Linia geodezyjna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Linia geodezyjna, czasem nazywana krótko: geodezyjnakrzywa w przestrzeni metrycznej (ściślej: w G-przestrzeni), zawierająca najkrótszą drogę pomiędzy dowolnymi dostatecznie bliskimi[1] swoimi punktami, nie dająca się już wydłużyć z żadnej strony. Formalnie definiuje się je jako krzywe o zerowej krzywiznie geodezyjnej. Dla przestrzeni euklidesowej geodezyjne są zwykłymi prostymi.

Geodezyjne na rozmaitościach topologicznych[edytuj | edytuj kod]

Krzywizna[edytuj | edytuj kod]

Należy odróżnić trzy różne pojęcia krzywizny, używane w tej sekcji:

  1. Krzywizna rozmaitości topologicznej, na której rozpatrujemy geodezyjne – np. krzywizna sfery zanurzonej w przestrzeni euklidesowej
  2. Krzywizna geodezyjna – krzywizna linii na rozmaitości, rozpatrywana z punktu widzenia geometrii (zwykle nieeuklidesowej) obowiązującej na tej rozmaitości. Np. brzegi kół wielkich sfery mają zerową krzywiznę geodezyjną.
  3. Krzywizna linii rozpatrywana z punktu widzenia przestrzeni w której rozmaitość jest zanurzona. Np. brzegi kół wielkich mają niezerową krzywiznę w przestrzeni euklidesowej, w której zanurzona jest ich sfera.

Własności linii geodezyjnych[edytuj | edytuj kod]

W szczególnym przypadku przestrzeni metrycznej będącej rozmaitością topologiczną geodezyjna jest krzywą, dla której krzywizna geodezyjna w każdym jej punkcie jest równa zeru.

Ze wszystkich krzywych leżących na rozmaitości topologicznej zanurzonej w przestrzeni euklidesowej i mających wspólną styczną w danym punkcie rozmaitości, krzywa geodezyjna ma najmniejszą krzywiznę (w sensie 3) w każdym swoim punkcie.

W przypadku rozmaitości o niezerowej krzywiźnie (w sensie 1), geodezyjne są z punktu widzenia geometrii euklidesowej krzywymi niebędącymi prostymi (mają niezerową krzywiznę w sensie 3), np. na sferze są to okręgi kół wielkich. Na powierzchni bocznej walca geodezyjnymi są linie śrubowe oraz (szczególne przypadki) proste i okręgi.

Z punktu widzenia obowiązującej w danej rozmaitości geometrii absolutnej (na ogół geometrii nieeuklidesowej) krzywe geodezyjne są odpowiednikami prostych, zwykle spełniającymi te same aksjomaty, co proste w geometrii euklidesowej z wyjątkiem postulatu równoległości (piątego aksjomatu Euklidesa).

Czasoprzestrzeń[edytuj | edytuj kod]

Czasoprzestrzeń w OTW jest szczególnym przypadkiem rozmaitości topologicznej. Linie najkrótsze x^{\lambda}(s) łączące dwa punkty w zakrzywionej czasoprzestrzeni spełniają równanie:


\frac{d^2 x^{\lambda}}{ds^2}+\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0 ,

gdzie \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu} jest symbolem Christoffela:


\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}=\frac{1}{2}g^{\lambda \rho}(\partial_{\mu}g_{\rho \nu}+\partial_{\nu}g_{\rho \mu}-\partial_{\rho}g_{\mu \nu}) .

Równanie to wynika z ekstremum funkcjonału


S[x(s)]=mc\int ds =mc \int ds \sqrt{g_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}}
,

który jest proporcjonalny do długości łuku wzdłuż linii geodezyjnej. Gdy przestrzeń jest płaska, np. jest to przestrzeń Minkowskiego z

 g_{\mu\nu}=\mbox{diag}(1,-1,-1,-1)\ ,

równanie linii geodezyjnej

\frac{d^2 x^{\lambda}}{ds^2}=0.

Wynika stąd ruch po prostej. Dla przykładu na sferze S^2 (2–wymiarowej (y^{1})^2+(y^{2})^2+(y^{3})^2=r^2) wygodnie jest wprowadzić współrzędne sferyczne

y^1=r \sin(\theta) \sin(\phi),y^2=r \sin(\theta) \cos(\phi), y^3=r \cos(\theta),\;

wtedy

x^{i}=\{ \theta, \phi \}\quad (i=1,\ 2).

Element długości

ds^2=dl^2=(dy^{1})^2+(dy^{2})^2+(dy^{3})^2+=g_{i,j}dx^i dx^j =r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) d\phi^2\;.

Tensor metryczny wyraża się wówczas wzorem:

g_{i,j}=\begin{pmatrix}r^2&0\\0&r^2 \sin^2(\theta)\end{pmatrix}.

Łatwo policzyć wszystkie składowe symboli Christoffela i rozwiązać równanie linii geodezyjnej. Równanie linii geodezyjnej daje fragmenty okręgów kół wielkich.

W czasoprzestrzeni zakrzywionej przez ciało sferycznie symetryczne tensor metryczny ma postać


g_{\mu \nu}=\begin{pmatrix}e^{\nu(r)}&0&0&0\\0&-e^{\lambda(r)}&0&0\\0&0&-r^2 &0\\0&0&0&-r^2 \sin^2 (\theta)\end{pmatrix}.

Metryka ta daje np.

\Gamma^{1}_{0 0}=\frac{1}{2}\frac{d\nu}{dr}e^{\nu -\lambda}

W polu tym potencjał grawitacyjny jest równy

g_{00}=e^{\nu(r)}=1+\frac{2 \varphi(r)}{c^2}

gdzie dla rozwiązania Karla Schwarzschilda (czarna dziura)

\varphi(r)=-\frac{r_g c^2}{2}\frac{1}{r}=-G\frac{M}{r}

Interwał czasoprzestrzenny ds definiuje czas własny ds= c d\tau. W przybliżeniu nierelatywistycznym, gdy prędkości ciała są niewielkie, d\tau = dt i równanie linii geodezyjnej daje równanie Newtona, gdy pomnożymy równanie linii geodezyjnej przez (dowolną) masę ciała. Otrzymujemy równanie Newtona

m \frac{d^2 x^i}{dt^2}=-m \partial_i \varphi(r)

cząstki w polu grawitacyjnym.

Ruch cząstki nie zależy od jej masy, a tylko od geometrii czasoprzestrzeni.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Nie musi zawierać najkrótszej drogi pomiędzy dowolnymi dwoma swoimi punktami. Na przykład helisa na powierzchni bocznej walca jest linią geodezyjną, ale nie zawiera najkrótszej drogi pomiędzy swoimi punktami leżącymi na jednej euklidesowej prostej równoległej do osi walca.