Grupa ilorazowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Grupa ilorazowa – w teorii grup zbiór warstw danej grupy względem jej pewnej podgrupy normalnej, tj. szczególny podział grupy (na niepuste podzbiory) uwzględniający jej strukturę, który sam tworzy grupę z naturalnie określonym działaniem pochodzącym od grupy wyjściowej. Z teoriomnogościowego punktu widzenia jest to zbiór ilorazowy, w którym wprowadzono zgodne z działaniem w grupie działanie na klasach relacji równoważności wyznaczającej wspomniany podział.

Motywacja[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: arytmetyka modularna.

Konstrukcja grupy ilorazowej ma na celu uogólnienie arytmetyki modularnej grupy addytywnej \scriptstyle \mathbb Z_n, w której działania pochodzą z grupy addytywnej liczb całkowitych \scriptstyle \mathbb Z, na dowolną grupę (zob. Przykłady). Dla danych grupy \scriptstyle G i jej dowolnej podgrupy \scriptstyle H należy więc wprowadzić takie działanie dwuargumentowe na zbiorze warstw grupy \scriptstyle G względem \scriptstyle H, które byłoby odzwierciedleniem działania w grupie \scriptstyle G i uczyniłoby ze zbioru warstw grupę. Natychmiast pojawiają się dwa problemy:

  • Po pierwsze istnieją zbiory warstw lewostronnych i prawostronnych grupy \scriptstyle G względem \scriptstyle H; jeżeli \scriptstyle G jest przemienna, to zbiory te są równe, jednakże w ogólności mogą się one istotnie od siebie różnić (zob. przykład). W którym z nich wprowadzić strukturę grupy? Może oba te zbiory można przekształcić w grupy? Jeśli tak, to jaka zachodzi między nimi relacja? Jeśli nie, to dlaczego jest to niemożliwe?
  • Druga kwestia dotyczy samego działania. Zasadniczym problemem wprowadzania działania na zbiorze \scriptstyle \mathbb Z_n jest to, czy dodawanie elementów tego zbioru jest dobrze określone; wtedy sprawdzenie, że \scriptstyle \mathbb Z_n jest grupą nie przedstawia większych problemów. Podobnie ma się rzecz z grupą ilorazową.

Okazuje się, że postawione zagadnienia są ze sobą blisko powiązane i dlatego odpowiedzi na nie zostaną przedstawione równocześnie.

Wprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: warstwapodgrupa normalna.

Niech \scriptstyle G będzie grupą, a \scriptstyle H będzie jej dowolną podgrupą, zaś \scriptstyle G/H = \{aH\colon a \in G\} oznacza zbiór warstw lewostronnych grupy \scriptstyle G względem \scriptstyle H, czyli podzbiorów postaci \scriptstyle aH = \{ah\colon h \in H\} dla \scriptstyle a \in G. Najbardziej naturalnym kandydatem[1] na działanie w \scriptstyle G/H jest wybór elementów zgodnie ze wzorem

aH \cdot bH = abH \quad\mbox{ dla wszystkich }\quad a, b \in G.

Należy jednak najpierw sprawdzić, iż tak zadane działanie jest dobrze określone na \scriptstyle G/H, gdyż powyższy wzór wskazujący iloczyn \scriptstyle abH wykorzystuje do tego elementy \scriptstyle a, b \in G, które mogą być przecież wybrane na wiele sposobów. Powyższa reguła mówi w istocie, że aby obliczyć iloczyn elementów \scriptstyle X, Y \in G/H, należy najpierw wziąć \scriptstyle a \in G, dla którego \scriptstyle aH = X, następnie wziąć \scriptstyle b \in G, dla którego \scriptstyle bH = Y, po czym obliczyć iloczyn \scriptstyle ab w grupie \scriptstyle G i wreszcie wybrać warstwę \scriptstyle abH \in G/H odpowiadającą iloczynowi \scriptstyle ab, która ma być iloczynem \scriptstyle X \cdot Y. Dlatego należy się upewnić, że w wyniku tej procedury otrzymano tę samą warstwę lewostronną; nawet wtedy, gdy wybrano inne elementy z warstw lewostronnych \scriptstyle X, Y do ich reprezentowania. Problem ten można podsumować następująco: czy wspomnianym warstwom lewostronnym przyporządkowuje się zawsze ten sam iloczyn niezależnie od sposobu ich identyfikacji (tzw. funkcyjność) i czy sam jest on warstwą lewostronną (tzw. zamkniętość), tj. czy tak zdefiniowane mnożenie jest działaniem wewnętrznym?[2]

Powyższy wzór daje dobrze określone działanie wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich \scriptstyle a, a_1, b, b_1 \in G i \scriptstyle h, h_1 \in H zachodzi implikacja postaci: \scriptstyle aH = a_1H oraz \scriptstyle bH = b_1H pociągają \scriptstyle abH = a_1b_1H, co korzystając z własności warstw można zapisać w równoważnej postaci: \scriptstyle a_1 = ah oraz \scriptstyle b_1 = bh_1 pociąga \scriptstyle a_1b_1 \in abH, co po podstawieniu upraszcza się do \scriptstyle ahbh_1 \in abH, przy czym (korzystając raz jeszcze z własności warstw) można zapisać to jako \scriptstyle hb \in bH, czy też \scriptstyle Hb \subseteq bH dla każdego \scriptstyle b \in G[3]. Ostatni wzór jest jedną z charakteryzacji podgrupy \scriptstyle H jako podgrupy normalnej w \scriptstyle G, dlatego też działanie mnożenia warstw lewostronnych grupy \scriptstyle G względem podgrupy \scriptstyle H jest dobrze określone wtedy i tylko wtedy, gdy podgrupa \scriptstyle H jest normalna[4].

