Miara Diraca

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Miara Diracamiara przypisująca zbiorom zawierającym ustalony punkt przestrzeni mierzalnej wartość 1, tj. jeżeli (X,{\mathfrak M}) przestrzenią mierzalną oraz x jest elementem przestrzeni X, to miarą Diraca skoncentrowaną w punkcie x nazywa się miarę \delta_x określoną wzorem

\delta_x(A) = \begin{cases} 0, & x \notin A, \\ 1, & x \in A \end{cases}

dla dowolnego zbioru mierzalnego A \in {\mathfrak M}.

Miara Diraca jest miarą probabilistyczną. Nazwa pojęcia pochodzi od funkcji delta Diraca, będącej dystrybucją na prostej rzeczywistej. Dla miary Diraca i dowolnej funkcji mierzalnej f na X zachodzi tożsamość:

\int\limits_X~f(y) \, \mathrm{d} \delta_x(y) = f(x).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech \delta_x oznacza miarę Diraca określoną w pewnym punkcie x przestrzeni mierzalnej (X, \mathfrak M).

  • \delta_x jest miarą probabilistyczną (w szczególności, skończoną).

Niech (X, \tau) będzie przestrzenią topologiczną, a \mathfrak M będzie σ-ciałem podzbiorów X zawierającym wszystkie borelowskie podzbiory X oraz niech \delta_x jest miarą Diraca skoncentrowaną w pewnym punkcie x przestrzeni X.

A = \mathbb R^n \setminus \{x\}, B = \{x\}\, oraz
\delta_x(A) = \lambda^n(B) = 0\,.