Rozmaitość topologiczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Rozmaitość topologiczna – w matematyce obiekt geometryczny, który lokalnie ma strukturę (w sensie topologicznym, różniczkowym, homologicznym itp.) przestrzeni \mathbb R^n lub innej przestrzeni wektorowej. Pojęcie to uogólnia na dowolną liczbę wymiarów pojęcia krzywej i powierzchni. Wprowadzenie go było spowodowane różnorodnymi potrzebami zarówno samej matematyki, jak i innych nauk[1].

W matematyce funkcjonują przede wszystkim jako zbiory rozwiązań układów równań, a także jako rodziny obiektów geometrycznych i innych, które dają się parametryzować, na przykład rodzina k-wymiarowych podprzestrzeni przestrzeni \mathbb R^n. Pojawiają się one także jako rozwiązania wielowymiarowych problemów wariacyjnych (bańki mydlane), rozmaitości całkowe układów dynamicznych, grup odwzorowań geometrycznych i ich przestrzenie jednorodne itp. W fizyce grają rolę modeli czasoprzestrzennych, w mechanice są przestrzeniami fazowymi, poziomami energii itp., w ekonomii powierzchniami obojętności, w psychologii przestrzenią percepcji (np. kolorów) itd.[2]


Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń topologiczna X nazywana jest lokalnie euklidesową, jeśli istnieje nieujemna liczba całkowita n taka, że każdy punkt w X ma otoczenie, które jest homeomorficzne z przestrzenią euklidesową \mathbb R^n. Ponieważ kula otwarta w \mathbb{R}^n jest homeomorficzna z \mathbb{R}^n, w definicji tej wystarczy zakładać, żeby każdy punkt przestrzeni miał otoczenie homeomorficzne z ustaloną kulą otwartą w \mathbb{R}^n[3].

Rozmaitość topologiczna to lokalnie euklidesowa przestrzeń Hausdorffa spełniająca drugi aksjomat przeliczalności.[4]

Definicję tę można rozszerzyć o przypadek \scriptstyle{n=-1}. Wtedy jeżeli przyjąć \scriptstyle{\mathbb R^{-1} = \varnothing}, to jedyną rozmaitością lokalnie homeomorficzną z tą przestrzenią euklidesową będzie zbiór pusty.[5].

Rozmaitość z brzegiem[edytuj | edytuj kod]

Rozmaitość topologiczna z brzegiem to przestrzeń Hausdorffa spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, która dla ustalonego n w każdym swoim punkcie posiada otoczenie homeomorficzne (tzn. lokalnie homeomorficzna) z \mathbb{R}^n lub półprzestrzenią euklidesową \mathbb{R}^n_+, to znaczy zbiorem:

\mathbb R^n_+ := \{(x_1, \ldots, x_n)\colon x_1 \geqslant 0\}.[6]

Niech M będzie n-wymiarową rozmaitością z brzegiem. Wnętrzem M nazywa się zbiór punktów M mających otoczenia homeomorficzne z podzbiorem otwartym \mathbb R^n i oznacza \operatorname{int}\;M. Brzeg M, oznaczany \partial M, to dopełnienie wnętrza M w M. Punkty brzegowe mogą być scharakteryzowane jako te, które leżą na hyperpłaszczyźnie brzegowej (x_n = 0) półpłaszczyzny \mathbb R^n_+ w pewnym układzie współrzędnych.

Jeżeli M jest rozmaitością z brzegiem wymiaru n, to \operatorname{int}\;M jest rozmaitością (bez brzegu) wymiaru n, a \partial M jest rozmaitością (bez brzegu) wymiaru n - 1 lub zbiorem pustym.

Dalej rozmaitości o pustym brzegu będą nazywane po prostu rozmaitościami, choć mogą być dla zaznaczenia nazywane rozmaitościami bez brzegu.

Uwaga: Wnętrze i brzeg rozmaitości należy wyraźnie odróżnić od wnętrza i brzegu zbioru w topologii ogólnej.

