Połączenie afiniczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Połączenie afiniczne na sferze rzutowane na styczną płaszczyznę afiniczną od jednego punktu do drugiego. Wskutek czego punkt styczności wędruje wzdłuż krzywej na płaszczyźnie.

W geometrii różniczkowej połączenie afiniczne to obiekt geometryczny na gładkiej rozmaitości, które łączy pobliskie przestrzenie styczne, dzięki czemu możliwe jest różniczkowanie stycznych pól wektorowych tak jakby były funkcjami na rozmaitości z wartościami w stałej przestrzeni wektorowej. Pojęcie połączenia afinicznego ma swoje korzenie w XIX-wiecznej geometrii i rachunku tensorowym, lecz nie było rozwijane aż do lat 20. XX wieku przez Élie Cartana. Terminologia, dzięki Cartanowi, ma swoje początki w identyfikacji stycznych przestrzeni w przestrzeni euklidesowej Rn inaczej rzecz ujmując: pomysł opiera się na tym, aby wybór połączenia afinicznego spowodował, że rozmaitość będzie nieskończenie podobna do przestrzeni euklidesowej, tj. nie tylko przez gładkość, ale także afiniczność.

Na każdej rozmaitości o dodatnim wymiarze istnieje nieskończenie wiele połączeń afinicznych. Jeżeli rozmaitość cechuje się metryką riemannowską wtedy wybór połączenia afinicznego jest naturalny - nazywa się je połączeniem Levi-Civita. Wybór połączenia afinicznego jest analogiczny do przypisywania sposobu różniczkowania pól wektorowych, które spełniają kilka uzasadnionych warunków (liniowość oraz zasadę Leibnitza). To skutkuje możliwością zdefiniowania połączenia afinicznego jako pochodnej kowariantnej lub (liniowego) połączenia na wiązce stycznej. Wybór połączenia afinicznego jest także zamiennikiem transportu równoległego, który jest metodą transportu stycznych wektorów wzdłuż krzywych.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Kobayashi: Foundations of differential geometry. Hohn Wiley & Sons, 1963. ISBN 0470496479.