Wspomniany warunek normalności jest równoważny innemu, mianowicie \scriptstyle aH = Ha dla każdego \scriptstyle a \in G; oznacza on, że każda warstwa lewostronna jest równocześnie warstwą prawostronną \scriptstyle G względem \scriptstyle H; innymi słowy zbiory warstw lewo- i prawostronnych grupy \scriptstyle G względem \scriptstyle H są równe wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle H jest normalna w \scriptstyle G – daje to odpowiedź na oba z postawionych w poprzedniej sekcji pytań: nie ma potrzeby przejmować się rozróżnianiem tych zbiorów wtedy (i tylko wtedy), gdy działanie jest dobrze określone (w związku z tym działanie \scriptstyle Ha \cdot Hb = Hab na warstwach prawostronnych również jest dobrze określone: w istocie działania te są wtedy identyczne).

Konstrukcje[edytuj | edytuj kod]

Powyższe rozważania prowadzą wprost do konstrukcji wprowadzającej mnożenie warstw opisanej w kolejnej sekcji, bardziej naturalną konstrukcję opisano w sekcji Iloczyn kompleksowy, zaś najogólniejszą z nich opisano w sekcji Kongruencja.

Mnożenie warstw[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: warstwa.

Niech \scriptstyle N będzie podgrupą normalną w grupie \scriptstyle G. Zbiór \scriptstyle G/N z działaniem mnożenia warstw określonym wzorem

aN \cdot bN = abN \quad\mbox{ dla dowolnych }\quad aN, bN \in G/N

tworzy grupę:

  • niezależność i wewnętrzność: zgodnie z powyższym rozumowaniem działanie jest dobrze określone, a iloczyn dwóch warstw lewostronnych również jest warstwą lewostronną;
  • łączność: dla dowolnych \scriptstyle aN, bN, cN \in G/N zachodzi \scriptstyle aN \cdot (bN \cdot cN) = aN \cdot bcN = abcN = abN \cdot cN = (aN \cdot bN) \cdot cN na mocy łączności \scriptstyle a(bc) = (ab)c = abc elementów \scriptstyle a, b, c \in G;
  • element neutralny: warstwa \scriptstyle N = eN \in G/N jest lewostronnym elementem neutralnym, gdzie \scriptstyle e \in G jest lewostronnym elementem neutralnym grupy, ponieważ \scriptstyle eN \cdot aN = eaN = aN dla wszystkich \scriptstyle aN \in G/N;
  • element odwrotny: każda warstwa lewostronna \scriptstyle aN \in G/N ma element odwrotny lewostronnie w postaci warstwy lewostronnej \scriptstyle a^{-1}N, gdyż \scriptstyle a^{-1}N \cdot aN = a^{-1}aN = eN = N jest elementem neutralnym.

Grupę tę nazywa się grupą ilorazową lub krótko ilorazem \scriptstyle G przez \scriptstyle N i oznacza zwykle tak jak zbiór warstw, zazwyczaj \scriptstyle G/H.

Iloczyn kompleksowy[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: iloczyn kompleksowy.

Mnożenie warstw polegające na wyborze reprezentantów jest sztuczne: dużo bardziej naturalnym podejściem byłoby traktowanie wszystkich elementów warstw w jednakowy sposób, nie zaś wyróżnianie jednego z nich, a następnie wykazywanie, że nie jest to niesprawiedliwością w stosunku do pozostałych. Z tego powodu wprowadza się naturalnie określone działanie na dowolnych niepustych podzbiorach danej grupy nazywanych kompleksami, które w przypadku warstw (będących kompleksami) pokrywa się z opisanym wyżej mnożeniem warstw.

Jeżeli \scriptstyle X, Y są kompleksami (tzn. niepustymi podzbiorami) grupy \scriptstyle G, to ich iloczynem nazywa się zbiór \scriptstyle XY = \{xy\colon x \in X,\, y \in Y\}; dla warstw stosuje się notację \scriptstyle aH := \{a\}H oraz \scriptstyle Ha := H\{a\}, gdzie \scriptstyle a \in G, zaś \scriptstyle H jest podgrupą w \scriptstyle G. Iloczyn kompleksowy warstw lewostronnych grupy \scriptstyle G względem podgrupy \scriptstyle H jest warstwą lewostronną wtedy i tylko wtedy, gdy podgrupa \scriptstyle H jest normalna. Otóż iloczynem \scriptstyle aH oraz \scriptstyle bH dla \scriptstyle a, b \in G jest zbiór \scriptstyle aHbH = \{ahbh_1 \in G\colon h, h_1 \in H\}, przy czym \scriptstyle ab = aebe \in aHbH. Zatem \scriptstyle aHbH jest warstwą lewostronną grupy \scriptstyle G względem \scriptstyle H wtedy i tylko wtedy, gdy jest warstwą lewostronną \scriptstyle G względem \scriptstyle H zawierającą \scriptstyle ab, tzn. \scriptstyle H jest warstwą lewostronną \scriptstyle G względem \scriptstyle H wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle aHbH = abH. Wystarczy więc wykazać, że \scriptstyle aHbH = abH dla wszystkich \scriptstyle a, b \in G zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle H jest normalna w \scriptstyle G[5].

