Torus (matematyka)

Torus

Torus – dwuwymiarowa powierzchnia obrotowa zanurzalna w przestrzeni trójwymiarowej, powstała przez obrót okręgu wokół prostej leżącej w tej samej płaszczyźnie i nie przecinającej go (czyli nie mającej z nim wspólnych punktów). Często oznacza się go symbolem $\mathrm{T}^2$ lub $\mathbb{T}^2$.

Wyobrażeniem torusa może być napompowana dętka rowerowa lub powierzchnia obwarzanka.

Parametryzacje

Jeśli okrąg z definicji ma promień $r\;$, oś obrotu pokrywa się z osią $OZ$ układu współrzędnych kartezjańskich, a jej odległość od środka torusa wynosi $R\;$, to równanie torusa przyjmuje postać:

$(\sqrt{x^2 + y^2} - R)^2 + z^2 = r^2.$

Pole powierzchni torusa wyraża się wzorem:

$S = 4 \pi^2rR,\;$

z kolei objętość ograniczonego nim ciała to:

$V = 2\pi^2Rr^2.\;$

Wyniki te najłatwiej uzyskać korzystając z tzw. parametryzacji sferycznej, czyli przedstawiając torus w układzie współrzędnych sferycznych.

Niech dany będzie okrąg w płaszczyźnie $xz\;$ o środku w punkcie $\left(R,\ 0,\ 0\right)$ i promieniu $r,\,$ gdzie$R>r>0\;$. Parametryzacja tego okręgu przedstawia się następująco:

$f(\alpha) = (R+r\cos \alpha,\ 0,\ r\sin \alpha).$

Obróćmy ten okrąg o kąt $\beta\;$ wokół osi $z\;$. W tym celu wykorzystamy macierz obrotu:

$U_{\beta}=\begin{bmatrix} \cos \beta & - \sin \beta & 0\\ \sin \beta & \cos \beta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}.$

Zatem:

$p\left(\alpha,\ \beta\right) = U_{\beta}\cdot f^{T}(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos \beta & - \sin \beta & 0\\ \sin \beta & \cos \beta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} R+r\cos \alpha\\ 0\\ r\sin \alpha\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \left(R+r\cos \alpha\right)\cos \beta\\ \left(R+r\cos \alpha\right)\sin \beta\\ r\sin \alpha\end{bmatrix}.$

Wobec tego równanie parametryczne torusa jest postaci:

$p(\alpha,\ \beta)=\Big((R+r\cos \alpha)\cos \beta,\ (R+r\cos \alpha)\sin \beta,\ r\sin \alpha\Big).$

Krzywizna Gaussa

Krzywiznę Gaussa powierzchni obrotowej zadanej równaniem parametrycznym $p(\alpha,\ \beta) = \Big(g(\alpha),\ h(\alpha)\cos \beta, h(\alpha)\sin \beta \Big)$ w punkcie $P = p(\alpha,\ \beta)$ można wyznaczyć ze wzoru:

$K_{P}={g^\prime\left(g^{\prime\prime}h^\prime-h^{\prime\prime}g^\prime\right)\over h\left(g^{\prime 2}+h^{\prime 2}\right)^2}.$

Dla torusa o podanej wcześniej parametryzacji mamy:

$h(\alpha) = R+r\cos \alpha, \qquad g(\alpha) = r\sin \alpha.$

Stąd:

$h^\prime(\alpha) = -r\sin \alpha, \qquad g^\prime(\alpha) = r\cos \alpha;$

$h^{\prime\prime}(\alpha) = -r\cos \alpha, \qquad g^{\prime\prime}(\alpha) = -r\sin \alpha.$

Zatem z powyższego wzoru na krzywiznę Gaussa dla powierzchni obrotowej jest:

$K_{P}={\cos \alpha \over r(R+r\cos \alpha)}.$

Zauważmy, że:

• dla $-\tfrac{\pi}{2}<\alpha<\tfrac{\pi}{2}$ mamy $\cos \alpha>0,\;$ czyli $K_{P}>0\;$ na zewnętrznej stronie torusa;
• dla $\alpha=-\tfrac{\pi}{2},\; \alpha=\tfrac{\pi}{2}$ mamy $\cos \alpha=0,\;$ czyli $K_{P}=0\;$ na górze i dole torusa;
• dla $\tfrac{\pi}{2}<\alpha<\tfrac{3\pi}{2}$ mamy $\cos \alpha<0,\;$ czyli $K_{P}<0\;$ po wewnętrznej stronie torusa;
• gdy $\alpha=0,\;$ wówczas $K_{P}\;$ przyjmuje maksimum, tj. $K(0)=\tfrac{1}{r(R+r)}$ na największym okręgu (równoleżniku);
• gdy $\alpha=\pi,\;$ wówczas $K_{P}\;$ przyjmuje minimum, tj. $K(\pi)=\tfrac{1}{r(R-r)}$ na najmniejszym okręgu (równoleżniku).

Uogólnienie

Torus jest homeomorficzny z przestrzenią ilorazową $\mathbb{R}^2 / \sim\;$, gdzie $\sim\;$ jest relacją równoważności określoną następująco:

$(x, y) \sim (x', y') \Leftrightarrow x - x' \in \mathbb{Z}, y - y' \in \mathbb{Z}$.

Wynika stąd istnienie odwzorowania $p: \mathbb{R}^2 \rightarrow T^2$, $f(x, y) = [(x, y)]_{\sim}\;$, które przyporządkowuje każdemu punktowi płaszczyzny jego klasę abstrakcji w relacji $\sim\;$ i przeprowadza płaszczyznę w torus. Przekształcenie to łatwo uogólnić na wyższe niż 2 wymiary.

Pojęcie torusa we współczesnej matematyce jest znacznie ogólniejsze i zależnie od działu matematyki możemy mówić o torusach wielowymiarowych, o obiektach w sensie topologicznym równoważnych torusowi, o obiektach mających takie same własności jak torus w sensie teorii rozmaitości algebraicznych itp.

Zobacz też

• toroid
• genus

Linki zewnętrzne

• Torus (ang.) w encyklopedii MathWorld