Rozmaitość topologiczna

Rozmaitość topologiczna – w matematyce obiekt geometryczny, który lokalnie ma strukturę (w sensie topologicznym, różniczkowym, homologicznym itp.) przestrzeni $\mathbb R^n$ lub innej przestrzeni wektorowej. Pojęcie to uogólnia na dowolną liczbę wymiarów pojęcia krzywej i powierzchni. Wprowadzenie go było spowodowane różnorodnymi potrzebami zarówno samej matematyki, jak i innych nauk.

W matematyce funkcjonują przede wszystkim jako zbiory rozwiązań układów równań, a także jako rodziny obiektów geometrycznych i innych, które dają się parametryzować, na przykład rodzina k-wymiarowych podprzestrzeni przestrzeni $\mathbb R^n$. Pojawiają się one także jako rozwiązania wielowymiarowych problemów wariacyjnych (bańki mydlane), rozmaitości całkowe układów dynamicznych, grup odwzorowań geometrycznych i ich przestrzenie jednorodne itp. W fizyce grają rolę modeli czasoprzestrzennych, w mechanice są przestrzeniami fazowymi, poziomami energii itp., w ekonomii powierzchniami obojętności, w psychologii przestrzenią percepcji (np. kolorów) itd.

Definicja formalna

Przestrzeń topologiczna $X$ nazywana jest lokalnie euklidesową, jeśli istnieje nieujemna liczba całkowita $n$ taka, że każdy punkt w $X$ ma otoczenie, które jest homeomorficzne z przestrzenią euklidesową $\mathbb R^n$. Ponieważ kula otwarta w $\mathbb{R}^n$ jest homeomorficzna z $\mathbb{R}^n$, w definicji tej wystarczy zakładać, żeby każdy punkt przestrzeni miał otoczenie homeomorficzne z ustaloną kulą otwartą w $\mathbb{R}^n$.

Rozmaitość topologiczna to lokalnie euklidesowa przestrzeń Hausdorffa spełniająca drugi aksjomat przeliczalności.

Definicję tę można rozszerzyć o przypadek $\scriptstyle{n=-1}$. Wtedy jeżeli przyjąć $\scriptstyle{\mathbb R^{-1} = \varnothing}$, to jedyną rozmaitością lokalnie homeomorficzną z tą przestrzenią euklidesową będzie zbiór pusty..

Rozmaitość z brzegiem

Rozmaitość topologiczna z brzegiem to przestrzeń Hausdorffa spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, która dla ustalonego $n$ w każdym swoim punkcie posiada otoczenie homeomorficzne (tzn. lokalnie homeomorficzna) z $\mathbb{R}^n$ lub półprzestrzenią euklidesową $\mathbb{R}^n_+$, to znaczy zbiorem:

$\mathbb R^n_+ := \{(x_1, \ldots, x_n)\colon x_1 \geqslant 0\}.$

Niech $M$ będzie $n$-wymiarową rozmaitością z brzegiem. Wnętrzem $M$ nazywa się zbiór punktów $M$ mających otoczenia homeomorficzne z podzbiorem otwartym $\mathbb R^n$ i oznacza $\operatorname{int}\;M$. Brzeg $M$, oznaczany $\partial M$, to dopełnienie wnętrza $M$ w $M$. Punkty brzegowe mogą być scharakteryzowane jako te, które leżą na hyperpłaszczyźnie brzegowej ($x_n = 0$) półpłaszczyzny $\mathbb R^n_+$ w pewnym układzie współrzędnych.

Jeżeli $M$ jest rozmaitością z brzegiem wymiaru $n$, to $\operatorname{int}\;M$ jest rozmaitością (bez brzegu) wymiaru $n$, a $\partial M$ jest rozmaitością (bez brzegu) wymiaru $n - 1$ lub zbiorem pustym.

Dalej rozmaitości o pustym brzegu będą nazywane po prostu rozmaitościami, choć mogą być dla zaznaczenia nazywane rozmaitościami bez brzegu.

Uwaga: Wnętrze i brzeg rozmaitości należy wyraźnie odróżnić od wnętrza i brzegu zbioru w topologii ogólnej.

