającymi poprzednim. Wówczas istnieje bijekcja dana wzorem

dla dowolnej podgrupy tzn.

Podgrupom odpowiadają zatem Warunek zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ma też przy tym miejsce równość indeksów Ponadto oraz gdzie oznacza grupę generowaną przez [n]. Wreszcie wtedy i tylko wtedy, gdy wówczas jest izomorficzna z co jest treścią trzeciego twierdzenia o izomorfizmie.

Przytoczonej listy własności podgrup zachowywanych w powyższej odpowiedniości przy odwzorowaniu na podgrupy grupy ilorazowej nie można uznać za wyczerpującą. Powyższa odpowiedniość jest przykładem połączenia Galois (a nawet odpowiedniości Galois) między kratami podgrup danej grupy i jej ilorazu.

Nadgrupy[edytuj]

 Zobacz też: rozszerzenie grupy.

Grupę nazywa się rozszerzeniem grupy przez wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje krótki ciąg dokładny

gdzie jest monomorfizmem, jest epimorfizmem grup (zob. homomorfizm grup) oraz obraz pierwszego homomorfizmu jest jądrem drugiego (por. Rozkład). Wtedy jest podgrupą normalną w zaś jest izomorficzna z grupą ilorazową Jeżeli zawiera się w centrum to nazywa się rozszerzeniem centralnym. Idee te dają pewną odpowiedź na tzw. problem rozszerzenia, czyli pytanie o możliwość zrekonstruowania (oraz sposobu samej konstrukcji) w postaci iloczynów prostego lub półprostego grupy z grup, które miałyby pełnić dla niej rolę podgrupy normalnej i grupy ilorazowej (przez wspomnianą podgrupę).

Przykłady[edytuj]

Podgrupy trywialna i niewłaściwa grupy które są w niej normalne, dają najprostsze przykłady grup ilorazowych: o strukturze grupy trywialnej oraz mająca strukturę grupy Innym przykładem może być grupa ilorazowa oznaczana zwykle symbolem grupy addytywnej liczb całkowitych przez jej podgrupę normalną[o] wszystkich całkowitych wielokrotności liczby

Tabliczka działania grupy z warstwami względem podgrupy
+ 0 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 11
0 0 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 11
4 4 8 0 5 9 1 6 10 2 7 11 3
8 8 0 4 9 1 5 10 2 6 11 3 7
1 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 0
5 5 9 1 6 10 2 7 11 3 8 0 4
9 9 1 5 10 2 6 11 3 7 0 4 8
2 2 6 10 3 7 11 4 8 0 5 9 1
6 6 10 2 7 11 3 8 0 4 9 1 5
10 10 2 6 11 3 7 0 4 8 1 5 9
3 3 7 11 4 8 0 5 9 1 6 10 2
7 7 11 3 8 0 4 9 1 5 10 2 6
11 11 3 7 0 4 8 1 5 9 2 6 10
Tabliczka działania grupy
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2


Niech oznacza grupę multiplikatywną tj. niezerowych liczb rzeczywistych z działaniem ich mnożenia, zaś będzie jej podgrupą dodatnich liczb rzeczywistych. Funkcja wartości bezwzględnej dana wzorem jest epimorfizmem[p], a ponadto Na mocy twierdzenia o izomorfizmie grupę można utożsamiać z grupą ilorazową której warstwami są pary liczb przeciwnych dla a ich mnożenie dane jest dla wzorem

Podobnie jak wyżej[o] podgrupa jest normalna w a ponadto wyznacza podział na dwie warstwy dodatnich oraz ujemnych liczb rzeczywistych; działanie mnożenia warstw można spełnia wtedy

w związku z czym utożsamiając warstwy z reprezentującymi je odpowiednio liczbami ustala się izomorfizm grupy ilorazowej z podgrupą grupy Dlatego epimorfizm o jądrze to w istocie funkcja signum (funkcja znaku) dla niezerowej liczby rzeczywistej.

Number-line.svg

Uogólnienia[edytuj]

 Osobny artykuł: konstrukcje ilorazowe.