Porównując działania mnożenia warstw grupy \scriptstyle G względem podgrupy \scriptstyle H oraz ich iloczyn kompleksowy można zauważyć, że mnożenie dwóch warstw lewostronnych jest zawsze warstwą lewostronną, o ile działanie to jest dobrze określone, co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle H jest normalna w \scriptstyle G; z drugiej zaś strony iloczyn kompleksowy dwóch warstw jest zawsze dobrze określonym kompleksem, który jest warstwą lewostronną wtedy i tylko wtedy, gdy warstwy wyznaczane są przez podgrupę normalną: związek \scriptstyle aHbH = abH w powyższym rozumowaniu dowodzi, że działania te są identyczne pod warunkiem normalności podgrupy \scriptstyle H w grupie \scriptstyle G.

Kongruencja[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: kongruencja.

Z szerszego punktu widzenia przejście od relacji równoważności do warstw jest wygodnym (ze względu na algebraiczną charakteryzację klas równoważności), ale nieco ograniczającym (z uwagi na zawężoną stosowalność tego podejścia) krokiem: w przypadku algebr ogólnych nie można wyróżnić podalgebry będącej odpowiednikiem podgrupy normalnej, która wskazywałaby relację równoważności zachowującą daną strukturę algebraiczną – jedynym właściwym rozwiązaniem jest pozostanie przy relacjach równoważności i zagwarantowanie w algebrze ilorazowej dobrego określenia (niezależności od wyboru reprezentantów) działań pochodzących z algebry wyjściowej[6].

Na relację równoważności \scriptstyle \sim określoną na \scriptstyle G, w której \scriptstyle a \sim b wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle aH = bH, można patrzeć jako na podzbiór \scriptstyle \Phi \subseteq G \times G. Wówczas \scriptstyle (a, b) \in \Phi wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle a \sim b[7] – relację tę nazywa się kongruencją (lewostronną)[8]. Przedstawione dalej obserwacje są powtórzeniem rozumowań dotyczących mnożenia warstw, ich związku z relacjami równoważności i roli podgrup normalnych (zob. warstwa: Własności, Wprowadzenie) w języku kongruencji. W zbiorze \scriptstyle G \times G istnieje naturalna struktura grupy odziedziczona z grupy \scriptstyle G (w postaci iloczynu prostego), a ponieważ \scriptstyle \Phi jest podzbiorem \scriptstyle G \times G, to ma sens pytanie, czy i kiedy \scriptstyle \Phi tworzy grupę w \scriptstyle G \times G. Sytuacja ta miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle H jest normalna w \scriptstyle G[9]; wynika stąd, że mnożenie na zbiorze ilorazowym \scriptstyle G/\sim grupy \scriptstyle G przez relację równoważności \scriptstyle \sim na tej grupie zdefiniowane wzorem \scriptstyle [a][b] = [ab] jest dobrze określone wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle \Phi jest podgrupą w \scriptstyle G \times G[10]; co więcej, wszystkie tego rodzaju równoważności wyznaczane są przez podgrupy normalne: jeżeli \scriptstyle \sim jest relacją równoważności na \scriptstyle G, której odpowiada zbiór \scriptstyle \Phi \subseteq G \times G, zaś \scriptstyle H = \{g \in G\colon g \sim e\}, to podgrupa \scriptstyle H jest normalna w \scriptstyle G oraz \scriptstyle a \sim b wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle aH = bH[11].

