Butelka Kleina

Ilustracja butelki Kleina w przestrzeni trójwymiarowej.

Butelka Kleina ze szkła.

Butelka Kleina – jednostronna powierzchnia (nieorientowalna rozmaitość dwuwymiarowa) bez brzegu. Opisana w 1882 przez niemieckiego matematyka Felixa Kleina.

Geneza nazwy

Nazwa tej powierzchni powstała najprawdopodobniej wskutek pomyłki tłumacza – w niemiec­kiej nazwie "powierzchnia Kleina" (niem. die Kleinsche Fläche) wyraz die Fläche (powierzchnia) pomylono z podobnie brzmiącym die Flasche (butelka). Ponieważ jednak nowa nazwa upowszechniła się w świecie i dobrze kojarzy się z kształtem powierzchni, przyjęła się również w Niemczech. Słowo "butelka", zostało tym łatwiej zaakceptowane, że naczynie nadaje się do przechowywania cieczy. Umiarkowanie napełnioną butelkę da się bez wylania zawartości ustawić wlotem w dół, pod warunkiem przechylania jej w odpowiednia stronę.

Topologia butelki Kleina

Butelka Kleina najprościej definiowana jest jako prostokąt, w którym utożsamiono (sklejono) parami odpowiednie punkty przeciwległych boków, przy czym jedna para została skręcona o 180°. Na ilustracji: boki oznaczone kolorami, z uwzględ­nieniem orientacji (strzałki).

Butelkę Kleina można też skonstruować ze wstęgi Möbiusa: należy utożsamić ("skleić") wszystkie punkty brzegu wstęgi (lub skleić dwie wstęgi brzegami). Odpowiada to odwrotnej kolejności sklejania boków niż pokazana na powyższych ilustracjach.

Butelka Kleina nie daje się włożyć w przestrzeń trójwymiarową – włożenie takie prowadzi do pojawienia się samoprzecięć powierzchni. Bez przecięć butelkę można włożyć w przestrzeń czterowymiarową.

Zobacz też

• torus
• powierzchnia
• topologia
• wstęga Möbiusa

Linki zewnętrzne

• Butelka Kleina (ang.) w encyklopedii MathWorld
• Acme Klein Bottle (ang.) – firma Clifforda Stolla sprzedająca szklane butelki Kleina