Ortogonalność

Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność).

Prostopadłość wektorów w przestrzeni trójwymiarowej

Długość wektora $a = [a_x, a_y, a_z]$ w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wyraża się wzorem

$| a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.

Jeżeli $a = [a_x, a_y, a_z]$ i $b = [b_x, b_y, b_z]$ są wektorami z przestrzeni trójwymiarowej, to długość wektora $c=b-a$ wynosi

$|c| = |b - a| = \sqrt{(b_x - a_x)^2 + (b_y - a_y)^2 + (b_z - a_z)^2}.$

Liczby $|a|, |b|, |c|$ są długościami boków trójkąta ${oab}$, gdzie $o = (0, 0, 0)$.

Trójkąt prostokątny o bokach $\scriptstyle \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c.$

Wektory $a, b$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt $oab$ jest prostokątny, a więc spełnia założenia twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa

$|c|^2 = |a|^2 + |b|^2\,$

tzn.

$(b_x - a_x)^2 + (b_y - a_y)^2 + (b_z - a_z)^2 = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 + b_x^2 + b_y^2 + b_z^2\,$

Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy do powyższej równości implikuje równość

$-2a_x b_x - 2a_y b_y - 2a_z b_z = 0\,$,

która upraszcza się do wyrażenia

$a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0\,$.

Lewa strona powyższej równości pokrywa się ze wzorem na iloczyn skalarny wektorów $a$ i $b$ w przestrzeni trójwymiarowej.

Definicja

Elementy $x$ i $y$ przestrzeni unitarnej $X$ z iloczynem skalarnym $\langle \cdot, \cdot\rangle$ nazywa się ortogonalnymi, gdy

$\langle x, y \rangle = 0.$

Relację $\langle x, y \rangle = 0$ zapisuje się symbolicznie $x\perp y$. Podzbiór $A$ przestrzeni unitarnej $X$ nazywa się układem ortogonalnym, gdy każde dwa różne jego elementy są ortogonalne.

Przykłady

Przestrzenie euklidesowe

Wektory $[-1, 3]$ i $[3, 1]$ na płaszczyźnie są ortogonalne (prostopadłe), ponieważ

$[-1, 3] \cdot [3, 1] = -1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 0$.

Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora.

Przestrzenie funkcyjne

Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych, w których określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych, czy wielomianach ortogonalnych. Klasycznym przykładem jest przestrzeń $L^2[a, b]$, tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale $\scriptstyle [a, b]$ o wartościach zespolonych, całkowalnych w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów $f$ i $g$ tej przestrzeni definiuje się wzorem

$\langle f, g \rangle = \int\limits_a^b f(t) \overline{g(t)} \mathrm dt.$

W przypadku, gdy $[a, b] = [-\pi, \pi],$, to rodzina funkcji

$\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin nx}{\sqrt \pi}, \frac{\cos nx}{\sqrt \pi}\colon n\in \mathbb N\right\}$

jest przykładem układu ortogonalnego. Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. wielomiany Legendre'a czy wielomiany Czebyszewa.

Zobacz też

• dopełnienie ortogonalne,
• macierz ortogonalna,
• ortogonalizacja Grama-Schmidta,
• ortonormalność.