Ogólnie relację równoważności \scriptstyle \sim na algebrze ogólnej \scriptstyle A dla której \scriptstyle \Phi jest podalgebrą \scriptstyle A \times A nazywa kongruencją. W przypadku grup i pierścieni można odejść od kongruencji \scriptstyle \sim na rzecz badania indukującej jej podgrupy normalnej \scriptstyle H o powyższej postaci. Przystawanie utożsamia ze sobą pewne elementy, jednakże w przypadku grup zamiast utożsamiać element \scriptstyle a z elementem \scriptstyle b można dokonać utożsamienia \scriptstyle a^{-1}b z elementem neutralnym: podgrupa normalna jest właśnie zbiorem elementów równoważnych elementowi neutralnemu, co tłumaczy intuicję grupy ilorazowej jako grupy \scriptstyle G, w której dokonano utożsamiania jej elementów z elementem neutralnym. W przypadku ogólnych struktur (takich jak półgrupy) nie ma możliwości przedstawienia dowolnego elementu neutralnego w analogicznej postaci, dlatego należy śledzić obie strony odpowiedniej równości. W przypadku grup efektywniejsze operowanie warstwami grupy względem podgrupy (pozostającymi we wzajemnej odpowiedniości z klasami odpowiadających im relacji równoważności, zob. warstwa: Własności), a warunkiem dobrej określoności jest normalność wspomnianej podgrupy (jak pokazano to we Wprowadzeniu); analogiczna sytuacja ma miejsce dla pierścieni, a przez to również modułów, czy przestrzeni liniowych (zob. Uogólnienia).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Grupa \scriptstyle G/N nie jest podgrupą w \scriptstyle G, gdyż jej elementami są niepuste podzbiory (kompleksy) grupy \scriptstyle G, a nie jej elementy. Ponieważ działanie w \scriptstyle G/N pochodzi od działania w \scriptstyle G, to grupy ilorazowe dziedziczą niektóre z własności grup bazowych: cykliczność, przemienność, nilpotentność, rozwiązalność oraz skończone generowanie; ponadto rząd grupy ilorazowej \scriptstyle G przez \scriptstyle N jest równy z definicji indeksowi \scriptstyle N w \scriptstyle G, tzn. \scriptstyle |G/N| = [G:N], przy czym jeżeli \scriptstyle G jest skończona, to \scriptstyle |G/N| = \frac{|G|}{|N|} (twierdzenia odwrotne nie muszą zachodzić).

Każda grupa jest izomorficzna z grupą ilorazową pewnej grupy wolnej.

Rozkład[edytuj | edytuj kod]

Jeśli \scriptstyle N jest podgrupą normalną w \scriptstyle G, to przekształcenie \scriptstyle \pi\colon G \to G/N dane wzorem \scriptstyle \pi(g) = gN jest homomorfizmem, a nawet epimorfizmem, nazywanym kanonicznym lub naturalnym[12] o jądrze \scriptstyle N.

Twierdzenie o homomorfizmie
Niech \scriptstyle \varphi\colon G \to G' będzie homomorfizmem grup, a \scriptstyle N będzie podgrupą w \scriptstyle \ker \varphi. Wówczas istnieje jeden i tylko jeden homomorfizm \scriptstyle \tilde \varphi\colon G/N \to G' spełniający
\tilde \varphi \circ \pi = \varphi,
który dany jest wzorem \scriptstyle \tilde \varphi(gN) = \varphi(g) dla \scriptstyle g \in G.

Wynika stąd, iż obraz \scriptstyle \varphi ma tę samą strukturę, co grupa ilorazowa \scriptstyle G przez jądro \scriptstyle \varphi; mianowicie zachodzi.

Twierdzenie o izomorfizmie
Niech \scriptstyle \varphi\colon G \to G' będzie homomorfizmem grup, a \scriptstyle N = \ker \varphi. Wówczas istnieje jeden i tylko jeden monomorfizm \scriptstyle \tilde \varphi\colon G/N \to G' jak w twierdzeniu wyżej i istnieje izomorfizm
\mathrm{im}\; \varphi \simeq G/\ker \varphi;
w szczególności: jeżeli \scriptstyle \varphi jest epimorfizmem, to \scriptstyle \tilde \varphi jest wspomnianym izomorfizmem.

Homomorfizm, którego obraz podgrupy normalnej również jest podgrupą normalną nazywa się normalnym; wszystkie epimorfizmy grup są normalne, istnieją jednak monomorfizmy, które nie są normalne. Każdy homomorfizm ma jądro w sensie kategoryjnym; dlatego dowolny homomorfizm \scriptstyle \varphi można przedstawić jako złożenie monomorfizmu \scriptstyle \tilde \varphi oraz epimorfizmu \scriptstyle \pi. Wspomniany rozkład, nazywany również faktoryzacją, można przedstawić za pomocą ciągu homomorfizmów: kolejno monomorfizmu i epimorfizmu między grupami \scriptstyle \ker \varphi, G, G/\ker \varphi, przy czym obraz pierwszego z nich jest jądrem drugiego; krótko

\ker \varphi \;\hookrightarrow\; G \;\twoheadrightarrow\; G/\ker \varphi

jest krótkim ciągiem dokładnym. Z tego powodu twierdzenie o izomorfizmie nazywa się też twierdzeniem o faktoryzacji, przy czym można powiedzieć, że to grupa \scriptstyle G rozkłada się/faktoryzuje za pomocą pewnego homomorfizmu na jego jądro i obraz – w ogólności \scriptstyle G \simeq \ker \varphi \rtimes G/\ker \varphi jest iloczynem półprostym. W przypadku grup przemiennych monomorfizmy są zawsze morfizmami normalnymi, dlatego wspomniany rozkład \scriptstyle G \simeq \ker \varphi \times G/\ker \varphi jest iloczynem prostym (\scriptstyle G \simeq \ker \varphi \oplus G/\ker \varphi jest sumą prostą w notacji addytywnej).

