Wikipedia:Propozycje do List na Medal/Kryteria zbieżności szeregów

Kryteria zbieżności szeregów

Dyskusja zakończona
Rozpoczęcie: 22 lipca 2017 18:50:57	Zakończenie: 21 sierpnia 2017 18:50:57
Wynik: Nie przyznano

Uzasadnienie: Wcześniej hasło składało się z pozlepianych haseł dotyczących kryteriów zbieżności. Każde z kryteriów zasługuje jednak na własne hasło jako niezależne twierdzenie matematyczne (tak było do ok. 2005 roku kiedy zlepiono je do kupy). Wydzieliłem (zwykle pisząc na nowo) hasła o każdym z kryteriów, tutaj zostawiając jedynie wypowiedź i odnośnik do własciwego hasła a także przypisy do literatury w ramach możliwości. Lista ta ma szansę stać się najbardziej kompletną listą kryteriów w języku polskim - w przyszłości planuję dopisać jeszcze hasła o 3-4 mniej znanych kryteriach, których polskojęzyczna literatura nie zauważyła. Hasło niezmiernie ważne z punktu widzenia studentów kierunków technicznych; mam nadzieję, że w takiej formie będzie im bardziej pomocne. Loxley (dyskusja) 18:50, 22 lip 2017 (CEST)

• Głosy za:

1. kićor _Dajesz! 20:08, 22 lip 2017 (CEST) Na tyle na ile zrozumiałem. Nie podoba mi się zwrot "wersja graniczna" ale rozumiem, że matematyka też musi mieć swój żargon. Jestem również zwolennikiem tezy, że dowód nie potrzebuje źródeł :)
2. Neonek12 (dyskusja) 21:27, 22 lip 2017 (CEST) Choć niewiele zrozumiałem, to nie mój poziom jeszcze :( Neonek12 (dyskusja) 21:27, 22 lip 2017 (CEST)
3. Anagram16 (dyskusja) 23:47, 22 lip 2017 (CEST) Głosuję za, niczego oczywiście nie rozumiejąc z treści artykułów, po to, żeby podkreślić potrzebę poszerzania tematyki matematycznej i w ogóle ścisłej w Wikipedii. Przy okazji pytanie, czy omawianą zbieżność można przedstawić w postaci jakiegoś wykresu?
4. Szoltys [Re: ] 00:02, 23 lip 2017 (CEST) Teraz z czystym sumieniem  Za.

• Głosy przeciw:

1. Sinousty (dyskusja) 01:52, 19 sie 2017 (CEST)

Jestem trochę przeciw.

Od dawna uważałem, że to hasło jest zbieraniną twierdzeń, które należało porozdzielać do osobnych artykułów szczegółowych. Kiedy @Loxley zaczął to robić (chwała mu za to), sądziłem, że zmierza to w kierunku zintegrowania tego hasła z hasłem szereg (matematyka) jako (pod)sekcja uzupełniająca sekcję Zbieżność i rozbieżność, oczywiście po uprzednim radykalnym zredukowaniu tematu do krótkich, króciuteńkich wzmianek. W skrajnym postaci mogłoby to nawet tak wyglądać:

Do badania zbieżności i rozbieżności szeregów służą m.in. następujące kryteria:

Kryterium porównawcze, Kryterium d’Alemberta, Kryterium Cauchy’ego, Kryterium Raabego, Kryterium Schlömilcha,

Kryterium Kummera, Kryterium Gaussa, Kryterium całkowe, Kryterium Jermakowa, Kryterium Cauchy'ego o zagęszczaniu, Kryterium Schlömilcha o zagęszczaniu,

Teraz widzę, że zmierza to w kierunku hasła niewiele mniejszego od hasła sprzed przeróbek a sformułowania wszystkich twierdzeń-kryteriów są niepotrzebnie dublowane.

Drugim powodem, dla którego jestem trochę przeciw, jest moje wrażenie, że nazywanie tego artykułu listą wydaje trochę naciągane. A uważam tak, bo obejrzałem w Wikipedii kilka list na medal i stwierdziłem, że temu artykułowi czegoś brakuje pod względem redakcyjnym.

Gdyby przerobić go w sposób opisany przeze mnie w dyskusji poniżej, to nie byłbym trochę przeciw ale bardzo za.

