Wikiprojekt:SKFiz/brudnopis/Transofmracja Lorentza

Widok czasoprzestrzeni wzdłuż linii świata gwałtownie przyspieszającego obserwatora

Animacja transformacji Lorentza

Transformacja Lorentza (przekształcenie Lorentza) – przekształcenie liniowe przestrzeni Minkowskiego umożliwiające obliczenie wielkości fizycznych w pewnym układzie odniesienia, jeśli znane są te wielkości w układzie poruszającym się względem pierwszego. Przekształceniu temu podlegają np. współrzędne w czasoprzestrzeni, energia i pęd, prędkość (zarówno wartość jak i kierunek), pole elektryczne i magnetyczne. Wzory transformacyjne zostały wyprowadzone przez Lorentza w oparciu o założenie, że prędkość światła jest stała i niezależna od prędkości układu. Bardziej ogólną transformacją czasoprzestrzeni jest transformacja Poincarego.

Transformacja współrzędnych

Transformacja Lorentza zachowuje odległości w czasoprzestrzeni. W przeciwieństwie do transformacji Galileusza, gdzie niezmiennikiem jest czas i odległość w przestrzeni, w transformacji Lorentza zachowany jest interwał (odległość zdarzeń w czasoprzestrzeni), podczas gdy wielkość jednostki czasu i odległości zależy od prędkości układu odniesienia.

Transformacje współrzędnych mają najprostszą postać wówczas, gdy odpowiadające sobie osie współrzędnych kartezjańskich inercjalnych układów odniesienia, nieruchomego K i poruszającego się K', są do siebie wzajemnie równoległe, przy czym układ K' porusza się ze stałą prędkością $v\,$ wzdłuż osi OX. Jeśli ponadto jako początek odliczania czasu w obu układach ($t=0$) i ($t'=0$) wybrany został moment, w którym początki osi współrzędnych O i O' w obu układach pokrywają się, to transformacje Lorentza są w postaci:

$x'=\gamma (x-vt)\,$

$y'=y\,$

$z'=z\,$

$t'=\gamma \left(t-{\frac {v\cdot x}{c^{2}}}\right)$

gdzie

$\gamma ={1 \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

lub inaczej

$\beta ={v/c}\,$

$\gamma ={1 \over {\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

Dla prędkości znacznie mniejszych od prędkości światła $\gamma \to 1$ i ${\frac {v}{c}}\to 0$, transformacja Lorentza staje się równoważna z transformacją Galileusza. Oznacza to, że ta druga jest przybliżeniem transformacji Lorentza dla małych prędkości.

W uogólnieniu macierzowym

Rozpatrujemy czterowektory, których jedną współrzędną (numerowaną od 0) jest składowa czasowa jakiejś wielkości, a pozostałymi trzema współrzędnymi - klasyczne składowe przestrzenne. W wartościach współrzędnych czterowektorów kryje się wybór konkretnego układu współrzędnych. Aby uzyskać współrzędne interesujących nas wektorów w innym układzie, należy dokonać transformacji (stosujemy konwencję sumacyjną Einsteina):

$w^{\alpha '}=\Lambda _{\alpha }^{\alpha '}v^{\alpha }$

gdzie:

$v^{\alpha }\,$     - wektor w oryginalnym układzie współrzędnych

$w^{\alpha '}\,$ - wektor w nowym układzie współrzędnych

$\Lambda _{\alpha }^{\alpha '}$  - przekształcenie między starym a nowym układem współrzędnych.

Tensorem metrycznym (metryką) przestrzeni Minkowskiego jest macierz 4x4 której składową (0,0) jest -1, pozostałymi składowymi diagonalnymi jest 1, a wszystkimi innymi składowymi - 0. Metrykę oznaczamy literą g. Aby przekształcenie było transformacją Lorentza, musi pozostawiać metrykę niezmienioną, a wyznacznik jego macierzy musi wynosić 1 lub -1.

$\Lambda _{\alpha }^{\alpha '}\Lambda _{\beta }^{\beta '}g^{\alpha \beta }=g^{\alpha '\beta '}$

$|\det(\Lambda _{\alpha }^{\alpha '})|=1$

Przekształcenia i podgrupy

W teorii względności stosowane są grupy Lorentza i Poincarégo. Przekształcenie będące automorfizmem w wektorowej czasoprzestrzeni Minkowskiego nazywane jest przekształceniem Lorentza. Odwzorowania takie tworzą grupę Lorentza. Przekształcenie będące automorfizmem w afinicznej czasoprzestrzeni Minkowskiego nazywane jest natomiast przekształceniem Poincarégo. Te stanowią grupę Poincarégo. Jeżeli wyznacznik macierzy przekształcenia Lorentza jest równy dokładnie 1, wtedy opisane macierzowo przekształcenie tworzy grupę Lorentza bez odbić przestrzennych. Przekształcenia Lorentza bez przesunięć (translacji), czyli takie, które przekształcają początek układu współrzędnych w ten sam punkt przestrzeni, nazywane są jednorodnymi przekształceniami Lorentza. Przekształcenia Lorentza rozpatrywane razem z przesunięciami nazywają się niejednorodnymi przekształceniami Lorentza.

