Tensor krzywizny Riemanna

Ogólna teoria względności

$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,$

Równanie Einsteina Wstęp Aparat matematyczny Koncepcje podstawowe Szczególna teoria względności • Ogólna teoria względności • Zasada równoważności • Linia świata • Geometria Riemanna Zjawiska Problem Keplera • Soczewkowanie grawitacyjne • Fale grawitacyjne • Zjawisko Lensa-Thirringa • Efekt geodezyjny • Horyzont zdarzeń • Osobliwość grawitacyjna • Czarna dziura Równania Grawitacja liniowa • Parametryczny formalizm postnewtonowski • Równanie Einsteina • Równania Friedmana • Formalizm ADM • Formalizm BSSN • Grawitacyjna całka działania Teorie zaawansowane Teoria Kaluzy-Kleina • Grawitacja kwantowa Rozwiązania metryki: Schwarzschilda • Reissnera–Nordströma • Gödla • Kerra · Kerra-Newmana • Kasnera • Friedmana-Lemaître'a-Robertsona-Walkera model Milne'a • pp-fale Znani uczeni Albert Einstein • Hermann Minkowski • Arthur S. Eddington • Georges Lemaître • Karl Schwarzschild • Hans Thirring • Josef Lense • Howard P. Robertson • Roy Kerr • Alexander Friedmann • Subramanyan Chandrasekhar • Stephen Hawking i inni...

Tensor krzywizny Riemanna lub tensor Riemanna-Christoffela w geometrii różniczkowej – najpowszechniejsza forma wyrażania krzywizny rozmaitości Riemannowskich. Łączy tensor z każdym punktem na rozmaitości Riemanna (pole tensorowe), mierzy stopień w jakim tensor metryczny nie jest lokalnie izometryczny do przestrzeni euklidesowej. Tensor krzywizny może być także zdefiniowany dla każdej rozmaitości pseudoriemannowskiej lub każdej rozmaitości wyposażonej w połączenie afiniczne.

Stanowi główne narzędzie matematyczne w ogólnej teorii względności, nowoczesnych teoriach grawitacji, krzywizny czasoprzestrzeni. Tensor krzywizny reprezentuje siły pływowe, których doświadcza sztywne ciało poruszające się wzdłuż linii geodezyjnej czasoprzestrzeni w sensie sprecyzowanym przez równanie Jacobiego.

Tensor krzywizny otrzymujemy w terminologii połączenia Levi-Civita $\nabla$ przez formułę:

$R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]} w$

gdzie [u, v] to nawias Liego pól wektorowych. Dla każdej pary wektorów stycznych u, v, istnieje liniowa transformacja R(u,v) przestrzeni stycznej rozmaitości. Jest liniowa w u i v, oraz definiuje tensor. Czasami tensor krzywizny jest zdefiniowany z przeciwnym znakiem.

Formułę powyższą można też wyrazić używając pojęcia drugiej pochodnej kowariantnej:

$\nabla^2_{u,v} w = \nabla_u\nabla_v w - \nabla_{\nabla_u v} w$

która jest także liniowa w u i v. Wówczas:

$R(u,v)=\nabla^2_{u,v} - \nabla^2_{v,u}$

Tensor krzywizny połączenia Levi-Civity mierzy więc nieprzemienność drugiej pochodnej kowariantnej. Jego nieznikanie stanowi przeszkodę dla istnienia izometrii z przestrzenią euklidesową (nazywaną w tym przypadku płaską). Liniowa transformacja $w\mapsto R(u,v)w$ jest również nazywana transformacją (lub endomorfizmem) krzywizny.

Bibliografia

• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), Foundations of differential geometry, Volume 1, Interscience

• Kreyszig, Erwin (1991), Differential Geometry, Dover Publications, books.google.pl [dostęp 16.05.2012]

• Goetz A., Geometria różniczkowa, PWN 1965

• Wald R.M., (1984) General relativity, The University of Chicago Press