Rys historyczny

Początkowy okres badania rozmaitości jest związany z analizą parametryzacji wielowymiarowej i z badaniami geometrii fizycznego Świata. Dwa sposoby zdefiniowania rozmaitości w $\mathbb{R}^n$, przez lokalną parametryzację i przez równania, rozpatrywał Gauss w przypadku powierzchni w $\mathbb{R}^3$, a w przypadku dowolnego wymiaru Poincare. J. Pluecker badał lokalne współrzędne na rozmaitościach utworzonych z krzywych, powierzchni itp.

Proste operacje

Suma topologiczna (czyli topologiczna suma rozłączna) niepustej, przeliczalnej rodziny $n$-rozmaitości jest $n$-rozmaitością. Jeżeli wszystkie dodawane rozmaitości były bez brzegu, to suma także jest bez brzegu. Rozmaitość pusta stanowi element neutralny (zerowy) względem operacji sumy topologicznej.

Iloczyn kartezjański $m$-rozmaitości $M^m$ z $n$-rozmaitością $N^n$ jest $m+n$-rozmaitością. Zachodzi przy tym wzór (podobny do wzoru Leibniza):

$\partial(M^m \times N^n) = (\partial(M^n) \times N^n) \cup (M^n \times \partial(N^n))$

W szczególności iloczyn kartezjański dwóch rozmaitości bez brzegu jest rozmaitością bez brzegu.

Rozmaitość 1-punktowa stanowi element jednostkowy (neutralny) względem operacji iloczynu kartezjańskiego.

Homeomorficzna klasa wyniku operacji sumy topologicznej lub iloczynu kartezjańskiego zależy wyłącznie od homeomorficznej klasy dwóch argumentów. Możemy więc rozpatrywać sumę topologiczną i iloczyn kartezjański jako operacje dwuargumentowe na klasach homeomorficznych przestrzeni. Wtedy rozmaitości z brzegiem tworzą półpierścień przemienny, a rozmaitości bez brzegu – podpółpierścień tego półpierścienia. Jest tak dlatego, że iloczyn kartezjański jest rozdzielny względem sumy topologicznej.

Rozmaitości 0- i 1-wymiarowe

Jedyną, z dokładnością do homeomorfizmu, 0-wymiarową rozmaitością spójną (z brzegiem lub bez) jest przestrzeń 1-punktowa. 0-wymiarowe rozmaitości (z brzegiem lub bez) to po prostu przeliczalne, skończone lub nieskończone (ale niepuste) przestrzenie dyskretne. Rozmaitości 0-wymiarowe nigdy nie mają brzegu.

Jedyną, z dokładnością do homeomorfizmu, niezwartą 1-wymiarową rozmaitością spójną, bez brzegu, jest prosta rzeczywista $\mathbb{R}$, a zwartą – okrąg $\mathbb{S}^1$. Jedynymi 1-wymiarowymi rozmaitościami spójnymi z niepustym brzegiem są półprosta domknięta i odcinek domknięty (z oboma końcami). Pierwsza jest niezwarta, a druga z nich jest zwarta. Ich końce, i tylko one, są punktami brzegowymi.

Przykład

Zbiory $I = [0, 1)$ oraz $H = [0,\infty)$ są rozmaitościami z brzegiem (w obu jest nim $0$). Funkcje

$f\colon I \to H,\; f(x) = \tfrac{x}{1-x},$,

$g\colon H \to I,\; g(x) = \tfrac{x}{1+x},$

są ciągłe i rosnące, a stąd różnowartościowe, a przy tym wzajemnie do siebie odwrotne. Obie są zatem homeomorfizmami jednej rozmaitości na drugą. Jest to zarazem dowód równoliczności tych zbiorów. Każda z tych funkcji jest różniczkowalna w dowolnym punkcie, dlatego są one w rzeczywistości dyfeomorfizmami (Przekształcenia te są gładkie, t.zn. różniczkowalne w każdym punkcie nieskończenie wiele razy; co więcej – funkcje f g są analityczne).

Rozmaitości n-wymiarowe

Najprostszym przykładem rozmaitości niezwartej jest przestrzeń $\mathbb{R}^n$. Wśród zwartych najprostsze są kula domknięta:

$\mathbb{B}^n := \{x \in \mathbb{R}^n \colon \|x\| \leqslant 1\}$

oraz sfera:

$\mathbb{S}^n := \{x \in \mathbb{R}^{n+1} \colon \|x\| = 1\}$

Brzegiem kuli jest sfera, której wymiar jest zawsze o jeden mniejszy

$\mathbb{S}^n = \partial(\mathbb{B}^{n+1})$.

Sfera jest rozmaitością bez brzegu.