Zgadzam się i chciałbym wycofać hasło z głosowania. Nie będę już jednak nic przy nim robił. Loxley (dyskusja) 11:17, 19 sie 2017 (CEST)

1. Również jestem przeciw. Nie zostały wprowadzone proponowane przeze mnie ważne zmiany - nadal nie tylko pojedyncze zdania, ale i całe sekcje pozostają bez źródeł. Autor wyraźnie stwierdził, że tego artykułu już nie będzie poprawiał.Mariusz Swornóg (dyskusja • edycje) 10:58, 21 sie 2017 (CEST)

 

• Dyskusja:

Wygląda bardzo ładnie. Niektóre sekcje nie mają jednak przypisów, co należałoby uzupełnić. Czy w sekcji o kryterium całkowym jest konieczne to (I)? Psuje to trochę wygląd i powoduje, że przypis pojawia się w kolejnej linii. Szoltys [Re: ] 19:14, 22 lip 2017 (CEST)

Dzięki! Oczywiście (I) pochodzi z włąściwego hasła i tu jest zbędne - usnąłem. Co do przypisów będę sukcesywnie dodawał chociaż wydaje mi się, że powinny być w samych hasłach, a tutaj chyba są opcjonalne? (Teraz już chyba do każdego jest przypis?) Loxley (dyskusja) 19:24, 22 lip 2017 (CEST)

W przypisach figuruje „Kuratowski 1961”, lecz nie ma go w bibliografii i link odsyła donikąd. Resztę podłączyłem. Paweł Ziemian (dyskusja) 22:53, 22 lip 2017 (CEST)

Dzięki, poprawione! Loxley (dyskusja) 14:38, 23 lip 2017 (CEST)

Dopisałem kryterium Bertranda. Loxley (dyskusja) 23:47, 23 lip 2017 (CEST)

Artykuł napisany jest solidnie. Bardzo przyda się studentom matematyki i kierunków technicznych. Dokonałem kilku poprawek w artykule:

• przepisałem różne wzory i oznaczenia matematyczne do języka TeX, żeby cały artykuł wyglądał spójnie;
• przypisy przestawiłem tak, by nie znajdowały się po kropkach kończących zdanie;
• poprawiłem kilka literówek.

Mam kilka uwag:

• w sekcji zbieżność bezwzględna w dowodzie jest błąd. Nie przyglądałem się temu dowodowi zbyt szczególnie, ale podejrzewam, że zamiast $\sum _{i=n}^{n+k}|a_{i}|<\varepsilon$ powinno być $\sum _{i=n_{0}}^{n_{0}+k}|a_{i}|<\varepsilon$, albo zamiast tego powinno pojawić się założenie, że $n\geq n_{0}$. W obecnej formie dowodu zmienna/stała $n$ nie jest nigdzie zdefiniowana, z kolei $n_{0}$ nie ma nigdzie zastosowania.
• w sekcji kryterium Cauchy'ego o zagęszczaniu - może warto zastąpić $p$ inną literą, nie kojarzącą się z liczbami pierwszymi?
• Użyta literatura jest wspaniała. Tym bardziej boli, że niektóre sekcje nie mają przypisów. Uważam, że byłoby bardzo dobrze, gdyby uzupełnione zostały przypisy w:
  • warunek konieczny >> przykłady
  • zbieżność bezwzględna (koniecznie! Wiele zdań w tej sekcji koniecznie wymaga źródeł!)
  • kryterium Bertranda >> wersja graniczna
  • kryterium Leibniza (koniecznie!)
  • kryterium Dirichleta (koniecznie!)
  • szeregi funkcyjne (w tym wstępie, gdzie je definiujesz te szeregi, przydałoby się jakieś źródło do tych faktów o zbieżności punktowej i jednostajnej)
• w sekcji szeregi funkcyjne - może zamiast zbioru $A$, użyć innej litery? Litera "A" u nas już jest oznaczeniem szeregu $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$. Taka zbieżność oznaczeń może być myląca dla niezorientowanego czytelnika. Szczególnie rzucało mi się to w oczy, gdy napisałeś "A" poza środowiskiem TeXowskim. Ale nawet po poprawie na język TeX i tak nadal sugeruję zmianę oznaczenia na inną literę.
• w sekcji szeregi funkcyjne mam obiekcje co do czytelności definicji. Wydaje mi się, że lepiej byłoby napisać: niech $(f_{n})$ będzie ciągiem funkcji $f_{n}\colon A\to \mathbb {R} \ \ (n\in \mathbb {N} )$. Osoba mająca odrobinę do czynienia z matematyką zrozumie Twoją definicję, ale jakiś laik/zagubiony student może się pogubić w definicji jaką zaproponowałeś. Twoja definicja jest jakby tego typu: niech $n\ (n\in \mathbb {N} )$ będzie ciągiem liczb naturalnych. Powoduje to pewien dysonans u czytelnika, który początkowo myśli, ze $n$ jest liczbą naturalną. Podobny dysonans moim zdaniem powoduje Twoja definicja, w której najpierw definiujesz funkcje, a potem mówisz, że ta funkcja $f_{n}$ jest ciągiem. Oczywiście w pełni rozumiem co masz na myśli, ale obawiam się, że niewprawiony czytelnik może poczuć się zagubiony przy tak nieściśle postawionej definicji i zrozumieć, że ta funkcja jest ciągiem, a nie, że jest to ciąg takich funkcji.

