Uzwarcenie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Uzwarcenie (kompaktyfikacja, przedłużenie zwarte) – rozszerzenie danej przestrzeni topologicznej tak, by była ona przestrzenią zwartą.

Definicja formalna[edytuj]

Uzwarceniem przestrzeni nazywamy parę taką, że jest zwartą przestrzenią topologiczną, zaś jest zanurzeniem homeomorficznym oraz jest gęstym podzbiorem . Jeśli dodatkowo , czyli jest przestrzenią Hausdorffa, to uzwarcenie nazywa się uzwarceniem Hausdorffa .

Zwykle pomija się zanurzenie , szczególnie jeśli jest ono identycznością i w sytuacji jak powyżej mówi się, że przestrzeń jest uzwarceniem przestrzeni . Często też utożsamiamy punkty z ich obrazami i traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni .

Jedynym uzwarceniem zwartej przestrzeni Hausdorffa jest ona sama.

Uzwarcenie jednopunktowe[edytuj]

Niech będzie niezwartą, lokalnie zwartą przestrzenią topologiczną i niech będzie pewnym obiektem nie należącym do zbioru . Połóżmy i

i jest zwartym podzbiorem

Wówczas jest zwartą przestrzenią topologiczną. Ponadto zanurzenie identycznościowe jest zanurzeniem homeomorficznym i jest gęstym podzbiorem. Tak więc jest uzwarceniem przestrzeni . Uzwarcenie to nazywamy uzwarceniem jednopunktowym lub uzwarceniem Aleksandrowa.

Z powyższych rozważań wynika, że każda przestrzeń topologiczna ma uzwarcenie. Niestety, to uzwarcenie nie musi spełniać aksjomatu T2. Łatwo można sprawdzić, że uzwarcenie Aleksandrowa przestrzeni topologicznej jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa.

Warto zauważyć, że jeśli wyjściowa przestrzeń jest zwarta, to powyższa procedura nie daje uzwarcenia , jako że wtedy nie będzie gęstym podzbiorem . Uzwarcenia jednopunktowe były wprowadzone do literatury matematycznej przez Aleksandrowa i Urysohna[1] w 1929.

Uzwarcenia Hausdorffa[edytuj]

Każda zwarta przestrzeń T2 jest przestrzenią normalną, a więc także przestrzenią całkowicie regularną. Ponieważ „bycie przestrzenią Tichonowa” jest własnością dziedziczną, jeśli przestrzeń topologiczna ma uzwarcenie Hausdorffa, to sama przestrzeń musi być całkowicie regularna. Z drugiej strony, Tichonow udowodnił, że każda przestrzeń może być zanurzona w produkt pewnej ilości kopii domkniętych odcinków. Ponieważ, na podstawie innego twierdzenia Tichonowa, przestrzeń jest zwarta (a domknięte podzbiory przestrzeni zwartej są zwarte), to można teraz łatwo znaleźć uzwarcenie Hausdorffa wyjściowej przestrzeni.

Tak więc, przestrzeń topologiczna ma uzwarcenie Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią całkowicie regularną.

Uzwarcenia Čecha-Stone’a[edytuj]

Wśród uzwarceń Hausdorffa danej przestrzeni całkowicie regularnej , jedno uzwarcenie ma uniwersalny charakter – jest to uzwarcenie Čecha-Stone’a . Uzwarcenie to było wprowadzone i badane niezależnie przez czeskiego matematyka Eduarda Čecha i amerykańskiego matematyka Marshalla H. Stone’a w latach 30. XX wieku. Może być ono scharakteryzowane przez każde z następujących dwóch twierdzeń:

  • Twierdzenie Stone’a: Każda całkowicie regularna przestrzeń ma uzwarcenie Hausdorffa takie, że każde odwzorowanie ciągłe przestrzeni w zwartą przestrzeń T2 może być przedłużone na .
  • Twierdzenie Čecha: Każda całkowicie regularna przestrzeń ma uzwarcenie Hausdorffa takie, że każde dwa podzbiory oddzielalne przez funkcję ciągła mają rozłączne domknięcia.

Należy zauważyć, że uzwarcenie jest jedyne (z dokładnością do homeomorfizmu identycznościowego na ). Ponadto, każde uzwarcenie całkowicie regularnej przestrzeni jest ciągłym obrazem przestrzeni przez odwzorowanie które jest identycznością na .

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Alexandroff, P.; Urysohn, P. Mémoire sur les espaces topologiques compacts dédié à Monsieur D. Egoroff. Verhandelingen Amsterdam 14, Nr. 1, 93 S. (1929)