Linia geodezyjna

Linia geodezyjna, czasem nazywana krótko: geodezyjna – krzywa w przestrzeni metrycznej (ściślej: w G-przestrzeni), zawierająca najkrótszą drogę pomiędzy dowolnymi dostatecznie bliskimi swoimi punktami, nie dająca się już wydłużyć z żadnej strony. Formalnie definiuje się je jako krzywe o zerowej krzywiznie geodezyjnej. Dla przestrzeni euklidesowej geodezyjne są zwykłymi prostymi.

Geodezyjne na rozmaitościach topologicznych

Krzywizna

Należy odróżnić trzy różne pojęcia krzywizny, używane w tej sekcji:

1. krzywizna rozmaitości topologicznej, na której rozpatrujemy geodezyjne – np. krzywizna sfery zanurzonej w przestrzeni euklidesowej
2. krzywizna geodezyjna – krzywizna linii na rozmaitości, rozpatrywana z punktu widzenia geometrii (zwykle nieeuklidesowej) obowiązującej na tej rozmaitości. Np. brzegi kół wielkich sfery mają zerową krzywiznę geodezyjną.
3. krzywizna linii rozpatrywana z punktu widzenia przestrzeni w której rozmaitość jest zanurzona. Np. brzegi kół wielkich mają niezerową krzywiznę w przestrzeni euklidesowej, w której zanurzona jest ich sfera.

Własności linii geodezyjnych

W szczególnym przypadku przestrzeni metrycznej będącej rozmaitością topologiczną geodezyjna jest krzywą, dla której krzywizna geodezyjna w każdym jej punkcie jest równa zeru.

Ze wszystkich krzywych leżących na rozmaitości topologicznej zanurzonej w przestrzeni euklidesowej i mających wspólną styczną w danym punkcie rozmaitości, krzywa geodezyjna ma najmniejszą krzywiznę (w sensie 3) w każdym swoim punkcie.

W przypadku rozmaitości o niezerowej krzywiźnie (w sensie 1), geodezyjne są z punktu widzenia geometrii euklidesowej krzywymi niebędącymi prostymi (mają niezerową krzywiznę w sensie 3), np. na sferze są to okręgi kół wielkich. Na powierzchni bocznej walca geodezyjnymi są linie śrubowe oraz (szczególne przypadki) proste i okręgi.

Z punktu widzenia obowiązującej w danej rozmaitości geometrii absolutnej (na ogół geometrii nieeuklidesowej) krzywe geodezyjne są odpowiednikami prostych, zwykle spełniającymi te same aksjomaty, co proste w geometrii euklidesowej z wyjątkiem postulatu równoległości (piątego aksjomatu Euklidesa).

Czasoprzestrzeń

Czasoprzestrzeń w OTW jest szczególnym przypadkiem rozmaitości topologicznej. Linie najkrótsze $x^{\lambda}(s)$ łączące dwa punkty w zakrzywionej czasoprzestrzeni spełniają równanie:

$\frac{d^2 x^{\lambda}}{ds^2}+\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0 ,$

gdzie $\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}$ jest symbolem Christoffela:

$\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}=\frac{1}{2}g^{\lambda \rho}(\partial_{\mu}g_{\rho \nu}+\partial_{\nu}g_{\rho \mu}-\partial_{\rho}g_{\mu \nu}) .$

Równanie to wynika z ekstremum funkcjonału

$S[x(s)]=mc\int ds =mc \int ds \sqrt{g_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}} ,$

który jest proporcjonalny do długości łuku wzdłuż linii geodezyjnej. Gdy przestrzeń jest płaska, np. jest to przestrzeń Minkowskiego z

$g_{\mu\nu}=\mbox{diag}(1,-1,-1,-1)\ ,$

równanie linii geodezyjnej

$\frac{d^2 x^{\lambda}}{ds^2}=0.$

Wynika stąd ruch po prostej. Dla przykładu na sferze $S^2$ (2–wymiarowej $(y^{1})^2+(y^{2})^2+(y^{3})^2=r^2$) wygodnie jest wprowadzić współrzędne sferyczne

$y^1=r \sin(\theta) \sin(\phi),y^2=r \sin(\theta) \cos(\phi), y^3=r \cos(\theta),\;$

wtedy

$x^{i}=\{ \theta, \phi \}\quad (i=1,\ 2).$

Element długości

$ds^2=dl^2=(dy^{1})^2+(dy^{2})^2+(dy^{3})^2+=g_{i,j}dx^i dx^j =r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) d\phi^2\;$.

Tensor metryczny wyraża się wówczas wzorem:

$g_{i,j}=\begin{pmatrix}r^2&0\\0&r^2 \sin^2(\theta)\end{pmatrix}.$

Łatwo policzyć wszystkie składowe symboli Christoffela i rozwiązać równanie linii geodezyjnej. Równanie linii geodezyjnej daje fragmenty okręgów kół wielkich.

W czasoprzestrzeni zakrzywionej przez ciało sferycznie symetryczne tensor metryczny ma postać

$g_{\mu \nu}=\begin{pmatrix}e^{\nu(r)}&0&0&0\\0&-e^{\lambda(r)}&0&0\\0&0&-r^2 &0\\0&0&0&-r^2 \sin^2 (\theta)\end{pmatrix}.$

Metryka ta daje np.

$\Gamma^{1}_{0 0}=\frac{1}{2}\frac{d\nu}{dr}e^{\nu -\lambda}$

W polu tym potencjał grawitacyjny jest równy

$g_{00}=e^{\nu(r)}=1+\frac{2 \varphi(r)}{c^2}$

gdzie dla rozwiązania Karla Schwarzschilda (czarna dziura)

$\varphi(r)=-\frac{r_g c^2}{2}\frac{1}{r}=-G\frac{M}{r}$

Interwał czasoprzestrzenny ds definiuje czas własny $ds= c d\tau.$ W przybliżeniu nierelatywistycznym, gdy prędkości ciała są niewielkie, $d\tau = dt$ i równanie linii geodezyjnej daje równanie Newtona, gdy pomnożymy równanie linii geodezyjnej przez (dowolną) masę ciała. Otrzymujemy równanie Newtona

$m \frac{d^2 x^i}{dt^2}=-m \partial_i \varphi(r)$

cząstki w polu grawitacyjnym.

Ruch cząstki nie zależy od jej masy, a tylko od geometrii czasoprzestrzeni.

Zobacz też

• G-przestrzeń