Ogólnie artykuł napisany jest moim zdaniem bardzo solidnie. Po poprawie wskazanego przeze mnie błędu w dowodzie i dodaniu przynajmniej „koniecznych” przypisów, będę gotów zagłosować za. :)Mariusz Swornóg (dyskusja • edycje) 23:56, 8 sie 2017 (CEST)

Poprawiłem merytorycznie ten dowód, o którym wspomniałem. @Loxley, sprawdź, czy wg Ciebie jest teraz ok. Mam jeszcze jedną uwagę-spostrzeżenie. W wielu miejscach brakuje mi zdefiniowania przy danej zmiennej, czy mówimy o liczbach naturalnych/całkowitych/rzeczywistych... Oczywiście stosujesz w większości przypadków w tym artykule typowe oznaczenia, np. $n$, $k$, na liczby naturalne, $x$, $\varepsilon$ na liczby rzeczywiste. Ale jednak pamiętajmy, do kogo kierujemy ten artykuł. Będą z niego korzystać masowo głównie początkujący studenci. I dla początkujących studentów moim zdaniem warto pisać (nawet kosztem wrażeń estetycznych) za każdym razem o jakiego typu liczbie mówimy. Np. zamiast ...dla każdej liczby $\varepsilon >0$ istnieje taka liczba $n_{0}$, że dla dowolnego $n\geq n_{0}$ i dla dowolnego $k$... ja bym dla początkującego studenta napisał: ...dla każdej liczby rzeczywistej $\varepsilon >0$ istnieje taka liczba naturalna $n_{0}$, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ takiej, że $n\geq n_{0}$ i dla dowolnego $k$ naturalnego.... Cóż, jest więcej tekstu, więcej mało potrzebnych szczegółów, gorsza estetyka, no ale jednak chyba rozwieją się wątpliwości niedoświadczonego studenta, albo licealisty. Co o tym sądzisz/sądzicie?Mariusz Swornóg (dyskusja • edycje) 00:15, 9 sie 2017 (CEST)

@Mariusz Swornóg, z całym szacunkiem, produkujesz takie ilości tekstu, że odniesienie się do tego co piszesz jest prawie niemożliwe. W dyskusjach ze mną możesz zawsze darować sobie kurtuazję polegającą na chwaląniu interlokutora w pierwszym zdaniu - wówczas przesłanie będzie nieco bardziej przejrzyste. (Uszczuplenie podpisu też wyszłoby wszystkim na zdrowie.) Zrobiłem kilka kosmetycznych poprawek w haśle o które prosiłeś. Co do rozpisywania wszystkiego co gdzie należy jestem raczej na nie. Istnieją pewne konwencje, które wprowadzono po to by żyło się łatwiej. Gdyby podchodzić w taki sposób do sprawy, z haseł fizycznych należałoby wyrugować konwencję sumacyjną Einsteina. Pozdrawiam, Loxley (dyskusja) 13:31, 12 sie 2017 (CEST)