Konstrukcja grupy ilorazowej jest punktem wyjścia dla analogicznych struktur, których podstawą jest pewna grupa. Jest tak w przypadku pierścieni, które są grupami przemiennymi (ze względu na dodawanie) z dodatkowym działaniem mnożenia, modułów będących grupami przemiennymi z dodatkowym działaniem mnożenia przez skalary należące do ustalonego pierścienia, które jest zgodne z pozostałymi działaniami, czy przestrzeni liniowych będących modułami, w których pierścień zastąpiono ciałem[q]. Dlatego w ilorazowych: pierścieniu, module, przestrzeni liniowej część teorii dotyczącą struktury grupowej można przyjąć jako daną z góry (w powyższych przykładach: działanie dodawania) skupiając się wyłącznie na zapewnieniu zgodności pozostałych działań w danej strukturze ilorazowej.

Wprowadzając relację równoważności w obiekcie matematycznym danej kategorii dąży się, by uzyskany zbiór ilorazowy był strukturą tego samego rodzaju, co struktura wyjściowa – jak przedstawiono to w tym artykule w przypadku grup. Przykładowo w przestrzeniach topologicznych obecna jest, zwykle niealgebraiczna, struktura nazywana topologią; zadając na niej relację równoważności uzyskuje się przestrzeń ilorazową, czyli zbiór ilorazowy z tzw. topologią ilorazową, tzn. najmniejszą topologią pochodzącą od topologii przestrzeni wyjściowej, dla której odwzorowanie ilorazowe zachowywałoby strukturę topologiczną, tj. było ciągłe (jest to odpowiednik żądania, by odwzorowanie ilorazowe dla grup zachowywało ich strukturę algebraiczną, czyli było homomorfizmem). Jeżeli przestrzeń topologiczna ma również strukturę grupową, jak ma to miejsce w przypadku struktur mieszanych takich jak grupy topologiczne, czy przestrzenie liniowo-topologiczne, to wymaga się zwykle zachowania obu struktur i związków między nimi (w tym przypadku żądając najczęściej, by odwzorowanie ilorazowe było ciągłym homomorfizmem[r]).

Z drugiej strony ze strukturami algebraicznymi wiąże się struktury topologiczne ułatwiające badanie własności algebr za pomocą topologii, tego rodzaju struktury nazywa się często „spektrami” („widmami”), np. przestrzeń Stone’a dla algebr Boole’a[s], przestrzeń/spektrum Gelfanda dla C*-algebr (zob. twierdzenie Banacha-Stone’a), przestrzeń/spektrum Berkowicza dla pierścieni Banacha, czy spektrum dowolnego pierścienia przemiennego albo powierzchnia Riemanna (z topologią Zariskiego) dla rozszerzeń ciał.

Zrezygnowanie z warunku normalności podgrupy względem grupy daje strukturę nazywaną przestrzenią jednorodną[b].

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
  • Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4

Przypisy

  1. Oscar Zariski, Pierre Samuel: Commutative Algebra. Wyd. 1. T. I. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1975, seria: Graduate Texts in Mathematics. 28. ISBN 978-0-387-90089-6. ISSN 0072-5285. (ang.)
  2. Nathan Jacobson: Lectures in Abstract Algebra. Wyd. 1. T. I. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1951, seria: Graduate Texts in Mathematics. 30. ISBN 978-1-4684-7303-2. ISSN 0072-5285. (ang.)
  3. Serge Lang: Algebra. Wyd. 3. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2002, seria: Graduate Texts in Mathematics. DOI: 10.1007/978-1-4613-0041-0. 211. ISBN 978-0-387-95385-4. ISSN 0072-5285. (ang.)
  4. László Fuchs: Infinite abelian groups. T. I. Nowy Jork: Academic Press, 1970, seria: Pure and Applied Mathematics. 36. (ang.)