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

Początkowy okres badania rozmaitości jest związany z analizą parametryzacji wielowymiarowej i z badaniami geometrii fizycznego Świata. Dwa sposoby zdefiniowania rozmaitości w \mathbb{R}^n, przez lokalną parametryzację i przez równania, rozpatrywał Gauss[7] w przypadku powierzchni w \mathbb{R}^3, a w przypadku dowolnego wymiaru Poincare[8]. J. Pluecker badał lokalne współrzędne na rozmaitościach utworzonych z krzywych, powierzchni itp.[9]

Proste operacje[edytuj | edytuj kod]

Suma topologiczna (czyli topologiczna suma rozłączna) niepustej, przeliczalnej rodziny n-rozmaitości jest n-rozmaitością. Jeżeli wszystkie dodawane rozmaitości były bez brzegu, to suma także jest bez brzegu. Rozmaitość pusta stanowi element neutralny (zerowy) względem operacji sumy topologicznej.

Iloczyn kartezjański m-rozmaitości M^m z n-rozmaitością N^n jest m+n-rozmaitością. Zachodzi przy tym wzór (podobny do wzoru Leibniza):

\partial(M^m \times N^n) = (\partial(M^n) \times N^n) \cup (M^n \times \partial(N^n))

W szczególności iloczyn kartezjański dwóch rozmaitości bez brzegu jest rozmaitością bez brzegu.

Rozmaitość 1-punktowa stanowi element jednostkowy (neutralny) względem operacji iloczynu kartezjańskiego.

Homeomorficzna klasa wyniku operacji sumy topologicznej lub iloczynu kartezjańskiego zależy wyłącznie od homeomorficznej klasy dwóch argumentów. Możemy więc rozpatrywać sumę topologiczną i iloczyn kartezjański jako operacje dwuargumentowe na klasach homeomorficznych przestrzeni. Wtedy rozmaitości z brzegiem tworzą półpierścień przemienny, a rozmaitości bez brzegu – podpółpierścień tego półpierścienia. Jest tak dlatego, że iloczyn kartezjański jest rozdzielny względem sumy topologicznej.

Rozmaitości 0- i 1-wymiarowe[edytuj | edytuj kod]

Jedyną, z dokładnością do homeomorfizmu, 0-wymiarową rozmaitością spójną (z brzegiem lub bez) jest przestrzeń 1-punktowa. 0-wymiarowe rozmaitości (z brzegiem lub bez) to po prostu przeliczalne, skończone lub nieskończone (ale niepuste) przestrzenie dyskretne. Rozmaitości 0-wymiarowe nigdy nie mają brzegu.

Jedyną, z dokładnością do homeomorfizmu, niezwartą 1-wymiarową rozmaitością spójną, bez brzegu, jest prosta rzeczywista \mathbb{R}, a zwartą – okrąg \mathbb{S}^1. Jedynymi 1-wymiarowymi rozmaitościami spójnymi z niepustym brzegiem są półprosta domknięta i odcinek domknięty (z oboma końcami). Pierwsza jest niezwarta, a druga z nich jest zwarta. Ich końce, i tylko one, są punktami brzegowymi.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Zbiory I = [0, 1) oraz H = [0,\infty) są rozmaitościami z brzegiem (w obu jest nim 0). Funkcje

f\colon I \to H,\; f(x) = \tfrac{x}{1-x},,
g\colon H \to I,\; g(x) = \tfrac{x}{1+x},

ciągłe i rosnące, a stąd różnowartościowe, a przy tym wzajemnie do siebie odwrotne. Obie są zatem homeomorfizmami jednej rozmaitości na drugą. Jest to zarazem dowód równoliczności tych zbiorów. Każda z tych funkcji jest różniczkowalna w dowolnym punkcie, dlatego są one w rzeczywistości dyfeomorfizmami (Przekształcenia te są gładkie, t.zn. różniczkowalne w każdym punkcie nieskończenie wiele razy; co więcej – funkcje f g są analityczne).

Rozmaitości n-wymiarowe[edytuj | edytuj kod]

Najprostszym przykładem rozmaitości niezwartej jest przestrzeń \mathbb{R}^n. Wśród zwartych najprostsze są kula domknięta:

\mathbb{B}^n := \{x \in \mathbb{R}^n \colon \|x\| \leqslant 1\}

oraz sfera:

\mathbb{S}^n := \{x \in \mathbb{R}^{n+1} \colon \|x\| = 1\}

Brzegiem kuli jest sfera, której wymiar jest zawsze o jeden mniejszy

\mathbb{S}^n = \partial(\mathbb{B}^{n+1}).

Sfera jest rozmaitością bez brzegu.

