Torus (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.
Torus

Torusdwuwymiarowa powierzchnia obrotowa zanurzalna w przestrzeni trójwymiarowej, powstała przez obrót okręgu wokół prostej leżącej w tej samej płaszczyźnie i nieprzecinającej go (czyli nie mającej z nim wspólnych punktów). Często oznacza się go symbolem \mathrm{T}^2 lub \mathbb{T}^2.

Wyobrażeniem torusa może być napompowana dętka rowerowa lub powierzchnia obwarzanka.

Parametryzacje[edytuj | edytuj kod]

Torus.png

Jeśli okrąg z definicji ma promień r\;, obrotu pokrywa się z osią OZ układu współrzędnych kartezjańskich, a jej odległość od środka torusa wynosi R\;, to równanie torusa przyjmuje postać:

\left(\sqrt{x^2 + y^2} - R\right)^2 + z^2 = r^2.

Pole powierzchni torusa wyraża się wzorem:

S = 4 \pi^2rR,\;

z kolei objętość ograniczonego nim ciała to:

V = 2\pi^2Rr^2.\;

Wyniki te najłatwiej uzyskać korzystając z tzw. parametryzacji sferycznej, czyli przedstawiając torus w układzie współrzędnych sferycznych.

Niech dany będzie okrąg w płaszczyźnie xz\; o środku w punkcie \left(R,\ 0,\ 0\right) i promieniu r,\, gdzieR>r>0\;. Parametryzacja tego okręgu przedstawia się następująco:

f(\alpha) = (R+r\cos \alpha,\ 0,\ r\sin \alpha).

Obróćmy ten okrąg o kąt \beta\; wokół osi z\;. W tym celu wykorzystamy macierz obrotu:

U_{\beta}=\begin{bmatrix} \cos \beta & - \sin \beta & 0\\ \sin \beta & \cos \beta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}.

Zatem:

p\left(\alpha,\ \beta\right) = U_{\beta}\cdot f^{T}(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos \beta & - \sin \beta & 0\\ \sin \beta & \cos \beta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} R+r\cos \alpha\\ 0\\ r\sin \alpha\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \left(R+r\cos \alpha\right)\cos \beta\\ \left(R+r\cos \alpha\right)\sin \beta\\ r\sin \alpha\end{bmatrix}.

Wobec tego równanie parametryczne torusa jest postaci:

p(\alpha,\ \beta)=\Big((R+r\cos \alpha)\cos \beta,\ (R+r\cos \alpha)\sin \beta,\ r\sin \alpha\Big).

Krzywizna Gaussa[edytuj | edytuj kod]

Krzywiznę Gaussa powierzchni obrotowej zadanej równaniem parametrycznym p(\alpha,\ \beta) = \Big(g(\alpha),\ h(\alpha)\cos \beta, h(\alpha)\sin \beta \Big) w punkcie P = p(\alpha,\ \beta) można wyznaczyć ze wzoru:

K_{P}={g^\prime\left(g^{\prime\prime}h^\prime-h^{\prime\prime}g^\prime\right)\over h\left(g^{\prime 2}+h^{\prime 2}\right)^2}.

Dla torusa o podanej wcześniej parametryzacji mamy:

h(\alpha) = R+r\cos \alpha, \qquad g(\alpha) = r\sin \alpha.

Stąd:

h^\prime(\alpha) = -r\sin \alpha, \qquad g^\prime(\alpha) = r\cos \alpha;
h^{\prime\prime}(\alpha) = -r\cos \alpha, \qquad g^{\prime\prime}(\alpha) = -r\sin \alpha.

Zatem z powyższego wzoru na krzywiznę Gaussa dla powierzchni obrotowej jest:

K_{P}={\cos \alpha \over r(R+r\cos \alpha)}.

Zauważmy, że:

  • dla -\tfrac{\pi}{2}<\alpha<\tfrac{\pi}{2} mamy \cos \alpha>0,\; czyli K_{P}>0\; na zewnętrznej stronie torusa;
  • dla \alpha=-\tfrac{\pi}{2},\; \alpha=\tfrac{\pi}{2} mamy \cos \alpha=0,\; czyli K_{P}=0\; na górze i dole torusa;
  • dla \tfrac{\pi}{2}<\alpha<\tfrac{3\pi}{2} mamy \cos \alpha<0,\; czyli K_{P}<0\; po wewnętrznej stronie torusa;
  • gdy \alpha=0,\; wówczas K_{P}\; przyjmuje maksimum, tj. K(0)=\tfrac{1}{r(R+r)} na największym okręgu (równoleżniku);
  • gdy \alpha=\pi,\; wówczas K_{P}\; przyjmuje minimum, tj. K(\pi)=\tfrac{1}{r(R-r)} na najmniejszym okręgu (równoleżniku).

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

Torus jest homeomorficzny z przestrzenią ilorazową \mathbb{R}^2 / \sim\;, gdzie \sim\; jest relacją równoważności określoną następująco:

(x, y) \sim (x', y') \Leftrightarrow x - x' \in \mathbb{Z}, y - y' \in \mathbb{Z}.

Wynika stąd istnienie odwzorowania p: \mathbb{R}^2 \rightarrow T^2, f(x, y) = [(x, y)]_{\sim}\;, które przyporządkowuje każdemu punktowi płaszczyzny jego klasę abstrakcji w relacji \sim\; i przeprowadza płaszczyznę w torus. Przekształcenie to łatwo uogólnić na wyższe niż 2 wymiary.

Pojęcie torusa we współczesnej matematyce jest znacznie ogólniejsze i zależnie od działu matematyki możemy mówić o torusach wielowymiarowych, o obiektach w sensie topologicznym równoważnych torusowi, o obiektach mających takie same własności jak torus w sensie teorii rozmaitości algebraicznych itp.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Commons in image icon.svg

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]