Myślę, że stosowane konwencje zależą od tego, do kogo kierujemy tekst. A odbiorcą tego tekstu będą głównie studenci I/II roku studiów technicznych/matematycznych, którzy nie muszą znać tych konwencji. I dla nich bardziej czytelny byłby tekst ze wskazaniem, o jakich liczbach mowa.Mariusz Swornóg (dyskusja • edycje) 13:41, 12 sie 2017 (CEST)

Nie potrafię uwierzyć by ktoś chciał podstawić za k liczbę $-{\sqrt {5}}$; takie dylematy mogą się pojawiać we wczesnych klasach gimnazjum, a nie na studiach technicznych. Loxley (dyskusja) 13:46, 12 sie 2017 (CEST)

@Loxley, proponuję maksymalnie, jak tylko się da, stabelaryzować treści zawarte w tym artykule. Układ tabelaryczny:

• merytorycznie w niczym nie ustępuje wersji tekstowej,
• uwalnia Czytelnika od żmudnego przedzierania się przez mało przyjazny tekst matematyczny
• jest graficznie dużo ciekawszy,
• daje Czytelnikowi poczucie (być może złudne, ale dobre i to) panowania nad przestrzenią pojęć i własności

To jest tylko szkic, ale myślę, że powinno to pójść w tym kierunku:

Kryterium	badane wyrażenie	warunek na zbieżność	warunek na rozbieżność	warunek, przy którym kryterium zawodzi
d’Alamberta	$D_{n}={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$	$D_{n}\leqslant r$ dla dostatecznie dużych n i pewnego r<1	$D_{n}>1$ dla dostatecznie dużych $n$	$\limsup _{n\to \infty }D_{n}=1.$
	$D=\lim _{n\to \infty }D_{n}$	$D<1$	$D>1$	$D=1$
Cauchy’ego	$C_{n}={\sqrt[{n}]{a_{n}}}$	$\limsup _{n\to \infty }C_{n}<1$	$\liminf _{n\to \infty }C_{n}>1$	$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=1$.
	$C=\lim _{n\to \infty }C_{n}$	$C<1$	$C>1$	$C=1$.
Raabego	$R_{n}=n\cdot {\Big (}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1{\Big )}$	$R_{n}\geqslant r$ dla dostatecznie dużych n i pewnego r > 1	$R_{n}\leqslant 1$ dla dostatecznie dużych n	$R_{n}>1$ dla dostatecznie dużych n
	$R=\lim _{n\to \infty }R_{n}$	$R>1$	$R<1$	$R=1$
Schlömilcha	$S_{n}=n\cdot \ln {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}$	$\liminf _{n\to \infty }S_{n}>1$	$S_{n}\leq 1$ dla dostatecznie dużych n
Kummera	$K_{n}=c_{n}\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}$ gdzie $\scriptstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}=\infty$	$K_{n}\geqslant r$ dla dostatecznie dużych $n$ i pewnego $r>0$	$K_{n}\leqslant 0$ dla dostatecznie dużych $n$
	$K=\lim _{n\to \infty }K_{n}$
Bertranda	$B_{n}=\ln n{\bigg (}n\cdot {\Big (}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1{\Big )}-1{\bigg )}$	$\liminf _{n\to \infty }B_{n}>1$	$\limsup _{n\to \infty }B_{n}<1$	$\lim _{n\to \infty }B_{n}=1$
	$B=\lim _{n\to \infty }B_{n}$

  

 

Kryterium	założenie	warunek na zbieżność A	warunek na rozbieżność A	warunek na zbieżność B	warunek na rozbieżność B
porównawcze	$a_{n}\leqslant b_{n}$ dla dostatecznie dużych n	zbieżność B			rozbieżność A
porównawcze ułamkowe	${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leqslant {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}$ dla dostatecznie dużych n
porównawcze graniczne	$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<\infty$	zbieżność B			rozbieżność A
	$0<\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$		rozbieżność B	zbieżność A

pozdrawiam Sinousty (dyskusja) 01:57, 19 sie 2017 (CEST)

Kryterium Cauchy'ego można rozszerzyć, a dokładnie część z rozbieżnością, na granicę górną zamiast dolnej. Tak jest na przykład w książce Sierpińskiego "Działania Nieskończone". Adam1234567891011 (dyskusja) 15:50, 22 lis 2017 (CET)