Uwaga: Sfera 0-wymiarowa \mathbb{S}^0 jest 2-punktową przestrzenią dyskretną, a więc jest rozmaitością niespójną.

n-wymiarową rozmaitością (bez brzegu) jest także torus, czyli n-ta potęga kartezjańska okręgu:

\mathbb{T}^n := (\mathbb{S}^1)^n

Ogólnie, iloczyn kartezjański skończonego ciągu rozmaitości niepustych, których suma wymiarów jest n jest rozmaitością n-wymiarową.



Zachodzą klasyczne twierdzenia:

Twierdzenie (Brouwer) Kula \mathbb{B}^n ma własność punktu stałego: dla dowolnego odwzorowania ciągłego

f\colon \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B}^n

istnieje   x \in \mathbb{B}^n takie, że f(x)=x.

Twierdzenie (o retrakcji) Nie istnieje retrakcja (ciągła) kuli na jej brzeg, to znaczy: nie istnieje odwzorowanie ciągłe

r\colon \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{S}^{n-1}

takie, że r(x)=x dla każdego x \in \mathbb{S}^{n-1}.

Uwaga: Ogólniej, żadna niepusta rozmaitość zwarta z brzegiem (być może pustym) nie dopuszcza retrakcji na swój brzeg.



Niech  a \in \mathbb{R}^n,  gdzie  |a| \ne 0\,  oraz  n \geqslant 1.  Dla dowolnej liczby rzeczywistej s  zdefiniujmy:

L_s := \{x \in \mathbb{R}^n : a\bullet x = s\}

gdzie operacja  \bullet\,   oznacza iloczyn skalarny. Wtedy każde  L_s\,  jest homeomorficzne z  \mathbb{R}^{n-1}.  Dowodzi się homeomorfizmu metodami elementarnej algebry liniowej. Tak otrzymane przestrzenie (n-1)-wymiarowe są parami rozłączne i pokrywają całe  \mathbb{R}^n.   W szczególności  \, a \in L_{|a|^2}.

Sfera bez punktu[edytuj | edytuj kod]

Niech  a \in \mathbb{S}^n \subset \mathbb{R}^{n+1},  więc  \,|a| = 1. Niech ponadto:

L_1 := \{x \in \mathbb{R}^{n+1} : a\bullet x = 1\}
L_0 := \{x \in \mathbb{R}^{n+1} : a\bullet x = 0\}

Pokażemy, że

Sfera bez punktu,  \mathbb{S}^n\backslash \{a\},  jest homeomorficzna z  \mathbb{R}^n.

na przykład z  \,L_0.

Dowód   Zacznijmy od odwzorowania ciągłego  \pi : \mathbb{R}^{n+1}\backslash L_1\rightarrow L_0,  danego wzorem:

\pi(x) := \frac{x - (a\bullet x)\cdot a}{1 - a\bullet x}

Mianownik nie jest 0 dla  \, x\notin L_1.  Łatwo też sprawdzić, że rzeczywiście  \, a\bullet\pi(x) = 0,  czyli że  \,\pi(x) \in L_0.

Jeżeli  x \in \mathbb{S}^n\backslash \{a\},   to:

2\cdot (a\bullet x) = 2 - (a-x)^2 < 2

skąd  \, a\bullet x < 1,  więc  x\notin L_1.  Możemy więc rozpatrywać obcięcie

p := \pi | \mathbb{S}^n\backslash \{a\} :\ \mathbb{S}^n\backslash \{a\} \rightarrow L_0

Jest to tak zwany rzut stereograficzny;  pokażemy że jest homeomorfizmem – homeomorfizmem odwrotnym jest funkcja  q : L_0 \rightarrow \mathbb{S}^n\backslash \{a\},  dana wzorem:

q(y) := a + \frac{2}{(y-a)^2}\cdot (y-a)

(łatwo policzyć, że naprawdę  (q(y))^2 = 1\,  czyli q(y)\in\mathbb{S}^n).  Sprawdźmy, że  p\,   i   q\,  są wzajemnie odwrotnymi funkcjami. Najpierw niech  \, y := p(x)  dla pewnego  x \in \mathbb{S}^n\backslash \{a\}.  Wtedy ze wzoru na  p(x) := \pi(x)\,  otrzymujemy:

y - a = \frac{x-a}{1-a\bullet x}

oraz

(y - a)^2 = \frac{(x-a)^2}{(1-a\bullet x)^2} = \frac{2\cdot(1-a\bullet x)}{(1-a\bullet x)^2} = \frac{2}{1-a\bullet x}

krótko:

(y - a)^2 = \frac{2}{1-a\bullet x}

Zatem:

q(y) := a + \frac{2}{(y-a)^2}\cdot (y-a) = a + (x-a) = x

czyli  \, q(p(x)) = x,  co kończy pierwszą połowę dowodu homeomorficzności rzutu stereograficznego.

