Równanie Clapeyrona (stan gazu doskonałego)

Równanie Clapeyrona, równanie stanu gazu doskonałego to równanie stanu opisujące związek pomiędzy temperaturą, ciśnieniem i objętością gazu doskonałego, a w sposób przybliżony opisujący gazy rzeczywiste. Sformułowane zostało w 1834 roku przez Benoîta Clapeyrona. Prawo to można wyrazić wzorem

$pV = nRT \,$

gdzie:

• p – ciśnienie
• V – objętość
• n – liczba moli gazu (będąca miarą liczby cząsteczek (ilości) rozważanego gazu)
• T – temperatura (bezwzględna), T [K]  = t [°C] + 273,15
• R – uniwersalna stała gazowa: R = N_Ak, gdzie: N_A – stała Avogadra (liczba Avogadra), k – stała Boltzmanna, R = 8,314 J/(mol·K)

Równanie to jest wyprowadzane na podstawie założeń:

1. gaz składa się z poruszających się cząsteczek;
2. cząsteczki zderzają się ze sobą oraz ze ściankami naczynia w którym się znajdują;
3. brak oddziaływań międzycząsteczkowych w gazie, z wyjątkiem odpychania w momencie zderzeń cząsteczek;
4. objętość (rozmiary) cząsteczek jest pomijana;
5. zderzenia cząsteczek są doskonale sprężyste;

Równanie to, mimo że wyprowadzone w ramach wyidealizowanego modelu, dobrze opisuje większość substancji gazowych w obszarze ciśnień do ok. 100 atmosfer i temperatury do 300–400 °C, oraz w temperaturze trochę większej od temperatury skraplania gazu.

Wyprowadzenie

Równanie to można wyprowadzić fenomenologicznie (tj. bez odwoływania się do mikroskopowych właściwości układu). W wyniku wielu eksperymentów przeprowadzonych na gazach głównie w XVIII wieku badacze doszli do wniosku, że można w sposób satysfakcjonujący i wystarczający opisać te przemiany dla 1 mola gazu poprzez podanie 3 zmiennych np. T, P, V. Spośród tych trzech zmiennych tylko dwie są niezależne, wobec czego można traktować np. ciśnienie jako funkcję dwóch pozostałych zmiennych tj. p = p(T,V). Można zatem zapisać różniczkę zupełną ciśnienia dp jako

$\operatorname{d}p={{\left( \frac{\operatorname{d}p}{\operatorname{d}T} \right)}_{V}}\operatorname{d}T+{{\left( \frac{\operatorname{d}p}{\operatorname{d}V} \right)}_{T}}\operatorname{d}V$

Pierwszy człon opisuje proces, w którym gaz zamknięty w stałej objętości jest ogrzewany czemu towarzyszy zmiana jego ciśnienia. Jako pierwszy taką przemianę opisał Charles (izochoryczna przemiana Charlesa) i podał równanie jej równanie w postaci

$p=kT\,$

skąd wynika

${{\left( \frac{\operatorname{d}p}{\operatorname{d}T} \right)}_{V}}=k=\frac{p}{T}$

Drugi człon to izotermiczne rozprężanie lub sprężanie gazu opisane przez Boyla i Mariotta (izotermiczna przemiana Boyla i Mariotta) wzorem

$p=\frac{l}{V}$

gdzie l to stała. Z równania tego wynika, że

${{\left( \frac{\operatorname{d}p}{\operatorname{d}V} \right)}_{T}}=-\frac{l}{{{V}^{2}}}=-\frac{p}{V}$

Otrzymane pochodne cząstkowe podstawmy do wyrażenia na dp

$\operatorname{d}p=\frac{p}{T}\operatorname{d}T-\frac{p}{V}\operatorname{d}V$

Dzieląc to równanie przez p można rozdzielić zmienne

$\frac{\operatorname{d}p}{p}=\frac{\operatorname{d}T}{T}-\frac{\operatorname{d}V}{V}$

Po wycałkowaniu

$\ln p=\ln T-\ln V+C\,$

Stałą całkowania C można zapisać przy pomocy innej stałej R

$C=\ln R\,$

wówczas, ponieważ funkcja ln jest różnowartościowa

$pV=RT\,$

Rozumowanie łatwo można uogólnić na dowolną liczbę moli gazu n. Równanie to stanowi fundamentalny związek między ciśnieniem, temperaturą i liczbą cząstek gazu, z którego wynikają trzy wnioski:

• n moli (taka sama liczba cząstek) gazu, przy danej temperaturze i ciśnieniu panującym w naczyniu zajmuje zawsze taką samą objętość, niezależnie od budowy chemicznej tego gazu (V = nRT/p).
• w danej objętości, przy danym ciśnieniu i temperaturze, znajduje się zawsze taka sama liczba moli cząsteczek gazu, niezależnie od jego budowy chemicznej (n = pV/RT)
• n moli gazu zamkniętych w naczyniu o określonej objętości, przy określonej temperaturze, będzie wywierał na jego ścianki zawsze jednakowe ciśnienie, niezależnie od tego, jaki to jest gaz (p = nRT/V).

Określenie równanie Clapeyrona nie jest stosowane powszechnie w odniesieniu do tego wzoru – w literaturze anglojęzycznej równanie to znane jest jedynie jako ideal gas law (prawo gazu doskonałego), podobnie jest w większości innych języków. W Rosji równanie to funkcjonuje pod nazwą równania Mendelejewa-Clapeyrona. Równanie Clapeyrona opisuje przemiany fazowe, m.in. ciecz-gaz. Pod tą nazwą często funkcjonuje też równanie Clausiusa-Clapeyrona.

Rozszerzeniami równania gazu doskonałego, uwzględniającymi objętość cząsteczek gazu oraz przyciąganie cząsteczek, są równanie van der Waalsa oraz wirialne równanie stanu.

• Przemiany termodynamiczne
  • przemiana izobaryczna (stałe ciśnienie p = const)
  • przemiana izotermiczna (stała temperatura T = const)
  • przemiana izochoryczna (stała objętość V = const)
  • przemiana adiabatyczna (brak wymiany ciepła z otoczeniem Q = 0)
  • przemiana politropowa (pVⁿ = const, gdzie n – wykładnik politropy)

Zobacz też

termodynamika

Linki zewnętrzne

• applet Java obrazujący działanie przemian gazu doskonałego