Uzwarcenie Wallmana
Wygląd
W matematyce, dokładniej w topologii, uzwarcenie (lub rozszerzenie) Wallmana to uzwarcenie, które można traktować jako namiastkę uzwarcenia Čecha-Stone’a dla przestrzeni [1].
Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie -przestrzenią, rodziną jej wszystkich podzbiorów domkniętych, a rodziną wszystkich ultrafiltrów w Dla każdego ultrafiltru przekrój jest albo zbiorem jednopunktowym (tzn. jest to ultrafiltr postaci ) albo zbiorem pustym[1]. Pozwala to utożsamiać z punktem
Przyjmijmy gdzie jest podzbiorem ultrafiltrów z o pustym przekroju. Jeżeli jest zbiorem otwartym, to niech Rodzina wszystkich zbiorów postaci gdzie jest otwarty, stanowi bazę pewnej topologii na Zbiór wyposażony w tę topologię nazywamy uzwarceniem (lub rozszerzeniem) Wallmana[1].
Własności[edytuj | edytuj kod]
- Przestrzeń jest zwartą. -przestrzenią.
- Przestrzeń jest podprzestrzenią gęstą
- Każde odwzorowanie ciągłe gdzie jest przestrzenią zwartą Hausdorffa można przedłużyć do odwzorowania
- Przestrzeń jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń jest normalna.
- Jeżeli jest normalna, to rozszerzenie Wallmana jest uzwarceniem przestrzeni równoważnym uzwarceniu Čecha-Stone’a [1].
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ a b c d Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 2007, s. 207–209. ISBN 978-83-01-15254-3.