Wielomiany Hermite'a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wielomiany Hermite'awielomiany o współczynnikach rzeczywistych, będące rozwiązaniem równania rekurencyjnego

,

przy warunkach początkowych

Wielomiany Hermite'a są między innymi wykorzystywane do opisu kwantowego oscylatora harmonicznego.

Równoważne definicje[edytuj]

Wykładnicza funkcja tworząca[edytuj]

Wykładniczą funkcją tworzącą wielomianów Hermite'a jest

.

Innymi słowami - jeśli rozwiniemy

w szereg Maclaurina względem zmiennej , współczynnikiem przy będzie .

Wykresy pierwszych czterech wielomianów[edytuj]

Wykres pierwszych czterech wielomianów Hermite'a

Własności wielomianów Hermite'a[edytuj]

  • jest wielomianem -tego stopnia.
  • ,

czyli dla parzystego jest funkcją parzystą, a dla nieparzystego - funkcją nieparzystą.

  • ,

czyli wielomiany Hermite'a tworzą układ wielomianów ortogonalnych z funkcją wagową .

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Leonard I. Schiff, Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1977, s. 73.