Niech z kolei  \, x := q(y),  gdzie  \, y \in L_0  czyli  \, a\bullet y = 0.  Wtedy

a\bullet x = 1 - \frac{2}{(y-a)^2}

Policzmy licznik i mianownik ułamka  p(x) := \frac{x - (a\bullet x)\cdot a}{1 - a\bullet x} ;   najpierw licznik:

x - (a\bullet x)\cdot a =
\left(a + \frac{2}{(y-a)^2}\cdot (y-a)\right) - \left(1 - \frac{2}{(y-a)^2}\right)\cdot a =
\frac{2\cdot y}{(y-a)^2}

A teraz mianownik:

1 - a\bullet x = \frac{2}{(y-a)^2}

Zatem  \, p(x) = y,  czyli  \, p(q(y))=y,  co kończy dowód tego, że rzut stereograficzny jest homeomorfizmem.

Koniec dowodu.

Uwaga   Rzut stereograficzny i jego odwrotność można oznaczać bardziej specyficznie przez  \, p_a  oraz  \, q_a. Na przykład:  p_a(-a) = \mathbb{O}  oraz  q_a(\mathbb{O}) = -a,   gdzie  \mathbb{O} := (0,\dots,0).

Twierdzenie  Niech  f : X \rightarrow \mathbb{S}^n  będzie dowolnym odwzorowaniem ciągłym, zdefiniowanym na dowolnej przestrzeni topologicznej  \,X.  Jeżeli  \, f  nie jest na, to  \, f  jest homotopijnie trywialne.

Dowód  Niech punkt sfery  \, a  nie należy do obrazu funkcji  \, f.  Homotopia łącząca  \, f  z funkcją stałą (o wartości  \,-a,  dana jest następująco:

h(x, t) := q_a(t\cdot p_a(f(x)))

dla  x \in X\,  oraz  0 \leqslant t \leqslant 1.

Koniec dowodu.

Częściowa jednorodność topologiczna Bn[edytuj | edytuj kod]

Niech f\colon [0,1)\to [0,\infty) będzie homeomorfizmem (patrz wyżej) danym wzorem:

f(x)=\frac{x}{1-x},\; x\in [0,1)

Wówczas odwzorowanie F\colon \operatorname{int}\, \mathbb{B}^n \to \mathbb{R}^n, dane wzorem

F(x)=\left\{\begin{array}{l}f(\| x\|)\cdot \frac{x}{\| x\|},\; x\neq 0\\0,\; x=0\end{array}\right.

jest również homeomorfizmem.

Homeomorfizm, odwrotny do F: G\colon \mathbb{R}^n\to \operatorname{int}\,\mathbb{B}^n można opisać przy pomocy wzoru:

G(x)=\left\{\begin{array}{l}g(\| x\|)\cdot \frac{x}{\| x\|},\; x\neq 0\\0,\; x=0\end{array}\right.,

gdzie g jest homeomorfizmem odwrotnym do f (patrz wyżej).

Następujące twierdzenie pokazuje częściową jednorodność topologiczną \mathbb{B}^n:

Twierdzenie: Dla dowolnych a, b\in\operatorname{int}\,\mathbb{B}^n istnieje homeomorfizm h\colon\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^n kuli domkniętej na siebie, taki że h(a)=b oraz h(x)=x dla każdego x\in\partial(\mathbb{B}^n).

Dowód: Homeomorfizm h definiuje się wzorem:

h(x)=\left\{\begin{array}{l}x,\; x\in \partial(\mathbb{B}^n)\\G(F(x) + F(b) - F(a)),\; x\in \operatorname{int}\, \mathbb{B}^n\end{array}\right.

Koniec dowodu.

Uwaga: Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla n=0. Dowód jest wtedy trywialny, gdyż zbiór \operatorname{int}\, \mathbb{B}^0 jest pusty.

Powyższa konstrukcja daje więcej, gdyż określa działanie (topologiczne) addytywnej grupy topologicznej \mathbb{R}^n na przestrzeń \mathbb{B}^n:

H\colon\mathbb{B}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{B}^n,

które jest tożsamością na \partial(\mathbb{B}^n) oraz działa jednobieżnie (1-tranzytywnie) we wnętrzu \operatorname{int}\, \mathbb{B}^n. H dane jest wzorem:

H(x, v)) := G(F(x) + v) ,\; x\in\mathbb{R}^n,\, v \in\mathbb{R}^n.

