Sfera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia.

Definicja intuicyjna:
Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli.
Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).

Sfera

Sferazbiór wszystkich punktów (miejsce geometryczne) w przestrzeni metrycznej (z reguły euklidesowej), oddalonych dokładnie o zadaną odległość (zwaną promieniem sfery) od wybranego punktu (zwanego środkiem sfery).

Sfera w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej[edytuj | edytuj kod]

Najczęściej mówimy o sferze w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej. Taka sfera jest dwuwymiarową powierzchnią opisywaną wzorem:

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2,\;

gdzie (x_0, y_0, z_0) to współrzędne środka sfery, a wartość r jest nazywana jej promieniem.

Związane pojęcia[edytuj | edytuj kod]

Cięciwa sfery to odcinek o końcach na sferze.

Średnica sfery to:

  • cięciwa przechodząca przez środek sfery;
  • długość tej cięciwy, czyli podwojona wartość promienia sfery.

Pole powierzchni sfery wyraża się wzorem:

S=4\pi r^2.\;

Koło wielkie sfery to okrąg o promieniu tej sfery, o środku w jej środku.

Krzywizna Gaussa sfery w każdym jej punkcie wynosi:

K = \frac{1}{r^2}.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: hipersfera.

Pojęcie sfery może być uogólnione na inną liczbę wymiarów. Wówczas w przestrzeni n-wymiarowej sfera może być opisana następującym wzorem:

\sum_{j=1}^n (x_j-s_j)^2 =r^2,

gdzie x_j to j-ta współrzędna punktu na sferze, s_j to j-ta współrzędna jej środka, r to promień sfery. W tym ujęciu okrąg jest szczególnym przypadkiem sfery w przestrzeni dwuwymiarowej, a zbiór dwóch punktów jest sferą w przestrzeni jednowymiarowej.

Sfera w przestrzeni n-wymiarowej jest czasem nazywana sferą m-wymiarową i oznaczana S^m, gdzie m = n-1, ponieważ taka sfera jest powierzchnią m-wymiarową. Dla przykładu, zwykłą sferę rozpatruje się w przestrzeni trójwymiarowej, ale ona jest zwykłą powierzchnią czyli obiektem dwuwymiarowym; dlatego to sfera dwuwymiarowa, S^2. Jeżeli m>2 (tzn. n>3), to taka uogólniona sfera jest nazywana też hipersferą.

Pojęcie sfery może być jeszcze bardziej uogólnione na dowolną przestrzeń metryczną. Jest to wówczas zbiór elementów tej przestrzeni, odległych od jakiegoś elementu przestrzeni (zwanego środkiem sfery) o zadaną odległość (zwaną promieniem sfery) zgodnie z obowiązującą w danej przestrzeni metryką.

Sfera jest też pojęciem topologii, w której oznacza rozmaitość, homeomorficzną ze sferą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

WiktionaryPl nodesc.svg
Zobacz hasło sfera w Wikisłowniku