Wymiar Hausdorffa

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Wymiar Hausdorffa – cecha numeryczna zbioru w przestrzeni metrycznej; nazwa tego wymiaru honoruje Feliksa Hausdorffa, który ten wymiar zdefiniował.

Spis treści

[edytuj] Definicja

Niech s  > 0. Niech \;(X, d) będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru E \subseteq X określamy miarę zewnętrzną

H^s_\delta(E) = \inf\left\{\sum_{i=1}^\infty \operatorname{diam}(A_i)^s\right\},

gdzie infimum bierzemy po rodzinach zbiorów \,\{A_i\}_i, które pokrywają E\, i zawierają zbiory o średnicy mniejszej lub równej \,\delta.

Gdy \delta\, maleje, to H^s_\delta(E) rośnie. Zatem poniższa granica (skończona lub nie) istnieje i jest nazywana miarą Hausdorffa (dla wykładnika s):

H^s(E) = \lim_{\delta \to 0}~H^s_\delta(E).

Łatwo sprawdzić, że:

  • H^s(E) = 0 \implies H^t(E) = 0     dla każdego \,t>s;
  • H^s(E) = \infty \implies H^t(E) = \infty     dla każdego \,t<s.

Wymiar Hausdorffa określa się wówczas jako

\operatorname{dim}_H(E) = \inf \{s\colon H^s(E) = 0\} = \sup \{s\colon H^s(E) = \infty\}.

[edytuj] Wymiar Hausdorffa a wymiar topologiczny

Wymiar Hausdorffa metrycznej przestrzeni ośrodkowej jest zawsze niemniejszy od jej wymiaru topologicznego. Edward Marczewski (1937)  [1]  udowodnił, że każda ośrodkowa przestrzeń metryczna dopuszcza metrykę indukującą jej topologię i taką, że wymiar Hausdorffa przy tej metryce jest równy wymiarowi topologicznemu.

Podobne twierdzenie, ale tylko dla przestrzeni metrycznych zwartych, dowiedli wspólnie Lew Pontriagin i Lew Sznirelman (1932)  [2] wykorzystując zamiast miary Hausdorffa logarytm minimalnych liczności ε-pokryć, podzielony przez log(ε).

Wynik Marczewskiego (oraz Eilenberga) przedstawiony jest w klasycznej monografii Witold Hurewicza i Henry Wallmana [3]; patrz też rosyjskie tłumaczenie [4], gdzie znajduje się dodatek ze wspomnianą pracą Pontriagina-Sznirelmana.

[edytuj] Praktyczna metoda wyznaczania

 Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Należy w nim poprawić/wykonać działania: Nie da się tego napisać po ludzku? Autor to rozumie, bo zna, leczy gdyby nie znał?.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Dla większości zbiorów fraktalnych w przestrzeni metrycznej, np. takich jak Kostka Mengera, wyznaczenie wymiaru Haussdorfa sprowadza się do zbadania zbieżności szeregu geometrycznego utworzonego z miar jego zmniejszanych elementów z potęgą wymiaru z każdej rekurencji tzn. kiedy suma ta staje się nieskończona. Suma ta jest szczególnym wyborem z rodziny zbiorów z definicji H^s_\delta(E). Wymiar Haussdorfa jest równy największej wartości potęgi dla której powstały ciąg geometryczny oraz szereg stają się rozbieżne.

Przykład: dywan Sierpińskiego:

W każdej rekurencji usuwa się 8n kwadratów o boku 1 / 3n. Suma szeregu jest wtedy dana przez

\frac{}{}Z(\gamma)= \left(\frac{1}{3}\right)^{\gamma}+8 \left(\frac{1}{3^2}\right)^{\gamma}+ 8^2 \left(\frac{1}{3^3}\right)^{\gamma}+8^3 \left(\frac{1}{3^4}\right)^{\gamma}+...

co jest sumą wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie

q=\frac{8}{3^{\gamma}}

Ciąg ten i suma stają się rozbieżne gdy q = 1 tzn. wymiar Haussdorfa dywanu Sierpińskiego wynosi

\gamma=\frac{\log(8)}{\log(3)}\approx 1,8928

Dla kostki Mengera będzie to więc log(20) / log(3), dla piramidy Sierpińskiego log(4) / log(2), a dla zbioru Cantora log(2) / log(3).


Przypisy

  1. ↑ Szpilrajn, La dimension et la mesure, Fund. math., 28 (1937), 81-89
  2. ↑ Об одном метрическом свойстве размерности, Annals of Mathematics 33 (1932), 156-162
  3. ↑ Witold Hurewicz and Henry Wallman, Dimension Theory, 1941
  4. ↑ Witold Hurewicz i Henry Wallman, Теория Размерности, И*Л, 1948, Μοсква

[edytuj] Zobacz też

Źródło „http://pl.wikipedia.org/wiki/Wymiar_Hausdorffa”
Utwórz książkę