Pchnięcie Lorentza

Pchnięcie Lorentza jest analogiem obrotu w czasoprzestrzeni Minkowskiego. W opisie przekształcenia stosuje się funkcje hiperboliczne. Interwał czasoprzestrzenny wyrażony poprzez takie funkcje okazuje się jednak tożsamy z klasyczną transformacją współrzędnych Lorentza, która wprowadza stałą względna prędkość jednego układu odniesienia względem tego, do którego współrzędne są transformowane. Ilustracja takiego przekształcenia na diagramie Minkowskiego nie może mieć sensu właściwego obrotu, gdyż osie nowego układu zbliżają się do siebie. Interwał czasoprzestrzenny, który w czterowymiarowej czasoprzestrzeni jest sumą części czasowej, niepodlegającej obrotom i translacjom, oraz przestrzennej, pozostaje niezmienniczy ze względu na obroty i translacje w przestrzeni trójwymiarowej. Można zatem na rozmaitości czasoprzestrzennej rozważać działania w postaci obrotu oraz przesunięcia i tym samym wyróżnić podgrupę obrotów i podgrupę translacji.

Wyprowadzenie zjawisk relatywistycznych

Z równań transformacji Lorentza można wyprowadzić wszystkie zjawiska szczególnej teorii względności a także wielkości składowych pól elektrycznego i magnetycznego, które zmieniają się przy zmianie układu odniesienia, jak również określają dodatkowe niezmienniki.

Skrócenie Lorentza-Fitzgeralda

Istotna dla nas dwuwymiarowa czasoprzestrzeń z perspektywy układu B_x',t' w porównaniu z układem A_x,t jest opisana następującymi równaniami:

$x'=\gamma (x-vt)\,$

$t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)$

Przez długość rozumiemy odległość dwóch punktów x'₁, x'₂ na osi OX' w tej samej chwili t' (ponieważ mierzone ciało jest częścią A, więc z perspektywy B jest w ruchu wzdłuż OX', stąd konieczność zagwarantowania względnie jednoczesnego pomiaru). Najpierw wyrazimy x' za pomocą t':

$t={t' \over \gamma }+{\frac {vx}{c^{2}}}$

$x'=\gamma (x-v{\frac {t'}{\gamma }}-v{\frac {vx}{c^{2}}})=\gamma (x-{\frac {v^{2}x}{c^{2}}})-vt'=\gamma x(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})-vt'$

$1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}={\frac {1}{\gamma ^{2}}}$

$x'=\gamma {\frac {x}{\gamma ^{2}}}-vt'={\frac {x}{\gamma }}-vt'$

Obliczmy długość L' (zał. t'₁ = t'₂):

$L'=x'_{2}-x'_{1}={\frac {x_{2}}{\gamma }}-vt'_{2}-{\frac {x_{1}}{\gamma }}+vt'_{1}={\frac {x_{2}-x_{1}}{\gamma }}={\frac {L}{\gamma }}$

Ponieważ $\gamma$ > 1, więc ciało o długości spoczynkowej L zmierzonej w układzie A jest z perspektywy układu B krótsze, co potwierdza relatywistyczną kontrakcję.

Dylatacja czasu

Odejmując wyrażenia na transformację Lorentza dla dwu zdarzeń czasoprzestrzennych i definiując przyrosty czasu w każdym z układów odniesienia jako jednostki czasu mierzonego w danym układzie można uzyskać równanie:

$\Delta t'=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\Delta x}{c^{2}}}\right)=\gamma \Delta t$.

We wzorze pojawia się dodatkowo różnica odległości w jednym z układów. Zinterpretowanie tej różnicy jako równej zeru powoduje, że porównuje się współrzędne czasowe wyłącznie jednego zdarzenia, ale w dwu układach odniesienia. Uzyskany wzór określa zatem dylatację czasu ($\gamma$ > 1).

Pole magnetyczne

W teoriach relatywistycznych skalar natężenia pola elektrycznego ($E_{0}$) i wektor natężenia pola magnetycznego ($B$) można połączyć w jeden czterowektor ($E$).

$E=[E_{0},cB_{1},cB_{2},cB_{3}]\,$

Rozważmy cząstkę skalarną naładowaną elektrycznie i pozostającą w bezruchu. W pewnej odległości od tej cząstki zarejestrujemy pole elektryczne i brak pola magnetycznego.

$E_{0}={\text{const}}\,$

$B=[0,0,0]\,$

Załóżmy następnie, że naładowana cząstka się porusza, czyli zmieniamy układ współrzędnych na poruszający się względem pierwszego wzdłuż pierwszej osi z prędkością v.

$E'_{0}=\gamma (E_{0}-vcB_{1})=\gamma E_{0}\,$

$B'_{1}=\gamma (B_{1}-{\frac {v}{c}}E_{0})=-\gamma {\frac {v}{c}}E_{0}$

Czyli poruszający się ładunek generuje pole magnetyczne.

Czynnik $\gamma$ jest dla małych prędkości bliski jedności, więc w granicy małych prędkości transformacje Lorentza czterowektora pola elektrycznego sprowadzają się do praw Ampera i Biota-Savarta.

Zobacz też

• dylatacja czasu
• paradoks bliźniąt
• wzór Lorentza

Kategoria:Teoria względności