Wtedy H(x,0) = x, oraz

\begin{array}{lcl}H((H(x, v), w) & = & G(F(H(x, v)) + w)\\
& = & G(F(G(F(x) + v)) + w) \\
& = & G((F(x) + v) + w) \\
& = & G(F(x) + (v + w)) \\
& = & H(x, v+w)\end{array},

co pokazuje, że H jest rzeczywiście grupą transformacji. Jednobieżność H we wnętrzu kuli jest oczywista: dla dowolnych a, b\in\operatorname{int}\, \mathbb{B}^n istnieje dokładnie jedno v\in \mathbb{R}^n, dla którego \;b = H(a, v), mianowicie  v \;:= F(b) - F(a).

Jednorodność i spójność rozmaitości spójnych[edytuj | edytuj kod]

Powyższy tytuł ma sugerować, że rozmaitości spójne są spójne w pewien szczególnie mocny sposób, a nie tak słabo, jak na przykład suma mnogościowa X dwóch domkniętych kul w przestrzeni stuwymiarowej, które mają dokładnie jeden punkt wspólny p; wtedy usunięcie tego punktu powoduje, że powstała przestrzeń X\setminus\{p\} nie jest spójna.

Niech a\, będzie dowolnym punktem n-wymiarowej rozmaitości spójnej \,M^n. Niech X\, będzie zbiorem wszystkich punktów x\, dla których istnieje zbiór otwarty \,G, homeomorficzny z \mathbb{R}^n, który zawiera oba punkty a\, i \, x Pokażemy poniżej, że \,X=M^n.

Jest oczywistym, że zbiór X\, jest otwarty. Pozostało dowieść, że jest także domknięty:

Niech c\, należy do domknięcia zbioru \,X.

Istnieje homeomorfizm t\, przestrzeni \mathbb{R}^n na pewne otoczenie punktu c\, w rozmaitości \,M^n, spełniający warunki

  • t(0)=c\,
  • a\notin t(\mathbb{R}^n).

Niech B będzie obrazem B=t(\mathbb{B}^n). Istnieje punkt b, należący do wnętrza zbioru B (a więc do obrazu wnętrza t(\mathbb{B}^n)), który należy do X (jako, że c należy do domknięcia X). Częściowa jednorodność kuli (patrz wyżej) mówi, że istnieje homeomorfizm  h\colon B\to B  taki, że

  • h(b)=c\,
  • h(x)=x\,     dla każdego  x\in t(\partial(\mathbb{B}^n))

(Oczywiście t(\partial(\mathbb{B}^n)) jest brzegiem topologicznym zbioru B). Zatem odwzorowanie H\colon M^n\to M^n dane wzorami:

  • \,H(x)=h(x)     dla   x\in B,
  • \,H(x)=x     dla   x\in M^n \setminus t(\operatorname{int} \mathbb{B}^n)

jest homeomorfizmem.

Ponieważ  a\,  nie należy do  \,B,  więc  \,H(a)=a.  Zatem H(B)\,  zawiera, zarówno punkt  \, a,  jak i punkt  \, c=H(b). Pokazaliśmy więc, że  c\,  należy do  X\,;  czyli udowodniliśmy domkniętość zbioru  \,X. Ponieważ nasza rozmaitość jest spójna, to  \,X=M^n.

Wynikają stąd natychmiast następujące twierdzenia:

  • Dla dowolnych dwóch punktów n-rozmaitości spójnej (bez brzegu) istnieje w niej zbiór otwarty, homeomorficzny z \mathbb{R}^n, zawierający te dwa punkty;
  • Każda rozmaitość spójna (bez brzegu) jest topologicznie jednorodna, tzn. dla dowolnej, uporządkowanej pary jej dwóch punktów istnieje homeomorfizm tej rozmaitości na siebie, który pierwszy punkt przeprowadza na drugi;
  • Każda rozmaitość spójna (bez brzegu) jest łukowo spójna (to wynika też z ogólnego twierdzenia Hahna-Mazurkiewicza, i to dla wszystkich spójnych rozmaitości, także tych z brzegiem).

