Torus (matematyka)
Z Wikipedii
Torus – dwuwymiarowa powierzchnia obrotowa zanurzalna przestrzeni trójwymiarowej, powstała przez obrót okręgu wokół prostej leżącej w tej samej płaszczyźnie i nie przecinającej go (czyli nie mającej z nim wspólnych punktów). Często oznacza się go symbolem T2 lub
.
Wyobrażeniem torusa może być napompowana dętka rowerowa lub powierzchnia obwarzanka.
[edytuj] Parametryzacje
Jeśli okrąg z definicji ma promień
, oś obrotu pokrywa się z osią OZ układu współrzędnych kartezjańskich, a jej odległość od środka torusa wynosi
, to równanie torusa przyjmuje postać:
Pole powierzchni torusa wyraża się wzorem:
z kolei objętość ograniczonego nim ciała to:
Wyniki te najłatwiej uzyskać korzystając z tzw. parametryzacji sferycznej, czyli przedstawiając torus w układzie współrzędnych biegunowych.
Niech dany będzie okrąg w płaszczyźnie
o środku w punkcie
i promieniu
. Wówczas parametryzacja torusa przedstawia się następująco:
Obróćmy ten okrąg wokół okręgu o promieniu
gdzie
w płaszczyźnie prostopadłej o kąt
wokół osi
(środek mniejszego okręgu leży na dużym okręgu). W tym celu wykorzystamy macierz obrotu:
Zatem:
Wobec tego równanie parametryczne torusa jest postaci:
[edytuj] Krzywizna Gaussa
Krzywiznę Gaussa powierzchni obrotowej zadanej równaniem parametrycznym
w punkcie
można wyznaczyć ze wzoru:
Dla torusa o podanej wcześniej parametryzacji mamy:
Stąd:
Zatem z powyższego wzoru na krzywiznę Gaussa dla powierzchni obrotowej jest:
Zauważmy, że:
- dla
mamy
czyli
na zewnętrznej stronie torusa; - dla
mamy
czyli
na górze i dole torusa; - dla
mamy
czyli
po wewnętrznej stronie torusa; - gdy
wówczas
przyjmuje maksimum, tj.
na największym okręgu (równoleżniku); - gdy
wówczas
przyjmuje minimum, tj.
na najmniejszym okręgu (równoleżniku).
[edytuj] Uogólnienie
Uogólnienie definicji torusa może polegać na rozważeniu płaszczyzny i utożsamieniu punktów odległych w pewnym kierunku o odległość X, zaś w innym niezależnym kierunku o Y, gdzie X i Y są ustalonymi liczbami. Utożsamienie takie przeprowadza płaszczyznę w tzw. kratę[potrzebne źródło]. Jest to przykład odwzorowania, które przeprowadza płaszczyznę w torus, i które łatwo uogólnić na wyższe niż 2 wymiary (utożsamienie punktów odległych w trzech różnych kierunkach o X, Y, Z odpowiednio itd. dla większej liczby wymiarów).
Pojęcie torusa we współczesnej matematyce jest znacznie ogólniejsze i zależnie od działu matematyki możemy mówić o torusach wielowymiarowych, o obiektach w sensie topologicznym równoważnych torusowi, o obiektach mających takie same własności jak torus w sensie teorii rozmaitości algebraicznych itp.