Uwagi

  1. W związku z tym zamiast dalej omawianej notacji „” dla grupy ilorazowej wraz z nazwą „grupa różnicowa” stosowana powinna być notacja „”; nawet mimo to, że notacja warstw w zapisie multiplikatywnym ma postać , a w addytywnym – „” (warstwy są elementami grup ilorazowych/różnicowych).
  2. a b Na zbiorze warstw lewostronnych grupy względem można określić działanie wzorem które nie daje struktury grupy, gdyż jest jedynie działaniem grupy na zbiorze Na zbiorze warstw, jak na każdym innym zbiorze, można określić działanie czyniące z niego grupę (pod założeniem aksjomatu wyboru; w istocie jest to równoważne aksjomatowi wyboru, zob. grupa wolna), jednakże w ogólności nie będzie miało ono żadnego związku z działaniem w
  3. Zwykle definicje funkcji są dobrze określone, jednakże o konieczności sprawdzania może przekonać zdefiniowany w następujący sposób homomorfizm grup dany jako funkcja tożsamościowa (bądź nieco dokładniej: ) W tym przypadku zachodzi sprzeczność
  4. Konieczność normalności widać dokładniej przy następującym przedstawieniu warunku dobrego określenia działania: dla dowolnych równość ma pociągać a z równości ma wynikać W drugiej implikacji nie wymaga się niczego ponad łączność działania w jednakże w pierwszej niezbędny jest krok od do a więc zapewnienie dla każdego
  5. Podsumowując – konieczność: jeżeli oraz to dostateczność: dla każdego na mocy (zobacz warstwa: Własności), zachodzi równość oraz czyli zatem a więc dla każdego skąd gdzie
  6. Jeżeli jest normalna w to Istotnie: normalność oznacza dla każdego a więc dla dowolnych zachodzi gdyż (co wynika z ) oraz na mocy ogólnych własności iloczynu kompleksowego. Odwrotnie: zakładając dla dowolnych otrzymuje się czyli a stąd tj. dla wszystkich co jest jedną z charakteryzacji normalności w grupie
  7. Jest to równoważne ze zgodnością z homomorfizmami danej algebry (które ją zachowują; por. warstwa: Motywacja).
  8. W istocie zwykle tak definiowana jest relacja równoważności, tzn. tutaj jednak
  9. Podany wzór definiuje również relację kongruencji prawostronnej, która zostanie tymczasowo pominięta w tych rozważaniach (zob. warstwa: Normalność).
  10. Element neutralny: zbiór zawiera (a nawet całą przekątną); niech będzie normalna; element odwrotny: jeżeli to czyli stąd wzięcie odwrotności każdego z elementów daje czyli zamkniętość: jeżeli to oraz czyli tzn. Odwrotnie, niech będzie podgrupą: jeżeli oraz to skąd czyli co oznacza, że działanie jest dobrze określone, a więc na mocy stwierdzenia z Wprowadzenia podgrupa jest normalna w
  11. Dostateczność: jeżeli jest podgrupą w oraz i to a więc co oznacza, że mnożenie jest dobrze określone. Konieczność: niech mnożenie będzie dobrze określone; ponieważ jest równoważnością, to ponadto jeżeli to czyli jest równe czyli z powyższych rozważań wynika, że jest podmonoidem w należy jeszcze sprawdzić, że jest zamknięty ze względu na branie odwrotności – niech pomnożenie tego elementu lewostronnie przez oraz prawostronnie przez otrzymuje się a na mocy symetryczności relacji otrzymuje się dowodzi to, iż jest podgrupą w
  12. Niech oznacza podgrupę trywialną w Grupę można utożsamiać z podgrupą za pomocą izomorfizmu podgrupa odpowiada części wspólnej podgrup oraz a zatem jest podgrupą w Relacja istotnie jest kongruencją (lewostronną) modulo gdyż wtedy i tylko wtedy, gdy (zob. własności warstw); warunek ten jest równoważny ciągowi następujących: co jest równoważne normalność wynika teraz z dobrego określenia mnożenia warstw (lub klas równoważności ).
  13. Zob. transformacja naturalna.
  14. Jeżeli normalne, a nawet tylko permutowalne, to jest w istocie ich iloczynem kompleksowym oba powyższe warunki są spełnione, gdy jest przemienna.
  15. a b Każda podgrupa grupy przemiennej, jaką jest czy jest w niej normalna.
  16. Przekształcenie jest tożsamością.
  17. Każde ciało jest przykładem pierścienia; w ciele niezerowe elementy tworzą grupę przemienną z działaniem mnożenia.
  18. W skończeniewymiarowych przestrzeniach współrzędnych można w naturalny sposób wprowadzić strukturę topologiczną (np. za pomocą działania algebraicznego nazywanego iloczynem skalarnym albo wprowadzając pojęcia odległości, czy długości); okazuje się, że wszystkie homomorfizmy tych struktur są w istocie ciągłe w dowolnej wprowadzonej topologii. Sytuacja ulega diametralnej zmianie w przestrzeniach liniowych nieskończonego wymiaru, na których można określić homomorfizmy, które nie są ciągłe (zob. operator liniowy nieciągły).
  19. Jest to przypadek szczególny topologii Zariskiego ze względu na odpowiedniość z pierścieniami Boole’a.