Wstęga Möbiusa

Wstęga Möbiusa zrobiona z paska papieru

Wstęga Möbiusa to dwuwymiarowa zwarta rozmaitość topologiczna istniejąca w przestrzeni trójwymiarowej, którą można uzyskać sklejając taśmę końcami "na odwrót". Jej najważniejszą cechą jest to, że ma tylko jedną stronę (jest tzw. powierzchnią jednostronną). Posiada również tylko jedną krawędź - "sklejenie" tej krawędzi (niemożliwe w przestrzeni trójwymiarowej) daje butelkę Kleina. Opisana przez niemieckiego matematyka Augusta Möbiusa i Johanna Benedicta Listinga w 1858 roku.

Symbol recyklingu w kształcie wstęgi Möbiusa

Przykład wstęgi Möbiusa to prostokątny pasek papieru, skręcony o 180 stopni, a następnie sklejony końcami. Opisywany jest jako przykład powierzchni jednostronnej. Błędnie uznaje się, że symbol nieskończoności $\infty$ pochodzi od wstęgi Möbiusa; symbol ten był w użyciu od ponad dwustu lat, gdy Möbius i Listing odkryli wstęgę.

Stylizowane przedstawienie wstęgi Möbiusa jest symbolem recyklingu.

Geometria i topologia

Wykres parametryczny

Żeby otrzymać wstęgę Möbiusa należy złączyć krawędzie oznaczone A tak, aby strzałki wskazywały w tym samym kierunku.

Jednym ze sposobów przedstawienia wstęgi Möbiusa jako podzbioru $\mathbb{R}^3$ jest następująca parametryzacja:

$x(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\cos(u)$

$y(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\sin(u)$

$z(u,v)=\frac{v}{2}\sin\frac{u}{2}$

gdzie $0\leqslant u < 2\pi$ oraz $-1\leqslant v\leqslant 1$. W ten sposób tworzy się wstęga Möbiusa o szerokości 1, której środkowe koło leżące na płaszczyźnie x-y ma promień 1 i jest wyśrodkowane w punkcie (0,0,0). Parametr u przebiega dookoła wstęgi a parametr v od jednej krawędzi do drugiej.

W cylindrycznym układzie współrzędnych (r,θ,z) nieograniczona wersja wstęgi Möbiusa może być przedstawiona jako równanie

$\log(r)\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=z\cos\left(\frac{\theta}{2}\right).$

Topologicznie wstęga Möbiusa może być zdefiniowana jako kwadrat [0,1] × [0,1], w którym górna i dolna krawędź są utożsamione przez relację (x,0) ~ (1-x,1) dla 0 ≤ x ≤ 1, jak pokazuje to rysunek po prawej.

Cięcie

Przecięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż w połowie szerokości powoduje otrzymanie dwukrotnie dłuższej, dwukrotnie skręconej obręczy (posiadającej dwie "powierzchnie") . Z kolei po przecięciu wzdłuż, w jednej trzeciej szerokości, otrzymamy jedną węższą wstęgę Möbiusa o długości równej wyjściowej wstędze, oraz splecioną z nią dwukrotnie dłuższą, dwukrotnie skręconą obręcz.

Zobacz też

• butelka Kleina

Linki zewnętrzne

• Wstęga Möbiusa (ang.) w encyklopedii MathWorld