Nośnik miary

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Nośnik miary jest pojęciem analogicznym do pojęcia nośnika funkcji. Nie jest to jednak podzbiór σ-algebry, na której miara jest określona, lecz podzbiór przestrzeni, w której jest ona zdefiniowana. Dla rozkładów prawdopodobieństwa nośnikiem miary jest zbiór wszystkich wartości, które może przyjąć zmienna losowa.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X, \mathcal{T}) będzie przestrzenią topologiczną i niech μ będzie miarą borelowską na X. Nośnikiem miary μ nazywamy zbiór wszystkich tych punktów z X, których każde otoczenie otwarte ma dodatnią miarę:

\mathrm{supp} (\mu) := \{ x \in X | \forall x \in N_{x} \in \mathcal{T}, \mu (N_{x}) > 0 \}.

Niekiedy przez nośnik miary rozumie się domknięcie tego zbioru.

Związek z pojęciem nośnika funkcji[edytuj | edytuj kod]

Należy zwrócić uwagę na istotną różnicę w pojęciu nośnika funkcji i nośnika miary. Miara jest pewną funkcją z pewnej σ-algebry podzbiorów danej przestrzeni w zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych. Nośnik miary interpretowany jako nośnik tej funkcji nie jest tym samym co nośnik miary zdefiniowany powyżej. Pierwsze z tych pojęć oznacza pewien podzbiór σ-algebry, na której określona jest miara (mianowicie zbiór tych zbiorów z tej σ-algebry, które maja miarę dodatnią) podczas gdy drugie oznacza pewien podzbiór samej przestrzeni, w której zdefiniowano miarę.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Nośnikiem miary Lebesgue'a na zbiorze liczb rzeczywistych \mathbb{R}jest cały zbiór \mathbb{R}.

Nośnikiem miary Diraca skoncentrowanej w punkcie p \in \mathbb{R} jest \{p\}.