Podgrupy[edytuj | edytuj kod]

Między zbiorem wszystkich podgrup w \scriptstyle G zawierających \scriptstyle N a zbiorem wszystkich podgrup w \scriptstyle G/N istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość. Niech \scriptstyle \mathrm{Sub}(G/N) oznacza zbiór podgrup grupy \scriptstyle G/N, a \scriptstyle \mathrm{Sub}_N(G) oznacza zbiór podgrup grupy \scriptstyle G zawierających podgrupę \scriptstyle N; niech podobnie \scriptstyle \mathrm{NSub}(G/N) oraz \scriptstyle \mathrm{NSub}_N(G) będą zbiorami podgrup normalnych odpowiadającymi poprzednim. Wówczas istnieje bijekcja \scriptstyle (\cdot)^\ast\colon \mathrm{Sub}_N(G) \to \mathrm{Sub}(G/N) dana wzorem

H^\ast = H / N

dla dowolnej podgrupy \scriptstyle H \in \mathrm{Sub}_N(G), tzn. \scriptstyle N \subseteq H \subseteq G.

Podgrupom \scriptstyle A, B \in \mathrm{Sub}_N(G) odpowiadają zatem \scriptstyle A^\ast, B^\ast \in \mathrm{Sub}(G^\ast). Warunek \scriptstyle A \subseteq B zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle A^\ast \subseteq B^\ast; ma też przy tym miejsce równość indeksów \scriptstyle [B : A] = [B^\ast : A^\ast]. Ponadto \scriptstyle (A \cap B)^\ast = A^\ast \cap B^\ast oraz \scriptstyle (A \Cup B)^\ast = A^\ast \Cup B^\ast, gdzie \scriptstyle A \Cup B oznacza grupę generowaną przez \scriptstyle A \cup B[13]. Wreszcie \scriptstyle A \in \mathrm{NSub}_N(G) wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle A^\ast \in \mathrm{NSub}(G^\ast); wówczas \scriptstyle B/A jest izomorficzna z \scriptstyle B^\ast / A^\ast, co jest treścią trzeciego twierdzenia o izomorfizmie.

Przytoczonej listy własności podgrup zachowywanych w powyższej odpowiedniości przy odwzorowaniu na podgrupy grupy ilorazowej nie można uznać za wyczerpującą. Powyższa odpowiedniość jest przykładem koneksji Galois między kratami podgrup danej grupy i jej ilorazu.

Nadgrupy[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: rozszerzenie grupy.

Grupę \scriptstyle G nazywa się rozszerzeniem grupy \scriptstyle Q przez \scriptstyle N wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje krótki ciąg dokładny

N \;\hookrightarrow\; G \;\twoheadrightarrow\; Q,

gdzie \scriptstyle \hookrightarrow jest monomorfizmem, \scriptstyle \twoheadrightarrow jest epimorfizmem grup (zob. homomorfizm grup) oraz obraz pierwszego homomorfizmu jest jądrem drugiego (por. Rozkład). Wtedy \scriptstyle N jest podgrupą normalną w \scriptstyle G, zaś \scriptstyle Q jest izomorficzna z grupą ilorazową \scriptstyle G/N. Jeżeli \scriptstyle N zawiera się w centrum \scriptstyle G, to \scriptstyle G nazywa się rozszerzeniem centralnym. Idee te dają pewną odpowiedź na tzw. problem rozszerzenia, czyli pytanie o możliwość zrekonstruowania (oraz sposobu samej konstrukcji) w postaci iloczynów prostego lub półprostego grupy \scriptstyle G z grup, które miałyby pełnić dla niej rolę podgrupy normalnej i grupy ilorazowej (przez wspomnianą podgrupę).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Podgrupy trywialna \scriptstyle E i niewłaściwa \scriptstyle G grupy \scriptstyle G, które są w niej normalne, dają najprostsze przykłady grup ilorazowych: \scriptstyle G/G o strukturze grupy trywialnej oraz \scriptstyle G/E mająca strukturę grupy \scriptstyle G. Innym przykładem może być grupa ilorazowa \scriptstyle (\mathbb Z/n\mathbb Z)^+, oznaczana zwykle symbolem \scriptstyle \mathbb Z_n, grupy addytywnej \scriptstyle \mathbb Z^+ liczb całkowitych \scriptstyle \mathbb Z przez jej podgrupę normalną[14] \scriptstyle n\mathbb Z wszystkich całkowitych wielokrotności liczby \scriptstyle n.

Niech \scriptstyle \mathbb R^\times oznacza grupę multiplikatywną \scriptstyle \mathbb R, tj. niezerowych liczb rzeczywistych z działaniem ich mnożenia, zaś \scriptstyle \mathbb R^\times_+ będzie jej podgrupą dodatnich liczb rzeczywistych. Funkcja wartości bezwzględnej \scriptstyle |\ |\colon \mathbb R^\times \to \mathbb R^\times_+ dana wzorem \scriptstyle r \mapsto |r| jest epimorfizmem[15], a ponadto \scriptstyle \ker |\ | = \{r \in \mathbb R^\times\colon |r| = 1\} = \{-1, 1\}. Na mocy twierdzenia o izomorfizmie grupę \scriptstyle \mathbb R^\times_+ można utożsamiać z grupą ilorazową \scriptstyle \mathbb R^\times/\ker |\ |, której warstwami są pary liczb przeciwnych \scriptstyle r\ker |\ | = r\{-1, 1\} = \{-r, r\} dla \scriptstyle r \in \mathbb R^\times, a ich mnożenie dane jest dla \scriptstyle r, s \in \mathbb R^\times wzorem

\{-r, r\} \cdot \{-s, s\} = r\{-1, 1\} \cdot s\{-1, 1\} = rs\{-1, 1\} = \{-rs, rs\}.

