Zbiór Vitalego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór Vitalegopodzbiór zbioru liczb rzeczywistych, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a. Konstrukcję zbioru (wymagająca założenia aksjomatu wyboru) podał Giuseppe Vitali w 1905[1] i pokazał, że nie istnieje dla tego zbioru miara Lebesgue'a - miara, która jest niezmiennicza na przesunięcia, przyjmująca niezerowe i skończone wartości na przedziałach i określona na rodzinie wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej.

Konstrukcja[edytuj]

Niech oznacza miarę Lebesgue'a w zbiorze liczb rzeczywistych. W przedziale [0,1] można określić relację ~ w następujący sposób:

x ~ y wtedy i tylko wtedy, gdy x – y jest liczbą wymierną.

Relacja ~ jest relacją równoważności. Klasy abstrakcji tej relacji są rozłącznymi podzbiorami [0,1]. Aksjomat wyboru gwarantuje istnienie zbioru , który ma dokładnie jeden element wspólny z każdą klasą abstrakcji. Każdy zbiór o takiej własności nazywany jest zbiorem Vitalego.

Jeśli V jest zbiorem Vitalego, to:

  • różnica dowolnych dwóch różnych elementów tego zbioru jest liczbą niewymierną, skąd
  • dla każdych dwóch różnych liczb wymiernych .

Oznacza to, że rodzina

jest przeliczalna i składa się ze zbiorów parami rozłącznych. Gdyby był zbiorem mierzalnym, to każdy ze zbiorów postaci byłby zbiorem mierzalnym oraz zbiory te byłyby tej samej miary (miara Lebesgue'a jest niezmiennicza na przesunięcia). Oznaczałoby to, że jest zbiorem mierzalnym oraz

ponieważ

nie może być więc miary zero - nie może być również zbiorem miary dodatniej, co prowadzi do sprzeczności, bo wówczas

.

Argument przedstawiony powyżej wykazuje, że jeśli przyjmiemy aksjomat wyboru, to na prostej istnieją zbiory niemierzalne w sensie Lebesgue'a, niemniej jednak zbiory takie w żadnym sensie nie są konstruowalne. Czasami używa się jednak zwrotu "konstrukcja zbioru Vitalego" w znaczeniu "definicja takich zbiorów".

Przypisy

  1. Giuseppe Vitali. Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. „Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani”, 1905. 

Bibliografia[edytuj]

Zobacz też[edytuj]