Tensor krzywizny Riemanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ogólna teoria względności
G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,
Równanie Einsteina
Wstęp
Aparat matematyczny

Tensor krzywizny Riemanna lub tensor Riemanna-Christoffela w geometrii różniczkowej – najpowszechniejsza forma wyrażania krzywizny rozmaitości Riemannowskich. Łączy tensor z każdym punktem na rozmaitości Riemanna (pole tensorowe), mierzy stopień w jakim tensor metryczny nie jest lokalnie izometryczny do przestrzeni euklidesowej. Tensor krzywizny może być także zdefiniowany dla każdej rozmaitości pseudoriemannowskiej lub każdej rozmaitości wyposażonej w połączenie afiniczne.

Stanowi główne narzędzie matematyczne w ogólnej teorii względności, nowoczesnych teoriach grawitacji, krzywizny czasoprzestrzeni. Tensor krzywizny reprezentuje siły pływowe, których doświadcza sztywne ciało poruszające się wzdłuż linii geodezyjnej czasoprzestrzeni w sensie sprecyzowanym przez równanie Jacobiego.

Tensor krzywizny otrzymujemy w terminologii połączenia Levi-Civita  \nabla przez formułę:

R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]} w

gdzie [u, v] to nawias Liego pól wektorowych. Dla każdej pary wektorów stycznych u, v, istnieje liniowa transformacja R(u,v) przestrzeni stycznej rozmaitości. Jest liniowa w u i v, oraz definiuje tensor. Czasami tensor krzywizny jest zdefiniowany z przeciwnym znakiem.

Formułę powyższą można też wyrazić używając pojęcia drugiej pochodnej kowariantnej:

\nabla^2_{u,v} w = \nabla_u\nabla_v w - \nabla_{\nabla_u v} w

która jest także liniowa w u i v. Wówczas:

R(u,v)=\nabla^2_{u,v} - \nabla^2_{v,u}

Tensor krzywizny połączenia Levi-Civity mierzy więc nieprzemienność drugiej pochodnej kowariantnej. Jego nieznikanie stanowi przeszkodę dla istnienia izometrii z przestrzenią euklidesową (nazywaną w tym przypadku płaską). Liniowa transformacja w\mapsto R(u,v)w jest również nazywana transformacją (lub endomorfizmem) krzywizny.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), Foundations of differential geometry, Volume 1, Interscience
  • Kreyszig, Erwin (1991), Differential Geometry, Dover Publications
  • Goetz A., Geometria różniczkowa, PWN 1965
  • Wald R.M., (1984) General relativity, The University of Chicago Press