Podobnie jak wyżej[14] podgrupa \scriptstyle \mathbb R^\times_+ jest normalna w \scriptstyle \mathbb R^\times, a ponadto wyznacza podział \scriptstyle \mathbb R^\times na dwie warstwy dodatnich \scriptstyle \mathbb R_+ oraz ujemnych \scriptstyle \mathbb R_- liczb rzeczywistych; działanie mnożenia warstw można spełnia wtedy

\mathbb R_+ \cdot \mathbb R_+ = \mathbb R_- \cdot \mathbb R_- = \mathbb R_+ \quad\mbox{ oraz }\quad \mathbb R_+ \cdot \mathbb R_- = \mathbb R_- \cdot \mathbb R_+ = \mathbb R_-;

w związku z czym utożsamiając warstwy \scriptstyle \mathbb R_-, \mathbb R_+ z reprezentującymi je odpowiednio liczbami \scriptstyle -1, 1 ustala się izomorfizm grupy ilorazowej \scriptstyle \mathbb R^\times/\mathbb R^\times_+ z podgrupą \scriptstyle \{-1, 1\} grupy \scriptstyle \mathbb R^\times. Dlatego epimorfizm \scriptstyle \varphi\colon \mathbb R^\times \to \{-1, 1\} o jądrze \scriptstyle \mathbb R^\times_+ to w istocie funkcja signum (funkcja znaku) dla niezerowej liczby rzeczywistej.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: konstrukcje ilorazowe.

Konstrukcja grupy ilorazowej jest punktem wyjścia dla analogicznych struktur, których podstawą jest pewna grupa. Jest tak w przypadku pierścieni, które są grupami przemiennymi (ze względu na dodawanie) z dodatkowym działaniem mnożenia, modułów będących grupami przemiennymi z dodatkowym działaniem mnożenia przez skalary należące do ustalonego pierścienia, które jest zgodne z pozostałymi działaniami, czy przestrzeni liniowych będących modułami, w których pierścień zastąpiono ciałem[16]. Dlatego w ilorazowych: pierścieniu, module, przestrzeni liniowej część teorii dotyczącą struktury grupowej można przyjąć jako daną z góry (w powyższych przykładach: działanie dodawania) skupiając się wyłącznie na zapewnieniu zgodności pozostałych działań w danej strukturze ilorazowej.

Wprowadzając relację równoważności w obiekcie matematycznym danej kategorii dąży się, by uzyskany zbiór ilorazowy był strukturą tego samego rodzaju, co struktura wyjściowa – jak przedstawiono to w tym artykule w przypadku grup. Przykładowo w przestrzeniach topologicznych obecna jest, zwykle niealgebraiczna, struktura nazywana topologią; zadając na niej relację równoważności uzyskuje się przestrzeń ilorazową, czyli zbiór ilorazowy z tzw. topologią ilorazową, tzn. najmniejszą topologią pochodzącą od topologii przestrzeni wyjściowej, dla której odwzorowanie ilorazowe zachowywałoby strukturę topologiczną, tj. było ciągłe (jest to odpowiednik żądania, by odwzorowanie ilorazowe dla grup zachowywało ich strukturę algebraiczną, czyli było homomorfizmem). Jeżeli przestrzeń topologiczna ma również strukturę grupową, jak ma to miejsce w przypadku struktur mieszanych takich jak grupy topologiczne, czy przestrzenie liniowo-topologiczne, to wymaga się zwykle zachowania obu struktur i związków między nimi (w tym przypadku żądając najczęściej, by odwzorowanie ilorazowe było ciągłym homomorfizmem[17]).

Z drugiej strony ze strukturami algebraicznymi wiąże się struktury topologiczne ułatwiające badanie własności algebr za pomocą topologii, tego rodzaju struktury nazywa się często „spektrami”, np. przestrzeń Stone'a dla algebr Boole'a[18], przestrzeń/spektrum Gelfanda dla C*-algebr (zob. twierdzenie Banacha-Stone'a), przestrzeń/spektrum Berkowicza dla pierścieni Banacha, czy spektrum dowolnego pierścienia przemiennego albo powierzchnia Riemanna (z topologią Zariskiego) dla rozszerzeń ciał.

