Zbiór Bernsteina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zbiór Bernsteina – podzbiór przestrzeni polskiej, który jest w pewnym sensie bardzo nieregularny. Zbiór Bernsteina, jako podzbiór zbioru liczb rzeczywistych jest przykładem zbioru niemierzalnego (w sensie Lebesgue’a). Nazwa pojęcia została wprowadzona dla uhonorowania niemieckiego matematyka Felixa Bernsteina, który pierwszy rozważał zbiory tego typu w 1908[1].

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską. Podzbiór jest zbiorem Bernsteina w , jeśli dla każdego nieprzeliczalnego zbioru borelowskiego spełnione są warunki

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską oraz niech Wówczas następujące warunki są równoważne:

  • jest zbiorem Bernsteina,
  • ani ani nie zawiera nieprzeliczalnego domkniętego podzbioru
  • zarówno jak i ma niepusty przekrój z każdym nieprzeliczalnym domkniętym podzbiorem

Jeśli jest zbiorem Bernsteina, to:

  • jest zbiorem Bernsteina,
  • nie ma własności Baire’a,
  • jest niemierzalny względem dowolnej niezerowej miary Radona na
  • jest pełnej miary zewnętrznej Lebesgue’a, a wewnętrzną miarę Lebesgue’a ma zerową.

Istnieją takie dwie podgrupy grupy dla których

i które są zbiorami Bernsteina.

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Dowód istnienia zbiorów Bernsteina wymaga użycia aksjomatu wyboru. Jan Mycielski, Hugo Steinhaus i Stanisław Świerczkowski udowodnili, że pod założeniem aksjomatu determinacji nie istnieją zbiory Bernsteina[2][3].

Poniższe rozumowanie oparte jest o twierdzenie Zermela, które mówi, że każdy zbiór można dobrze uporządkować (twierdzenie Zermela jest równoważne aksjomatowi wyboru).

Niech X będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską – wówczas X jest mocy continuum oraz rodzina wszystkich borelowskich podzbiorów jest również mocy continuum. Wobec powyższego można wszystkie nieprzeliczalne podzbiory borelowskie przestrzeni X ustawić w ciąg pozaskończony

(Powyżej liczba kardynalna traktowana jest jako liczba porządkowa). Następnie, przez indukcję ze względu na można wybrać takie punkty że:

Wybór jest możliwy, ponieważ na kroku wiadomo, że zbiór jest nieprzeliczalny, a więc (jako zbiór borelowski) także mocy continuum, natomiast zbiór jest mocy mniejszej niż continuum.

Po zakończeniu powyższego procesu, skonstruowane zbiory

i

są rozłączne oraz każdy z nich jest zbiorem Bernsteina.

Wzmocnienie[edytuj | edytuj kod]

Powyższą konstrukcję można wzmocnić: dla dowolnej nieprzeliczalnej przestrzeni polskiej istnieje jej rozbicie na continuum wiele zbiorów Bernsteina.

Dowód. Istnieje taka funkcja

że

dla każdego zbioru doskonałego (w literaturze funkcje takie noszą nazwę perfectly everywhere surjective functions). Istotnie, niech

będzie ustawieniem w ciąg pozaskończony wszystkich par gdzie jest zbiorem doskonałym a punktem prostej. Funkcję można zdefiniować rekursywnie:

  • W kroku zerowym, ze zbioru można wybrać dowolny punkt i zdefiniować
  • W kroku ze zbioru
wybiera się punkt i definiuje
  • Dla punktów definiuje się

Dla każdego zbioru doskonałego i punktu istnieje taka liczba że Zatem na mocy konstrukcji Rozważmy teraz rodzinę zbiorów

Składa się ona ze zbiorów parami rozłącznych i takich, że mają one punkty wspólne z każdym zbiorem doskonałym. Zatem jest to rodzina składająca się z wielu zbiorów Bernsteina.

Liczba zbiorów Bernsteina na prostej[edytuj | edytuj kod]

Istnieje parami różnych zbiorów Bernsteina na prostej. Istotnie, niech

będzie rodziną parami rozłącznych zbiorów Bernsteina na prostej (liczba kardynalna jest, w szczególności, liczbą porządkową). Niech będzie takim niepustym zbiorem, że jest niepusty. Niech ponadto

Wówczas jest zbiorem Bernsteina. Istotnie, niech i niech będzie zbiorem doskonałym. Wówczas

Stąd

co dowodzi, że jest zbiorem Bernsteina, oraz każdy zbiór jest jednoznacznie wyznaczony przez niepusty podzbiór o niepustym dopełnieniu. Takich zbiorów jest jednak

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Felix Bernstein, Zur Theorie der trigonometrischen Reihen, Sitzungsber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-Natur. Kl. 60 (1908), s. 325–338.
  2. Jan Mycielski, Hugo Steinhaus: A mathematical axiom contradicting the axiom of choice, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys., 10 (1962) 1–3.
  3. Jan Mycielski, Stanisław Świerczkowski: On the Lebesgue measurability and the axiom of Determinateness. „Fundamenta Mathematicae”. 54 (1964), s. 67–71.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A.B. Kharazishvili, Nonmeasurable sets and functions. North-Holland Mathematics. Studies, 195. Elsevier Science B.V., Amsterdam 2004, s. 17–26