Miara Diraca

Miara Diraca – miara przypisująca zbiorom zawierającym ustalony punkt przestrzeni mierzalnej wartość 1, tj. jeżeli $(X,{\mathfrak M})$ przestrzenią mierzalną oraz $x$ jest elementem przestrzeni $X$ , to miarą Diraca skoncentrowaną w punkcie $x$ nazywa się miarę $\delta_x$ określoną wzorem

$\delta_x(A) = \begin{cases} 0, & x \notin A, \\ 1, & x \in A \end{cases}$

dla dowolnego zbioru mierzalnego $A \in {\mathfrak M}$ .

Miara Diraca jest miarą probabilistyczną. Nazwa pojęcia pochodzi od funkcji delta Diraca, będącej dystrybucją na prostej rzeczywistej. Dla miary Diraca i dowolnej funkcji mierzalnej $f$ na $X$ zachodzi tożsamość:

$\int\limits_X~f(y) \, \mathrm{d} \delta_x(y) = f(x)$ .

Własności [edytuj]

Niech $\delta_x$ oznacza miarę Diraca określoną w pewnym punkcie $x$ przestrzeni mierzalnej $(X, \mathfrak M)$ .

$\delta_x$ jest miarą probabilistyczną (w szczególności, skończoną).

Niech $(X, \tau)$ będzie przestrzenią topologiczną, a $\mathfrak M$ będzie σ-ciałem podzbiorów $X$ zawierającym wszystkie borelowskie podzbiory $X$ oraz niech $\delta_x$ jest miarą Diraca skoncentrowaną w pewnym punkcie $x$ przestrzeni $X$ .

Miara Diraca jest miarą ściśle dodatnią wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią typu T₀.
Miara Diraca, jako miara skończona, jest w szczególności lokalnie skończona.
Miara Diraca jest wewnętrzną regularna: wszystkie zbiory jednoelementowe są zwarte. W szczególności miary Diraca są miarami Radona.
Jeśli zbiór $\{x\}$ jest domknięty w topologii $\tau$ , to jest on nośnikiem miary $\delta_x$ (w przeciwnym wypadku nośnikiem $\delta_x$ jest domknięcie zbioru $\{x\}$ w rozważanej topologii). Miary Diraca (na przestrzeniach typu T₁) są jedynymi miarami probabilistycznymi o jednopunktowym nośniku.
Jeżeli $X$ jest $n$ -wymiarową przestrzenią euklidesową $\mathbb R^n$ z $\sigma$ -algebrą zbiorów borelowskich oraz $n$ -wymiarową miarą Lebesgue'a $\lambda^n$ , to $\delta_x$ jest miarą osobliwą względem $\lambda^n$ : $\mathbb{R}^n=A\cup B$ , gdzie