Twierdzenie Sylowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenia Sylowatwierdzenia teorii grup autorstwa Petera Sylowa[1], czasem formułowane jako jedno twierdzenie Sylowa. Wynik ten jest częściowym odwróceniem twierdzenia Lagrange’a (rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu danej grupy), a zarazem uogólnieniem twierdzenia Cauchy’ego (o istnieniu podgrupy rzędu będącego liczbą pierwszą dzielącym rząd danej grupy).

Twierdzenia[edytuj]

 Zobacz też: p-grupa.

Niech będzie liczbą pierwszą, która ponadto jest względnie pierwsza z liczbą naturalną (tzn. największy wspólny dzielnik ). Niech będzie grupą rzędu gdzie jest pewną nieujemną liczbą całkowitą; dowolną jej podgrupę rzędu gdzie nazywa się -podgrupą tej grupy, przy czym podgrupy rzędu nazywane są -podgrupami Sylowa.

Pierwsze twierdzenie Sylowa 
W grupie istnieje (co najmniej jedna) -podgrupa Sylowa.
Drugie twierdzenie Sylowa 
Wszystkie -podgrupy Sylowa grupy sprzężone, tzn. dla dowolnych -podgrup Sylowa grupy istnieje taki automorfizm wewnętrzny tej grupy (), że
Trzecie twierdzenie Sylowa 
Liczba wszystkich -podgrup Sylowa grupy przystaje do jedynki modulo tzn. (czyli jest dzielnikiem tj. ).

Wnioski[edytuj]

Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że -podgrupa Sylowa jest jej maksymalną (w sensie zawierania) -podgrupą, a jej indeks równy nie jest podzielny przez innymi słowy Z drugiego twierdzenia wynika, że warunek jest równoważny normalności (a nawet charakterystyczności) -podgrupy Sylowa[2]. Z pierwszego i drugiego twierdzenia Sylowa wynika, że jeżeli jest -podgrupą Sylowa w zaś jest -podgrupą normalną w to istnieje taki element dla którego jest podgrupą normalną w

Jeżeli jest dzielnikiem rzędu grupy to w grupie tej istnieje element rzędu (tzw. twierdzenie Cauchy’ego); ponadto dzieli wtedy Jeżeli każdy element ma rząd postaci to jest -grupą. Jeśli oraz gdzie są pewnymi liczbami pierwszymi, to w istnieje podgrupa normalna rzędu jeżeli nie dzieli ponadto to grupa jest cykliczna. W szczególności jeśli nie dzieli oraz nie dzieli to jedyną grupą rzędu jest suma prosta grup cyklicznych o rzędach i

Przykłady[edytuj]

Niech będzie grupą rzędu Z twierdzeń Sylowa wynika, że grupa zawiera -podgrupę rzędu (przynajmniej jedną), a ponadto oraz skąd wynika, że i normalność Podobnie oraz skąd -podgrupa Sylowa rzędu grupy również jest normalna. Obie te podgrupy są cykliczne (a stąd przemienne), zaś ich suma prosta jest izomorficzna z co oznacza, że również jest przemienna i jest jedyną (z dokładnością do izomorfizmu) grupą rzędu W podobny sposób można dokonać klasyfikacji grup rzędu [3].

Rozumując w analogiczny sposób można dowieść, że jedynymi grupami rzędu (z dokładnością do izomorfizmu) są grupa cykliczna oraz grupa symetryczna

Bibliografia[edytuj]

Przypisy

  1. Peter Ludwig Mejdell Sylow. Théorèmes sur les groupes de substitutions. „Math. Ann.”. 5, s. 584-594, 1872. 
  2. Przykładem grupy, która ma podgrupy normalne niebędące podgrupami Sylowa, jest np. grupa symetryczna
  3. James S. Milne: Group Theory. s. 81.