Uwaga: Sfera 0-wymiarowa $\mathbb{S}^0$ jest 2-punktową przestrzenią dyskretną, a więc jest rozmaitością niespójną.

$n$-wymiarową rozmaitością (bez brzegu) jest także torus, czyli $n$-ta potęga kartezjańska okręgu:

$\mathbb{T}^n := (\mathbb{S}^1)^n$

Ogólnie, iloczyn kartezjański skończonego ciągu rozmaitości niepustych, których suma wymiarów jest $n$ jest rozmaitością $n$-wymiarową.

---

Zachodzą klasyczne twierdzenia:

Twierdzenie (Brouwer) Kula $\mathbb{B}^n$ ma własność punktu stałego: dla dowolnego odwzorowania ciągłego

$f\colon \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B}^n$

istnieje   $x \in \mathbb{B}^n$ takie, że $f(x)=x$.

Twierdzenie (o retrakcji) Nie istnieje retrakcja (ciągła) kuli na jej brzeg, to znaczy: nie istnieje odwzorowanie ciągłe

$r\colon \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{S}^{n-1}$

takie, że $r(x)=x$ dla każdego $x \in \mathbb{S}^{n-1}$.

Uwaga: Ogólniej, żadna niepusta rozmaitość zwarta z brzegiem (być może pustym) nie dopuszcza retrakcji na swój brzeg.

---

Niech  $a \in \mathbb{R}^n$,  gdzie  $|a| \ne 0\,$  oraz  $n \geqslant 1$.  Dla dowolnej liczby rzeczywistej s  zdefiniujmy:

$L_s := \{x \in \mathbb{R}^n : a\bullet x = s\}$

gdzie operacja  $\bullet\,$   oznacza iloczyn skalarny. Wtedy każde  $L_s\,$  jest homeomorficzne z  $\mathbb{R}^{n-1}$.  Dowodzi się homeomorfizmu metodami elementarnej algebry liniowej. Tak otrzymane przestrzenie (n-1)-wymiarowe są parami rozłączne i pokrywają całe  $\mathbb{R}^n$.   W szczególności  $\, a \in L_{|a|^2}$.

Sfera bez punktu

Niech  $a \in \mathbb{S}^n \subset \mathbb{R}^{n+1}$,  więc  $\,|a| = 1$. Niech ponadto:

$L_1 := \{x \in \mathbb{R}^{n+1} : a\bullet x = 1\}$

$L_0 := \{x \in \mathbb{R}^{n+1} : a\bullet x = 0\}$

Pokażemy, że

Sfera bez punktu,  $\mathbb{S}^n\backslash \{a\}$,  jest homeomorficzna z  $\mathbb{R}^n$.

na przykład z  $\,L_0$.

Dowód   Zacznijmy od odwzorowania ciągłego  $\pi : \mathbb{R}^{n+1}\backslash L_1\rightarrow L_0$,  danego wzorem:

$\pi(x) := \frac{x - (a\bullet x)\cdot a}{1 - a\bullet x}$

Mianownik nie jest 0 dla  $\, x\notin L_1$.  Łatwo też sprawdzić, że rzeczywiście  $\, a\bullet\pi(x) = 0$,  czyli że  $\,\pi(x) \in L_0$.

Jeżeli  $x \in \mathbb{S}^n\backslash \{a\}$,   to:

$2\cdot (a\bullet x) = 2 - (a-x)^2 < 2$

skąd  $\, a\bullet x < 1$,  więc  $x\notin L_1$.  Możemy więc rozpatrywać obcięcie

$p := \pi | \mathbb{S}^n\backslash \{a\} :\ \mathbb{S}^n\backslash \{a\} \rightarrow L_0$

Jest to tak zwany rzut stereograficzny;  pokażemy że jest homeomorfizmem – homeomorfizmem odwrotnym jest funkcja  $q : L_0 \rightarrow \mathbb{S}^n\backslash \{a\}$,  dana wzorem:

$q(y) := a + \frac{2}{(y-a)^2}\cdot (y-a)$

(łatwo policzyć, że naprawdę  $(q(y))^2 = 1\,$  czyli $q(y)\in\mathbb{S}^n$).  Sprawdźmy, że  $p\,$   i   $q\,$  są wzajemnie odwrotnymi funkcjami. Najpierw niech  $\, y := p(x)$  dla pewnego  $x \in \mathbb{S}^n\backslash \{a\}$.  Wtedy ze wzoru na  $p(x) := \pi(x)\,$  otrzymujemy:

$y - a = \frac{x-a}{1-a\bullet x}$

oraz

$(y - a)^2 = \frac{(x-a)^2}{(1-a\bullet x)^2} = \frac{2\cdot(1-a\bullet x)}{(1-a\bullet x)^2} = \frac{2}{1-a\bullet x}$

krótko:

$(y - a)^2 = \frac{2}{1-a\bullet x}$

Zatem:

$q(y) := a + \frac{2}{(y-a)^2}\cdot (y-a) = a + (x-a) = x$

czyli  $\, q(p(x)) = x$,  co kończy pierwszą połowę dowodu homeomorficzności rzutu stereograficznego.

Niech z kolei  $\, x := q(y)$,  gdzie  $\, y \in L_0$  czyli  $\, a\bullet y = 0$.  Wtedy

$a\bullet x = 1 - \frac{2}{(y-a)^2}$

Policzmy licznik i mianownik ułamka  $p(x) := \frac{x - (a\bullet x)\cdot a}{1 - a\bullet x}$ ;   najpierw licznik:

$x - (a\bullet x)\cdot a =$

$\left(a + \frac{2}{(y-a)^2}\cdot (y-a)\right) - \left(1 - \frac{2}{(y-a)^2}\right)\cdot a =$

$\frac{2\cdot y}{(y-a)^2}$

A teraz mianownik:

$1 - a\bullet x = \frac{2}{(y-a)^2}$

Zatem  $\, p(x) = y$,  czyli  $\, p(q(y))=y$,  co kończy dowód tego, że rzut stereograficzny jest homeomorfizmem.

Koniec dowodu.

Uwaga   Rzut stereograficzny i jego odwrotność można oznaczać bardziej specyficznie przez  $\, p_a$  oraz  $\, q_a$. Na przykład:  $p_a(-a) = \mathbb{O}$  oraz  $q_a(\mathbb{O}) = -a$,   gdzie  $\mathbb{O} := (0,\dots,0)$.

Twierdzenie  Niech  $f : X \rightarrow \mathbb{S}^n$  będzie dowolnym odwzorowaniem ciągłym, zdefiniowanym na dowolnej przestrzeni topologicznej  $\,X$.  Jeżeli  $\, f$  nie jest na, to  $\, f$  jest homotopijnie trywialne.

Dowód  Niech punkt sfery  $\, a$  nie należy do obrazu funkcji  $\, f$.  Homotopia łącząca  $\, f$  z funkcją stałą (o wartości  $\,-a$,  dana jest następująco:

$h(x, t) := q_a(t\cdot p_a(f(x)))$

dla  $x \in X\,$  oraz  $0 \leqslant t \leqslant 1$.

Koniec dowodu.

Częściowa jednorodność topologiczna Bⁿ

Niech $f\colon [0,1)\to [0,\infty)$ będzie homeomorfizmem (patrz wyżej) danym wzorem:

$f(x)=\frac{x}{1-x},\; x\in [0,1)$

Wówczas odwzorowanie $F\colon \operatorname{int}\, \mathbb{B}^n \to \mathbb{R}^n$, dane wzorem

$F(x)=\left\{\begin{array}{l}f(\| x\|)\cdot \frac{x}{\| x\|},\; x\neq 0\\0,\; x=0\end{array}\right.$

jest również homeomorfizmem.

Homeomorfizm, odwrotny do $F$: $G\colon \mathbb{R}^n\to \operatorname{int}\,\mathbb{B}^n$ można opisać przy pomocy wzoru:

$G(x)=\left\{\begin{array}{l}g(\| x\|)\cdot \frac{x}{\| x\|},\; x\neq 0\\0,\; x=0\end{array}\right.$,

gdzie $g$ jest homeomorfizmem odwrotnym do $f$ (patrz wyżej).

Następujące twierdzenie pokazuje częściową jednorodność topologiczną $\mathbb{B}^n$:

Twierdzenie: Dla dowolnych $a, b\in\operatorname{int}\,\mathbb{B}^n$ istnieje homeomorfizm $h\colon\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^n$ kuli domkniętej na siebie, taki że $h(a)=b$ oraz $h(x)=x$ dla każdego $x\in\partial(\mathbb{B}^n)$.

