Diagram Cichonia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Diagram Cichonia − w teorii mnogości diagram złożony dziesięciu liczb kardynalnych, związanych ze strukturą ideałów zbiorów pierwszej kategorii i zbiorów miary zero na prostej rzeczywistej, oraz ze strukturą przestrzeni Baire'a{\mathbb N}^{\mathbb N} (tzn. przestrzeni wszystkich ciągów liczb naturalnych).

Nazwa diagramu była wprowadzona przez brytyjskiego matematyka Dawida Fremlina[1] dla uhonorowania wkładu wrocławskiego matematyka Jacka Cichonia i jego grupy w rozwój tej części teorii mnogości. Należy jednak podkreślić, że ostateczny kształt diagramu jest wynikiem pracy wielu matematyków polskich i zagranicznych. W miarę aktualny stan badań w tej i pokrewnych dziedzin można znaleźć w monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha [2]

Dowody nierówności związanych z diagramem Cichonia są bardzo efektywne: mówią o strukturze miary i kategorii więcej, niż wynika to z nierówności pomiędzy odpowiednimi liczbami kardynalnymi. Dlatego rozważa się również wersje diagramu dla własności rozszerzeń modeli teorii mnogości[3] oraz dla własności pewnych rodzin zbiorów "małych"[4].

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Niech I będzie ideałem podzbiorów X, do którego należą wszystkie podzbiory jednopunktowe. Definiujemy współczynniki kardynalne ideału I następująco :

  • {\rm add}(I)=\min\{|{\mathcal A}|: {\mathcal A}\subseteq I \wedge \bigcup{\mathcal A}\notin I\big\}.
    (Innymi słowy, liczba kardynalna add(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile zbiorów należących do ideału I musimy połączyć, aby dostać zbiór nie należący do ideału?")
  • {\rm cov}(I)=\min\{|{\mathcal A}|:{\mathcal A}\subseteq I \wedge\bigcup{\mathcal A}=X\big\}.
    (cov(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile zbiorów należących do ideału I potrzebujemy, aby pokryć cały zbiór X?")
  • {\rm non}(I)=\min\{|A|:A\subseteq X\ \wedge\ A\notin I\big\},
    (non(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile elementów ma najmniejszy zbiór nie należący do I?")
  • {\rm cof}(I)=\min\{|{\mathcal B}|:{\mathcal B}\subseteq I \wedge (\forall A\in I)(\exists B\in {\mathcal B})(A\subseteq B)\big\}.
    (cof(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile zbiorów należących do ideału I potrzebujemy, by wygenerować cały ideał I?")

Definiujemy także następujące dwie liczby kardynalne (nazywane liczbą nieograniczoną i liczbą dominującą, odpowiednio):

  • {\mathfrak b}=\min\big\{|F|:F\subseteq{\mathbb N}^{\mathbb N}\ \wedge\ (\forall g\in {\mathbb N}^{\mathbb N})(\exists f\in F)(\exists^\infty n\in{\mathbb N})(g(n)<f(n))\big\},
  • {\mathfrak d}=\min\big\{|F|:F\subseteq{\mathbb N}^{\mathbb N}\ \wedge\ (\forall g\in{\mathbb N}^{\mathbb N})(\exists f\in F)(\forall^\infty n\in{\mathbb N})(g(n)<f(n))\big\},

gdzie "\exists^\infty n\in{\mathbb N}" oznacza "istnieje nieskończenie wiele takich n\in{\mathbb N}, że" oraz "\forall^\infty n\in{\mathbb N}" oznacza "dla wszystkich, oprócz skończenie wielu n\in{\mathbb N} mamy, że".

Diagram[edytuj | edytuj kod]

Niech {\mathcal K} będzie σ-ideałem tych podzbiorów prostej rzeczywistej, które są pierwszej kategorii Baire'a, oraz niech {\mathcal L} oznacza σ-ideał zbiorów miary Lebesgue'a zero na prostej. Wówczas zachodzą następujące nierówności, gdzie każda strzałka "\longrightarrow" zastępuje znak nierówności "\leqslant":

{\rm cov}({\mathcal L}) \longrightarrow {\rm non}({\mathcal K}) \longrightarrow {\rm cof}({\mathcal K}) \longrightarrow {\rm cof}({\mathcal L}) \longrightarrow 2^{\aleph_0}
 \Bigg\uparrow    \uparrow \uparrow  \Bigg\uparrow
{\mathfrak b} \longrightarrow {\mathfrak d}
\uparrow \uparrow
\aleph_1 \longrightarrow {\rm add}({\mathcal L}) \longrightarrow {\rm add}({\mathcal K}) \longrightarrow {\rm cov}({\mathcal K}) \longrightarrow {\rm non}({\mathcal L})

Z powyższym diagramem związane są dwie dodatkowe zależności:

{\rm add}({\mathcal K})=\min\{{\rm cov}({\mathcal K}),{\mathfrak b}\} oraz
{\rm cof}({\mathcal K})=\max\{{\rm non}({\mathcal K}),{\mathfrak d}\}.

Okazuje się, że każde rozmieszczenie wartości \aleph_1 i \aleph_2 w diagramie, które jest zgodne z nierównościami i powyższymi dwoma równościami jest niesprzeczne z ZFC. Aksjomat Martina implikuje że {\rm add}({\mathcal L})=2^{\aleph_0} (a więc i pozostałe współczynniki są równe 2^{\aleph_0}), CH oczywiście implikuje że wszystkie liczby w diagramie są równe \aleph_1.

Przypisy

  1. Fremlin, David H.: Cichon's diagram, "Publ. Math. Univ. Pierre Marie Curie" 66, Sémin. Initiation Anal. 23ème Année-1983/84, Exp. No.5, 13 p. (1984). Zbl 0559.03029
  2. Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim: Set theory. On the structure of the real line.A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. xii+546 pp. ISBN 1-56881-044-X
  3. Pawlikowski, Janusz: Why Solovay real produces Cohen real, "J. Symbolic Logic" 51 (1986), s. 957-968.
  4. Pawlikowski, Janusz; Recław, Ireneusz: Parametrized Cichoń's diagram and small sets, "Fundamenta Mathematicae" 147 (1995), s. 135-155.