Zrezygnowanie z warunku normalności podgrupy względem grupy daje strukturę nazywaną przestrzenią jednorodną[1].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
  • Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4

Przypisy

  1. 1,0 1,1 Na zbiorze warstw lewostronnych grupy \scriptstyle G względem \scriptstyle H można określić działanie wzorem \scriptstyle g(aH) = gaH, które nie daje struktury grupy, gdyż jest jedynie działaniem grupy \scriptstyle G na zbiorze \scriptstyle G/H. Na zbiorze warstw, jak na każdym innym zbiorze, można określić działanie czyniące z niego grupę (pod założeniem aksjomatu wyboru; w istocie jest to równoważne aksjomatowi wyboru, zob. grupa wolna), jednakże w ogólności nie będzie miało ono żadnego związku z działaniem w \scriptstyle G.
  2. Zwykle definicje funkcji są dobrze określone, jednakże o konieczności sprawdzania może przekonać zdefiniowany w następujący sposób homomorfizm grup \scriptstyle \varphi\colon \mathbb Z_3 \to \mathbb Z_5 dany jako funkcja tożsamościowa \scriptstyle \varphi(x) = x (bądź nieco dokładniej: \scriptstyle \varphi(x + 3\mathbb Z) = x + 5\mathbb Z) W tym przypadku zachodzi sprzeczność \scriptstyle 0 = \varphi(0) = \varphi(3) = 3 \ne 0.
  3. Konieczność normalności widać dokładniej przy następującym przedstawieniu warunku dobrego określenia działania: dla dowolnych \scriptstyle a, a_1, b, b_1 \in G równość \scriptstyle aH = a_1H ma pociągać \scriptstyle abH = a_1bH, a z równości \scriptstyle bH = b_1H ma wynikać \scriptstyle abH = ab_1H. W drugiej implikacji nie wymaga się niczego ponad łączność działania w \scriptstyle G, jednakże w pierwszej niezbędny jest krok od \scriptstyle aHb = a_1Hb do \scriptstyle abH = a_1bH, a więc zapewnienie \scriptstyle cH = Hc dla każdego \scriptstyle c \in G.
  4. Podsumowując – konieczność: jeżeli \scriptstyle aH = a'H oraz \scriptstyle bH = b'H, to \scriptstyle abH = a(bH) = a(Hb) = a(Hb') = (aH)b' = (a'H)b' = a'(Hb') = a'(b'H) = a'b'H; dostateczność: dla każdego \scriptstyle h \in H, na mocy \scriptstyle hH = eH (zobacz warstwa: Własności), zachodzi równość \scriptstyle eH \cdot gH = egH = gH oraz \scriptstyle hH \cdot gH = hgH, czyli \scriptstyle gH = hgH, zatem \scriptstyle H = g^{-1}hgH, a więc \scriptstyle g^{-1}hg \in H dla każdego \scriptstyle h \in H, skąd \scriptstyle g^{-1}Hg \subseteq H, gdzie \scriptstyle g \in G.
  5. Jeżeli \scriptstyle H jest normalna w \scriptstyle G, to \scriptstyle aHbH = abH. Istotnie: normalność \scriptstyle H oznacza \scriptstyle bH = Hb dla każdego \scriptstyle b \in G, a więc dla dowolnych \scriptstyle a, b \in G zachodzi \scriptstyle aHbH = a(Hb)H = abHH = abH, gdyż \scriptstyle HH = H (co wynika z \scriptstyle HH \subseteq H) oraz \scriptstyle H = 1H \subseteq HH na mocy ogólnych własności iloczynu kompleksowego. Odwrotnie: zakładając \scriptstyle aHbH = abH dla dowolnych \scriptstyle a, b \in G otrzymuje się \scriptstyle HbH = a^{-1}a(HbH) = a^{-1}(aHbH) = a^{-1}(abH) = a^{-1}a(bH) = bH, czyli \scriptstyle HbH = bH, a stąd \scriptstyle Hb = Hbe \subseteq HbH = bH, tj. \scriptstyle bH \supseteq Hb dla wszystkich \scriptstyle b \in G, co jest jedną z charakteryzacji normalności \scriptstyle H w grupie \scriptstyle G.
  6. Jest to równoważne ze zgodnością z homomorfizmami danej algebry (które ją zachowują; por. warstwa: Motywacja).
  7. W istocie zwykle tak definiowana jest relacja równoważności, tzn. \scriptstyle \sim = \Phi, tutaj jednak \scriptstyle a \sim b \Leftrightarrow (a, b) \in \Phi.
  8. Podany wzór definiuje również relację kongruencji prawostronnej, która zostanie tymczasowo pominięta w tych rozważaniach (zob. warstwa: Normalność).
