Aksjomat determinacji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Aksjomat determinacji – aksjomat teorii mnogości postulujący zdeterminowanie pewnych gier nieskończonych.

W literaturze matematycznej istnieje cała rodzina aksjomatów determinacji, do najpopularniejszych należy jednak aksjomat AD, który jest niezależny od aksjomatów ZF.

Aksjomat AD implikuje, że aksjomat wyboru jest fałszywy, a zatem unieważnia paradoksy, wynikajace z tego ostatniego. Niesprzeczność AD jest równoważna z niesprzecznością istnienia pewnych dużych liczb kardynalnych.

W dalszej części tego artykułu będziemy używać oznaczeń i definicji wprowadzonych w artykule o grach nieskończonych.

Rys historyczny[edytuj]

  • Pierwsza gra nieskończona była opisana w 1930 przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w Problemie 43 w Księdze Szkockiej. Dzisiaj gra ta jest znana pod nazwą gry Banacha-Mazura.
  • W 1962 polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus[1] zaproponowali badania aksjomatów determinacji. Aksjomaty te były intensywnie studiowane na początku lat 60. XX wieku przez Jana Mycielskiego i Stanisława Świerczkowskiego[2][3][4].
  • W 1969 Donald A. Martin udowodnił, że jeśli istnieje liczba mierzalna oraz jest zbiorem analitycznym, to gra jest zdeterminowana[5].
  • W 1975 Martin wykazał, że jeśli jest zbiorem borelowskim, to gra jest zdeterminowana[6][7].
  • W końcu lat 80. XX wieku Hugh Woodin, Donald Martin i John Steel wykazali, że przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych, wszystkie gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowane[8][9]. Ponadto udowodnili oni, że jeśli istnieją odpowiednio duże liczby kardynalne, to ZF+AD jest niesprzeczne.
  • W latach 90. XX wieku Woodin rozwinął teorię wokół pojęcia forsingu , które okazało się kluczowym elementem badań struktury ) przy założeniu AD w (gdzie jest ideałem niestacjonarnych podzbiorów , a jest rodziną zbiorów dziedzicznie mocy )[10].

Aksjomat i jego wersje[edytuj]

Definicje wstępne[edytuj]

Przypomnijmy następujące definicje:

  • Niech będzie zbiorem o przynajmniej dwóch elementach oraz niech . Gra pomiędzy graczami I i II jest zdefiniowana jako proces, w wyniku którego gracze konstruują ciąg nieskończony o wyrazach w w taki sposób, że po tym jak już zostało wybrane, to
jeśli jest parzyste, to gracz I wybiera , a
jeśli jest nieparzyste, to gracz II wybiera .
Po wykonaniu wszystkich ω kroków, kiedy gracze zbudowali ciąg , powiemy, że gracz I wygrał partię η jeśli .
  • Strategia dla gracza I to funkcja . Powiemy, że ciąg jest zgodny ze strategią σ jeśli . Strategia σ dla gracza I jest strategią zwycięską gracza I w , jeśli każdy ciąg η zgodny z σ należy do zbioru A.
  • Strategia dla gracza II to funkcja . Powiemy, że ciąg jest zgodny ze strategią τ jeśli . Strategia τ dla gracza II jest strategią zwycięską gracza II w jeśli żaden ciąg η zgodny z τ nie należy do zbioru A.
  • Powiemy że gra jest zdeterminowana, jeśli jeden z graczy ma strategię zwycięską.

Aksjomaty determinacji[edytuj]

  • Aksjomat determinacji AD to zdanie
dla każdego zbioru gra jest zdeterminowana.
  • Aksjomat determinacji rzeczywistej to zdanie
dla każdego zbioru gra jest zdeterminowana

(gdzie oznacza zbiór liczb rzeczywistych).

  • Aksjomat determinacji rzutowej PD to zdanie
dla każdego zbioru rzutowego gra jest zdeterminowana.

Konsekwencje[edytuj]

  • implikuje AD.
  • Następujące stwierdzenia są konsekwencjami AD:
    1. Każdy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire'a.
    2. Każdy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue'a.
    3. Każdy nieprzeliczalny podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały.
    4. Dla każdego , jest liczbą nieosiągalną w .
    5. jest liczbą mierzalną (a nawet filtr generowany przez cluby jest ultrafiltrem).
    6. jest liczbą mierzalną.
  • Następujące stwierdzenia są konsekwencjami PD:
    1. Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire'a.
    2. Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue'a.
    3. Każdy nieprzeliczalny rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały.
  • Jeśli istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina z liczbą mierzalną powyżej ich, to
    1. oraz
    2. PD jest prawdziwe.
  • Teoria "ZF+AD" jest niesprzeczna wtedy i tylko wtedy, gdy niesprzeczna jest teoria "ZFC+ istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina".

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Mycielski, Jan; Steinhaus, H.: A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. "Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys." 10 (1962), s. 1-3
  2. Mycielski, Jan i Świerczkowski, Stanisław: On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. "Fundamenta Mathematicae". 54 (1964), s. 67-71.
  3. Mycielski, Jan: On the axiom of determinateness. "Fundamenta Mathematicae" 53 (1963/1964), s. 205-224.
  4. Mycielski, Jan: On the axiom of determinateness. II. "Fundamenta Mathematicae" 59 (1966), s. 203-212
  5. Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. "Fundamenta Mathematicae" 66 (1969/1970), s. 287-291.
  6. Martin, Donald A.: Borel determinacy. "Ann. of Math." (2) 102 (1975), nr 2, s. 363-371.
  7. Martin, Donald A.: A purely inductive proof of Borel determinacy. "Recursion theory (Ithaca, N.Y., 1982)", Proc. Sympos. Pure Math., 42 (1985). s. 303-308.
  8. Woodin, W. Hugh: Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees. "Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A." 85 (1988), s. 6587-6591.
  9. Martin, Donald A., Steel, John R.: A proof of projective determinacy. "J. Amer. Math. Soc." 2 (1989), s. 1, 71-125.
  10. Woodin, W. Hugh: The axiom of determinacy, forcing axioms, and the nonstationary ideal. "de Gruyter Series in Logic and its Applications", 1. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1999. ISBN 3-11-015708-X