Aksjomat Martina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Aksjomat Martina – zdanie postulujące pewną własność zbiorów uporządkowanych.

Zdanie to jest używane w teorii mnogości i pokrewnych dziedzinach matematyki. Jest ono niezależne od standardowych aksjomatów ZFC, tzn. zdania tego nie można udowodnić na gruncie tych aksjomatów ani nie można go obalić. Ponieważ ma ono wiele ciekawych konsekwencji, jest ono traktowane przez matematyków jako dodatkowy aksjomat, który może być zakładany, jeśli tego wymaga dowód. W tym sensie pozycja aksjomatu Martina może być porównana do pozycji zajmowanej przez hipotezę continuum (CH).

Historia i znaczenie[edytuj | edytuj kod]

Około roku 1965 amerykańscy matematycy Robert M. Solovay i Stanley Tennenbaum rozwinęli metodę forsingu, wprowadzając forsing iterowany, aby udowodnić niezależność hipotezy Suslina. W procesie badania ich wyników, Donald A. Martin (również amerykański matematyk) zaproponował aksjomat, który w dużym stopniu odzwierciedlał sedno modelu teorii mnogości skonstruowanego przez Solovaya i Tennenbauma. Aksjomat zaproponowany przez Martina i pewne jego zastosowania były przedstawione w 1970[1], a dowód niesprzeczności tego aksjomatu i sama metoda forsingu iterowanego były opublikowane w 1971[2].

Aksjomat Martina uogólnia hipotezę continuum i w wielu przypadkach pozwala na powtórzenie argumentów stosowanych przy użyciu CH. Najważniejsze zastosowania aksjomatu Martina są związane z jednoczesnym odrzuceniem hipotezy continuum (tzn. założeniem \neg {\rm CH}) i wtedy jego siła polega na stwierdzeniu, że pomimo tego, iż 2^{\aleph_0}>\aleph_1, to uniwersum teorii mnogości wygląda trochę tak, jakby CH była prawdziwa - to znaczy, nieskończone zbiory o mocy mniejszej niż continuum zachowują się podobnie jak zbiory przeliczalne.

Należy podkreślić, że główne źródło popularności aksjomatu Martina tkwi w możliwości wyeliminowania dość skomplikowanych dowodów niesprzeczności pewnych stwierdzeń przy użyciu forsingu. Ma więc on znaczenie dydaktyczne jako wprowadzenie do metody forsingu[3] oraz praktyczne jako narzędzie dla matematyków nie zaznajomionych z metodą forsingu[4].

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Przed sformułowaniem aksjomatu przypomnijmy następujące definicje.

Niech ({\mathbb P},\leqslant) będzie porządkiem częściowym.

  • Zbiór A\subseteq{\mathbb P} jest antyłańcuchem w {\mathbb P} wtedy i tylko wtedy, gdy każde dwa różne elementy p,q\in A są sprzeczne, tzn.

\big(\forall p,q\in A\big)\big(p\neq q\ \Rightarrow\ \neg(\exists r\in{\mathbb P})(r\leqslant p\ \wedge r\leqslant q)\big).

  • Powiemy, że {\mathbb P} spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo ccc, jeśli każdy antyłańcuch w {\mathbb P} jest przeliczalny.
  • Zbiór D\subseteq{\mathbb P} jest gęsty w {\mathbb P} wtedy i tylko wtedy gdy \big(\forall p\in {\mathbb P}\big)\big(\exists q\in D\big)\big(q\leqslant p\big).
  • Niepusty zbiór G\subseteq{\mathbb P} jest filtrem w {\mathbb P} wtedy i tylko wtedy, gdy
(i) jeśli p,q\in \mathbb P, q\leqslant p oraz q\in G, to również p\in G,
(ii) jeśli p,q\in G, to można znaleźć r\in G taki, że r\leqslant p oraz r\leqslant q.

Aksjomat[edytuj | edytuj kod]

Aksjomat Martina to następujące zdanie:

jeśli
  • {\mathbb P} jest porządkiem częściowym spełniającym warunek przeliczalnych antyłańcuchów (ccc) i
  • {\mathcal I} jest rodziną gęstych podzbiorów {\mathbb P} oraz
  • |{\mathcal I}|<2^{\aleph_0} (gdzie |{\mathcal I}| oznacza moc zbioru {\mathcal I}),
to istnieje filtr G\subseteq {\mathbb P} który ma niepusty przekrój z każdym zbiorem z {\mathcal I} (tzn. (\forall D\in {\mathcal I})(D\cap G\neq\emptyset)).

Aksjomat Martina jest tradycyjnie oznaczany przez MA. Należy zauważyć, że CH implikuje MA w formie sformułowanej powyżej (patrz sekcja 5 o aksjomatach forsingowych) i wtedy nie ma wielkiego pożytku z zakładania tego aksjomatu. Dlatego też matematycy często mówiąc aksjomat Martina, myślą MA+¬CH.