Dowód: Homeomorfizm $h$ definiuje się wzorem:

$h(x)=\left\{\begin{array}{l}x,\; x\in \partial(\mathbb{B}^n)\\G(F(x) + F(b) - F(a)),\; x\in \operatorname{int}\, \mathbb{B}^n\end{array}\right.$

Koniec dowodu.

Uwaga: Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla $n=0$. Dowód jest wtedy trywialny, gdyż zbiór $\operatorname{int}\, \mathbb{B}^0$ jest pusty.

Powyższa konstrukcja daje więcej, gdyż określa działanie (topologiczne) addytywnej grupy topologicznej $\mathbb{R}^n$ na przestrzeń $\mathbb{B}^n$:

$H\colon\mathbb{B}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{B}^n$,

które jest tożsamością na $\partial(\mathbb{B}^n)$ oraz działa jednobieżnie (1-tranzytywnie) we wnętrzu $\operatorname{int}\, \mathbb{B}^n$. $H$ dane jest wzorem:

$H(x, v)) := G(F(x) + v) ,\; x\in\mathbb{R}^n,\, v \in\mathbb{R}^n$.

Wtedy $H(x,0) = x$, oraz

$\begin{array}{lcl}H((H(x, v), w) & = & G(F(H(x, v)) + w)\\ & = & G(F(G(F(x) + v)) + w) \\ & = & G((F(x) + v) + w) \\ & = & G(F(x) + (v + w)) \\ & = & H(x, v+w)\end{array}$,

co pokazuje, że $H$ jest rzeczywiście grupą transformacji. Jednobieżność $H$ we wnętrzu kuli jest oczywista: dla dowolnych $a, b\in\operatorname{int}\, \mathbb{B}^n$ istnieje dokładnie jedno $v\in \mathbb{R}^n$, dla którego $\;b = H(a, v)$, mianowicie  $v \;:= F(b) - F(a)$.

Jednorodność i spójność rozmaitości spójnych

Powyższy tytuł ma sugerować, że rozmaitości spójne są spójne w pewien szczególnie mocny sposób, a nie tak słabo, jak na przykład suma mnogościowa $X$ dwóch domkniętych kul w przestrzeni stuwymiarowej, które mają dokładnie jeden punkt wspólny $p$; wtedy usunięcie tego punktu powoduje, że powstała przestrzeń $X\setminus\{p\}$ nie jest spójna.

Niech $a\,$ będzie dowolnym punktem n-wymiarowej rozmaitości spójnej $\,M^n$. Niech $X\,$ będzie zbiorem wszystkich punktów $x\,$ dla których istnieje zbiór otwarty $\,G$, homeomorficzny z $\mathbb{R}^n$, który zawiera oba punkty $a\,$ i $\, x$ Pokażemy poniżej, że $\,X=M^n$.

Jest oczywistym, że zbiór $X\,$ jest otwarty. Pozostało dowieść, że jest także domknięty:

Niech $c\,$ należy do domknięcia zbioru $\,X$.

Istnieje homeomorfizm $t\,$ przestrzeni $\mathbb{R}^n$ na pewne otoczenie punktu $c\,$ w rozmaitości $\,M^n$, spełniający warunki

• $t(0)=c\,$
• $a\notin t(\mathbb{R}^n)$.

Niech $B$ będzie obrazem $B=t(\mathbb{B}^n)$. Istnieje punkt $b$, należący do wnętrza zbioru $B$ (a więc do obrazu wnętrza $t(\mathbb{B}^n)$), który należy do $X$ (jako, że $c$ należy do domknięcia $X$). Częściowa jednorodność kuli (patrz wyżej) mówi, że istnieje homeomorfizm  $h\colon B\to B$  taki, że

• $h(b)=c\,$
• $h(x)=x\,$     dla każdego  $x\in t(\partial(\mathbb{B}^n))$

(Oczywiście $t(\partial(\mathbb{B}^n))$ jest brzegiem topologicznym zbioru $B$). Zatem odwzorowanie $H\colon M^n\to M^n$ dane wzorami:

• $\,H(x)=h(x)$     dla   $x\in B$,
• $\,H(x)=x$     dla   $x\in M^n \setminus t(\operatorname{int} \mathbb{B}^n)$

jest homeomorfizmem.

Ponieważ  $a\,$  nie należy do  $\,B$,  więc  $\,H(a)=a$.  Zatem $H(B)\,$  zawiera, zarówno punkt  $\, a$,  jak i punkt  $\, c=H(b)$. Pokazaliśmy więc, że  $c\,$  należy do  $X\,$;  czyli udowodniliśmy domkniętość zbioru  $\,X$. Ponieważ nasza rozmaitość jest spójna, to  $\,X=M^n$.

