Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Zbieżność monotoniczna – własność ciągu liczb rzeczywistych lub funkcji rzeczywistych.
Ciąg liczb rzeczywistych
(
a
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
jest monotonicznie zbieżny do liczby
a
,
{\displaystyle a,}
jeśli
(
a
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
jest ciągiem monotonicznym zbieżnym do liczby
a
.
{\displaystyle a.}
Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony . Zatem ciągi monotonicznie zbieżne to dokładnie ograniczone ciągi monotoniczne.
Niech
X
{\displaystyle X}
będzie dowolnym zbiorem oraz
f
n
,
f
:
X
⟶
R
.
{\displaystyle f_{n},f\colon X\longrightarrow \mathbb {R} .}
Ciąg
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
jest zbieżny monotonicznie do funkcji
f
,
{\displaystyle f,}
jeśli
(
∀
n
∈
N
)
(
∀
x
∈
X
)
(
f
n
(
x
)
⩽
f
n
+
1
(
x
)
)
{\displaystyle {}\quad (\forall n\in \mathbb {N} )(\forall x\in X){\big (}f_{n}(x)\leqslant f_{n+1}(x){\big )}}
lub
(
∀
n
∈
N
)
(
∀
x
∈
X
)
(
f
n
(
x
)
⩾
f
n
+
1
(
x
)
)
{\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(\forall x\in X){\big (}f_{n}(x)\geqslant f_{n+1}(x){\big )}}
oraz
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle {}\quad (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
jest zbieżny punktowo do funkcji
f
,
{\displaystyle f,}
tzn. dla każdego
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
mamy, że
f
(
x
)
=
lim
n
→
∞
f
n
(
x
)
.
{\displaystyle f(x)=\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x).}
Warunek (1) zapewnia, że ciąg
(
f
n
(
x
)
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }}
jest niemalejący dla dowolnego
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
albo też ciąg jest nierosnący dla dowolnego
x
∈
X
.
{\displaystyle x\in X.}
Jest to więc mocniejszy warunek niż stwierdzenie, że ciąg
(
f
n
(
x
)
)
n
∈
N
{\displaystyle {\big (}f_{n}(x){\big )}_{n\in \mathbb {N} }}
jest monotoniczny dla każdego
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
.
Twierdzenie Diniego : jeśli
f
n
,
f
:
[
0
,
1
]
⟶
R
{\displaystyle f_{n},f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} }
są ciągłe, ciąg
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
jest zbieżny monotonicznie do funkcji
f
,
{\displaystyle f,}
to
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
zbiega jednostajnie do
f
.
{\displaystyle f.}
Twierdzenie Lebesgue’a : jeśli
f
n
:
[
0
,
1
]
⟶
[
0
,
∞
)
{\displaystyle f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow [0,\infty )}
są całkowalne w sensie Lebesgue’a i ciąg
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
jest zbieżny monotonicznie do funkcji
f
,
{\displaystyle f,}
to
f
{\displaystyle f}
jest mierzalna oraz
∫
[
0
,
1
]
f
=
lim
n
→
∞
∫
[
0
,
1
]
f
n
.
{\displaystyle {}\int \limits _{[0,1]}f=\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{[0,1]}f_{n}.}