Wymiar Hausdorffa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wymiar Hausdorffa – liczbowy niezmiennik metryczny; nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech s  > 0. Niech \;(X, d) będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru E \subseteq X określamy miarę zewnętrzną

H^s_\delta(E) = \inf\left\{\sum_{i=1}^\infty \operatorname{diam}(A_i)^s\right\},

gdzie infimum bierzemy po rodzinach zbiorów \,\{A_i\}_i, które pokrywają E\, i zawierają zbiory o średnicy mniejszej lub równej \,\delta.

Gdy \delta\, maleje, to H^s_\delta(E) rośnie. Zatem poniższa granica (skończona lub nie) istnieje i jest nazywana miarą Hausdorffa[1] (dla wykładnika s):

H^s(E) = \lim_{\delta \to 0}~H^s_\delta(E).

Łatwo sprawdzić, że:

  • H^s(E) = 0 \implies H^t(E) = 0     dla każdego \,t>s;
  • H^s(E) = \infty \implies H^t(E) = \infty     dla każdego \,t<s.

Wymiar Hausdorffa określa się wówczas jako

\operatorname{dim}_H(E) = \inf \{s\colon H^s(E) = 0\} = \sup \{s\colon H^s(E) = \infty\}.

Wymiar Hausdorffa a wymiar topologiczny[edytuj | edytuj kod]

Wymiar Hausdorffa metrycznej przestrzeni ośrodkowej jest zawsze niemniejszy od jej wymiaru topologicznego. Edward Marczewski (1937)  [2]  udowodnił, że każda ośrodkowa przestrzeń metryczna dopuszcza metrykę indukującą jej topologię i taką, że wymiar Hausdorffa przy tej metryce jest równy wymiarowi topologicznemu.

Podobne twierdzenie, ale tylko dla przestrzeni metrycznych zwartych, dowiedli wspólnie Lew Pontriagin i Lew Sznirelman (1932)  [3] wykorzystując zamiast miary Hausdorffa logarytm minimalnych liczności ε-pokryć, podzielony przez log(ε).

Wynik Marczewskiego (oraz Eilenberga) przedstawiony jest w klasycznej monografii Witolda Hurewicza i Henry'ego Wallmana [4]; patrz też rosyjskie tłumaczenie [5], gdzie znajduje się dodatek ze wspomnianą pracą Pontriagina-Sznirelmana.

Praktyczna metoda wyznaczania[edytuj | edytuj kod]

Dla większości zbiorów fraktalnych w przestrzeni metrycznej, obliczanie wymiaru fraktalnego może okazać się trudne[6]. Jednak dla pewnej klasy obiektów fraktalnych można korzystać z następującego twierdzenia[7][8]:

Niech A_{\infty} będzie atraktorem układu iterowanych odwzorowań w_{1},\dots,w_{k}, będących zwężającymi podobieństwami o skalach podobieństwa a_{1},\dots,a_{k}. Ponadto załóżmy, że obrazy atraktora są rozłączne, to znaczy, że dla każdego i \neq j zachodzi w_{i}(A_{\infty}) \cap w_j(A_{\infty})=\emptyset. Wtedy wymiar Hausdorffa \dim_{H}(A_{\infty}) jest równy liczbie r będącej rozwiązaniem równania:

|a_1|^r+\dots+|a_k|^r=1

Powyższe równanie jest konsekwencją następującego zapisu oraz własnościami miary H^s:

H^s(A_{\infty}) = H^s(w_{1}(A_{\infty})) + \dots + H^s(w_{k}(A_{\infty}))


H^s(A_{\infty}) = |a_{1}|^s H^s(A_{\infty}) + \dots + |a_{k}|^s H^s(A_{\infty})


1=|a_1|^s+\dots+|a_k|^s


Przykład: dywan Sierpińskiego:

Dywan Sierpińskiego jest atraktorem układu IFS ośmiu podobieństw o skalach podobieństwa a_{i}=1/3. Wtedy rozwiązaniem równania

8 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{r}=1

jest r=\frac{\log(8)}{\log(3)}\approx 1,8928

Dla kostki Mengera będzie to więc \log(20)/\log(3), dla piramidy Sierpińskiego \log(4)/\log(2)=2, a dla zbioru Cantora \log(2)/\log(3).

Przypisy

  1. F. Hausdorff, Mathematische Annalen, 79 (1918), s. 157-179
  2. Szpilrajn, La dimension et la mesure, Fund. math., 28 (1937), 81-89
  3. Об одном метрическом свойстве размерности, Annals of Mathematics 33 (1932), 156-162
  4. Witold Hurewicz, Henry Wallman, Dimension Theory, 1941
  5. Witold Hurewicz i Henry Wallman, Теория Размерности, И*Л, 1948, Μοсква
  6. Saupe D., Jürgens H., Peitgen H.-O.,Fraktale - granice chaosu, PWN, Warszawa 1995, t.I, ss. 273-295
  7. Kudrewicz Jacek, Fraktale i chaos, WNT, Warszawa 2007, wydanie czwarte, ss. 58-61
  8. Egdar Gerald, Measure, Topology and Fractal Geometry, Springer-Verlag, 1990