Wynikają stąd natychmiast następujące twierdzenia:

• Dla dowolnych dwóch punktów n-rozmaitości spójnej (bez brzegu) istnieje w niej zbiór otwarty, homeomorficzny z $\mathbb{R}^n$, zawierający te dwa punkty;
• Każda rozmaitość spójna (bez brzegu) jest topologicznie jednorodna, tzn. dla dowolnej, uporządkowanej pary jej dwóch punktów istnieje homeomorfizm tej rozmaitości na siebie, który pierwszy punkt przeprowadza na drugi;
• Każda rozmaitość spójna (bez brzegu) jest łukowo spójna (to wynika też z ogólnego twierdzenia Hahna-Mazurkiewicza, i to dla wszystkich spójnych rozmaitości, także tych z brzegiem).

Z pierwszego twierdzenia powyżej wynika natychmiast jego wzmocnieniona wersja:

• Dla dowolnych dwóch punktów n-rozmaitości spójnej (bez brzegu) istnieje w niej zbiór homeomorficzny z $\mathbb{B}^n$, zawierający te dwa punkty w swoim wnętrzu.

Ta wersja pozwala bezpośrednio tłumaczyć wszelakie twierdzenia o krotnej, częściowej topologicznej jednorodności $\mathbb{B}^n$ na twierdzenia o odpowiedniej krotnej jednorodności dowolnej spójnej n-rozmaitości.

Suma spójna dwóch n-rozmaitości

Sumę spójną dwóch n-rozmaitości otrzymuje się przez wycięcie z każdej z nich wnętrza pewnej kuli domkniętej, po czym skleja się tak otrzymane podprzestrzenie wzdłuż brzegu wyciętych kul (wzdłuż sfery (n-1)-wymiarowej).

Nieco formalniej: Niech odwzorowania $f\colon \mathbb{R}^n\to M^n$ oraz $g\colon \mathbb{R}^n \to N^n$ będą zanurzeniami homeomorficznymi, gdzie $M^n$ oraz $N^n$ są n-rozmaitościami. W sumie topologicznej podprzestrzeni $M^n \setminus f(\operatorname{int}\mathbb{B}^n)$ oraz $N^n \setminus g(\operatorname{int}\mathbb{B}^n)$ zidentyfikujmy pary punktów $f(x)$ oraz $g(x)$ dla każdego $x \in \partial(\mathbb{B}^n)$. Otrzymana topologiczna przestrzeń ilorazowa nazywa się sumą spójną, i jest oznaczana

$M^n \# N^n$.

Okazuje się, że z dokładnością do homeomorfizmu, wynik (suma spójna) nie zależy od wyboru funkcji $f$ i $g$ powyżej. Nie zmieni się też, gdy dane rozmaitości zastąpimy przez homeomorficzne. Otrzymaliśmy więc trzecią, po sumie topologicznej i iloczynie kartezjańskim, operację dwuargumentową na rozmaitościach i ich klasach homeomorficznych – ściślej mówiąc – suma łączna jest ciągiem operacji, z których każda działa wyłącznie w swoim wymiarze n.

Elementem neutralnym sumy spójnej n-rozmaitości jest sfera $\mathbb{S}^n$:

$M^n \# \, \mathbb{S}^n = M^n$.

Ponadto, suma spójna jest przemienna i łączna.

Twierdzenie:   Każda orientowalna 2-rozmaitość zamknięta jest sumą spójną skończonej liczby torusów $\mathbb{T}^2$ (w szczególności sfera $\mathbb{S}^2$ jest sumą spójną zero torusów).

Bordyzm

Dwie zwarte rozmaitości różniczkowe $M,N$ nazywamy rozmaitościami bordycznymi, jeśli istnieje rozmaitość z brzegiem $W$, której brzeg jest dyfeomorficzny z topologiczną sumą rozłączną $M\coprod N$. Bordyzm jest relacją równoważności, a jej klasy abstrakcji nazywane są klasami bordyzmu.

W zbiorze klas bordyzmu można zdefiniować działania, odpowiednio, dodawania i mnożenia tak, że będzie on pierścieniem – pierścień ten nazywamy pierścieniem bordyzmu rozmaitości.