  9. Element neutralny: zbiór \scriptstyle \Phi zawiera \scriptstyle (e, e) (a nawet całą przekątną); niech \scriptstyle H będzie normalna; element odwrotny: jeżeli \scriptstyle (a, b) \in \Phi, to \scriptstyle aH = bH, czyli \scriptstyle Ha = Hb, stąd wzięcie odwrotności każdego z elementów daje \scriptstyle a^{-1}H = b^{-1}H, czyli \scriptstyle \left(a^{-1}, b^{-1}\right) \in \Phi; zamkniętość: jeżeli \scriptstyle (a, b),\, (c, d) \in \Phi, to \scriptstyle aH = bH oraz \scriptstyle cH = dH, czyli \scriptstyle acH = bdH, tzn. \scriptstyle (ac, bd) = (a, b)(c, d) \in \Phi. Odwrotnie, niech \scriptstyle \Phi będzie podgrupą: jeżeli \scriptstyle aH = bH oraz \scriptstyle cH = dH, to \scriptstyle (a, b),\, (c, d) \in \Phi, skąd \scriptstyle (a, b)(c, d) = (ac, bd) \in \Phi, czyli \scriptstyle acH = bdH, co oznacza, że działanie \scriptstyle aH \cdot cH \mapsto acH jest dobrze określone, a więc na mocy stwierdzenia z Wprowadzenia podgrupa \scriptstyle H jest normalna w \scriptstyle G.
  10. Dostateczność: jeżeli \scriptstyle \Phi jest podgrupą w \scriptstyle G \times G oraz \scriptstyle [a] = [c] i \scriptstyle [b] = [d], to \scriptstyle (a, c)(b, d) = (ab, cd) \in \Phi, a więc \scriptstyle [ab] = [cd], co oznacza, że mnożenie jest dobrze określone. Konieczność: niech mnożenie będzie dobrze określone; ponieważ \scriptstyle \sim jest równoważnością, to \scriptstyle (e, e) \in \Phi; ponadto jeżeli \scriptstyle (a, c),\, (b, d) \in \Phi, to \scriptstyle [a] = [c],\, [b] = [d], czyli \scriptstyle [a][b] = [ab] jest równe \scriptstyle [c][d] = [cd], czyli \scriptstyle (ab, cd) = (a, b)(c, d) \in \Phi; z powyższych rozważań wynika, że \scriptstyle \Phi jest podmonoidem w \scriptstyle G \times G, należy jeszcze sprawdzić, że \scriptstyle \Phi jest zamknięty ze względu na branie odwrotności – niech \scriptstyle (a, b) \in \Phi; pomnożenie tego elementu lewostronnie przez \scriptstyle \left(x^{-1}, x^{-1}\right) \in \Phi oraz prawostronnie przez \scriptstyle \left(y^{-1}, y^{-1}\right) \in \Phi otrzymuje się \scriptstyle \left(y^{-1}, x^{-1}\right) \in \Phi, a na mocy symetryczności relacji \scriptstyle \sim otrzymuje się \scriptstyle \left(x^{-1}, y^{-1}\right); dowodzi to, iż \scriptstyle \Phi jest podgrupą w \scriptstyle G \times G.
  11. Niech \scriptstyle E = \{e\} oznacza podgrupę trywialną w \scriptstyle G. Grupę \scriptstyle G można utożsamiać z podgrupą \scriptstyle G \times E \subseteq G \times G za pomocą izomorfizmu \scriptstyle g \mapsto (g, e); podgrupa \scriptstyle H odpowiada części wspólnej podgrup \scriptstyle \Phi oraz \scriptstyle G \times E, a zatem jest podgrupą w \scriptstyle G. Relacja \scriptstyle \sim istotnie jest kongruencją (lewostronną) modulo \scriptstyle H, gdyż \scriptstyle aH = bH wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle a^{-1}b \in H (zob. własności warstw); warunek ten jest równoważny ciągowi następujących: \scriptstyle \left(a^{-1}b, e\right) \in \Phi \Leftrightarrow (a, a)\left(a^{-1}b, e\right) \in \Phi \Leftrightarrow (b, a) \in \Phi \Leftrightarrow (a, b) \in \Phi, co jest równoważne \scriptstyle a \sim b; normalność \scriptstyle H wynika teraz z dobrego określenia mnożenia warstw (lub klas równoważności \scriptstyle \sim).
  12. Zob. transformacja naturalna.
  13. Jeżeli \scriptstyle A, Bnormalne, a nawet tylko permutowalne, to \scriptstyle A \Cup B jest w istocie ich iloczynem kompleksowym \scriptstyle AB; oba powyższe warunki są spełnione, gdy \scriptstyle G jest przemienna.
  14. 14,0 14,1 Każda podgrupa grupy przemiennej, jaką jest \scriptstyle \mathbb Z^+ czy \scriptstyle \mathbb R^\times, jest w niej normalna.
  15. Przekształcenie \scriptstyle |\ |\colon \mathbb R^\times_+ \to \mathbb R^\times_+ jest tożsamością.
  16. Każde ciało jest przykładem pierścienia; w ciele niezerowe elementy tworzą grupę przemienną z działaniem mnożenia.
  17. W skończeniewymiarowych przestrzeniach współrzędnych można w naturalny sposób wprowadzić strukturę topologiczną (np. za pomocą działania algebraicznego nazywanego iloczynem skalarnym albo wprowadzając pojęcia odległości, czy długości); okazuje się, że wszystkie homomorfizmy tych struktur są w istocie ciągłe w dowolnej wprowadzonej topologii. Sytuacja ulega diametralnej zmianie w przestrzeniach liniowych nieskończonego wymiaru, na których można określić homomorfizmy, które nie są ciągłe (zob. operator liniowy nieciągły).
  18. Jest to przypadek szczególny topologii Zariskiego ze względu na odpowiedniość z pierścieniami Boole'a.