Z pierwszego twierdzenia powyżej wynika natychmiast jego wzmocnieniona wersja:

  • Dla dowolnych dwóch punktów n-rozmaitości spójnej (bez brzegu) istnieje w niej zbiór homeomorficzny z \mathbb{B}^n, zawierający te dwa punkty w swoim wnętrzu.

Ta wersja pozwala bezpośrednio tłumaczyć wszelakie twierdzenia o krotnej, częściowej topologicznej jednorodności \mathbb{B}^n na twierdzenia o odpowiedniej krotnej jednorodności dowolnej spójnej n-rozmaitości.

Suma spójna dwóch n-rozmaitości[edytuj | edytuj kod]

Sumę spójną dwóch n-rozmaitości otrzymuje się przez wycięcie z każdej z nich wnętrza pewnej kuli domkniętej, po czym skleja się tak otrzymane podprzestrzenie wzdłuż brzegu wyciętych kul (wzdłuż sfery (n-1)-wymiarowej).

Nieco formalniej: Niech odwzorowania f\colon \mathbb{R}^n\to M^n oraz g\colon \mathbb{R}^n \to N^n będą zanurzeniami homeomorficznymi, gdzie M^n oraz N^nn-rozmaitościami. W sumie topologicznej podprzestrzeni M^n \setminus f(\operatorname{int}\mathbb{B}^n) oraz N^n \setminus g(\operatorname{int}\mathbb{B}^n) zidentyfikujmy pary punktów f(x) oraz g(x) dla każdego x \in \partial(\mathbb{B}^n). Otrzymana topologiczna przestrzeń ilorazowa nazywa się sumą spójną, i jest oznaczana

M^n \# N^n.

Okazuje się, że z dokładnością do homeomorfizmu, wynik (suma spójna) nie zależy od wyboru funkcji f i g powyżej. Nie zmieni się też, gdy dane rozmaitości zastąpimy przez homeomorficzne. Otrzymaliśmy więc trzecią, po sumie topologicznej i iloczynie kartezjańskim, operację dwuargumentową na rozmaitościach i ich klasach homeomorficznych – ściślej mówiąc – suma łączna jest ciągiem operacji, z których każda działa wyłącznie w swoim wymiarze n.

Elementem neutralnym sumy spójnej n-rozmaitości jest sfera \mathbb{S}^n:

M^n \# \, \mathbb{S}^n = M^n.

Ponadto, suma spójna jest przemienna i łączna.

Twierdzenie:   Każda orientowalna 2-rozmaitość zamknięta jest sumą spójną skończonej liczby torusów \mathbb{T}^2 (w szczególności sfera \mathbb{S}^2 jest sumą spójną zero torusów).

Bordyzm[edytuj | edytuj kod]

Dwie zwarte rozmaitości różniczkowe M,N nazywamy rozmaitościami bordycznymi, jeśli istnieje rozmaitość z brzegiem W, której brzeg jest dyfeomorficzny z topologiczną sumą rozłączną M\coprod N. Bordyzm jest relacją równoważności, a jej klasy abstrakcji nazywane są klasami bordyzmu[10].

W zbiorze klas bordyzmu można zdefiniować działania, odpowiednio, dodawania i mnożenia tak, że będzie on pierścieniem – pierścień ten nazywamy pierścieniem bordyzmu rozmaitości.

Przypisy

  1. И. М. Виноградов: Математическая энциклопедия. T. 3 Koo-Од. Советская энциклопедия, 1982, s. 742. (ros.)
  2. И. М. Виноградов: Математическая энциклопедия. T. 3 Koo-Од. Советская энциклопедия, 1982, s. 742. (ros.)
  3. Roman Duda: Wprowadzenie do topologii. Cz. 1. Topologia ogólna. Warszawa: 1986, s. 386.
  4. Roman Duda, op. cit., s. 386-387
  5. Witold Hurewicz, Henry Wallman: Dimension Theory. Princeton University Press, 1996. ISBN 978-0691079479.
  6. Roman Duda, op. cit., s. 392
  7. Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1827 w А. П. Нoрден: Об основаниях геометрии. Москва: ГИТ-ТЛ, 1956, s. 127. (ros.)
  8. H. Poincaré: Избранные труды. T. 2. Москва: Наука, 1972, s. 459. (ros.)
  9. Julius Plücker: Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf die Berachtung der geraden Linie als Raumelement. Leipzig: 1868-1869.
  10. Klaus Jānich: Topologia. Warszawa: PWN, 1991, s. 83.