Konsekwencje[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy MA oraz ¬CH. Wówczas następujące stwierdzenia są prawdziwe:

Przypomnijmy, że przestrzeń topologiczna X jest ccc, jeśli każda rodzina rozłącznych niepustych otwartych podzbiorów X jest przeliczalna.

Porównanie: MA a CH[edytuj | edytuj kod]

Hipoteza continuum jest równoważna ze zdaniem:

CH: Jedyną nieskończoną liczbą kardynalną mniejszą niż continuum jest liczba \aleph_0.

Aksjomat Martina jest słabszą wersją tego zdania; powyższe konsekwencje aksjomatu Martina demonstrują że MA ma formę

MA: Każda nieskończona liczba kardynalna mniejsza niż continuum jest podobna (w pewnym sensie) do liczby \aleph_0.

Ogólny schemat aksjomatów forsingowych[edytuj | edytuj kod]

Aksjomat Martina był pierwszym aksjomatem forsingowym sformułowanym w teorii mnogości. Gdy jego popularność poza teorią mnogości (np w topologii czy też w teorii miary) stała się oczywista, specjaliści w teorii forsingu starali się zaproponować społeczności matematycznej szerszą rodzinę aksjomatów opartych na schemacie przedstawionym poniżej.

  • Dla porządku częściowego {\mathbb P} i liczby kardynalnej \kappa niech {\rm MA}_\kappa({\mathbb P}) oznacza następujące zdanie:
jeśli {\mathcal I} jest rodziną gęstych podzbiorów {\mathbb P} oraz |{\mathcal I}|\leqslant\kappa,
to istnieje filtr G\subseteq {\mathbb P} który ma niepusty przekrój z każdym zbiorem z {\mathcal I} (tzn. (\forall D\in {\mathcal I})(D\cap G\neq\emptyset)).
  • Dla klasy {\mathcal P} porządków częściowych i liczby kardynalnej \kappa, {\rm MA}_\kappa({\mathcal P}) jest zdaniem \big(\forall {\mathbb P}\in {\mathcal P}\big)\big({\rm MA}_\kappa({\mathbb P})\big).

Należy zauważyć, że na mocy klasycznego lematu polskich matematyków Heleny Rasiowej i Romana Sikorskiego, {\rm MA}_{\aleph_0}({\mathbb P}) jest prawdziwe (w ZFC). Nietrudno jest też wykazać, że jeśli {\mathbb P} jest porządkiem bezatomowym i separatywnym, to {\rm MA}_{2^{|{\mathbb P}|}}({\mathbb P}) jest zdaniem fałszywym (w ZFC).

Jeśli CCC oznacza klasę wszystkich porządków częściowych spełniających ccc, to wprowadzony wcześniej aksjomat Martina oznacza (\forall \kappa<2^{\aleph_0})({\rm MA}_\kappa({\rm CCC})). Aksjomat {\rm MA}_{\aleph_1}({\rm CCC}) był uogólniony przez Saharona Shelaha do PFA[6], aksjomatu, który również jest wspomnianej powyżej postaci i także jest niezależny od aksjomatów ZFC. Wśród aksjomatów forsingowych PFA jest drugim co do popularnośći w matematyce (po MA).

W literaturze matematycznej istnieją pewne rozbieżności, jeśli chodzi o terminologię związaną z aksjomatami forsingowymi. Niektórzy autorzy rezerwują nazwę aksjomat Martina i symbol {\rm MA}_{\kappa} dla {\rm MA}_{\kappa}({\rm CCC}), a dla pozostałych przypadków używają oznaczenia {\rm FA}_{\kappa}. Istnieją również pewne niekonsekwencje w formułowaniu definicji i roli liczby \kappa. Czasami {\rm MA}_\kappa jest rozumiany jako {\rm MA}_{<\kappa}, tzn. postulat istnienia filtru przecinającego zadane <\kappa zbiorów gęstych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Martin, D. A.; Solovay, R. M.: Internal Cohen extensions. "Ann. Math. Logic" 2 (1970), s. 143-178.
  2. Solovay, R. M.; Tennenbaum, S.: Iterated Cohen extensions and Souslin's problem. "Ann. of Math." (2) 94 (1971), s. 201-245.
  3. Kunen, Kenneth: Set theory. An introduction to independence proofs. "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics", 102. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. ISBN 0-444-85401-0
  4. Fremlin, David H.: Consequences of Martin's axiom. "Cambridge Tracts in Mathematics", 84. Cambridge University Press, Cambridge, 1984. ISBN 0-521-25091-9.
  5. Shelah, Saharon: Infinite abelian groups, Whitehead problem and some constructions. "Israel J. Math." 18 (1974), s. 243-256.
  6. Shelah, Saharon: Proper forcing. "Lecture Notes in Mathematics", 940. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ISBN 3-540-11593-5