Grupa Lorentza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Zachowanie odległości (izometria) w czasoprzestrzeni Minkowskiego narzuca warunki

g_{\mu \nu}\Lambda^{\mu}_{\rho}\Lambda^{\nu}_{\tau}=g_{\rho \tau}.

W tradycyjnym zapisie macierzowym warunek ten ma postać

\Lambda^T g \Lambda =g

gdzie macierz g=diag(1,-1,-1,-1) jest macierzą diagonalną o sygnaturze (+,-,-,-). Gdy ograniczymy się tylko do podprzestrzeni 3 - wymiarowej (g → -I) czasoprzestrzeni, warunek ten definiuje transformacje ortogonalne grupy O(3) (grupa obrotów w przestrzeni 3 - wymiarowej). Macierze Λ nazywamy macierzami Lorentza. Tworzą one grupę Lorentza z mnożeniem grupowym zdefiniowanym jako mnożenie macierzy. Grupa Lorentza jest podgrupą szerszej grupy grupę Poincarégo:

x^{\mu} \rightarrow {x'}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu}.

W zbiorze transformacji Lorentza istnieje transformacja jednostkowa (Λ=I), transformacja odwrotna i składanie transformacji Lorentza też jest transformacją Lorentza.

Właściwe transformacje Lorentza otrzymujemy, gdy ograniczymy się do transfomacji mieszających czas np. z jedną składową przestrzenną (w kierunku ruchu układu współrzędnych względem siebie, np. wzdłuż osi x^1). Wtedy macierz g=diag(1,-1) i warunek na transformacje Lorentza definiuje grupę obrotów hiperbolicznych O(1,1). Macierz ma prostą 2 - wymiarową postać

\Lambda=\begin{pmatrix}a &b\\c&d\end{pmatrix}.

Warunek definujący macierze Lorentza daje związki

a^2-c^2=1
ab=cd
d^2-b^2=1

Z dokładnością do znaku, najprostsze rozwiązanie ma postać macierzy obrotu hiperbolicznego

\Lambda=\begin{pmatrix}\cosh(\varphi) &\sinh(\varphi)\\\sinh(\varphi)&\cosh(\varphi)\end{pmatrix},

ponieważ funkcje te spełniają warunek \cosh^2(\varphi)-\sinh^2(\varphi)=1. \varphi jest ciągłym parametrem. Macierze te podobnie jak macierze ortogonalne grupy SO(2) tworzą grupę SO(1,1). Transformacje Larentza można teraz zapisać jako

\begin{pmatrix}x^0\\x^1\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}x'^0\\x'^1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\cosh(\varphi) &\sinh(\varphi)\\\sinh(\varphi)&\cosh(\varphi)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^0\\x^1\end{pmatrix}

Parametr \varphi może być zamieniony na bardziej fizyczny

\tanh(\varphi)=\frac{v}{c}

opisujący względny ruch obu układów współrzędnych. Daje to (po przekształceniach) jawną postać transformacji Lorentza

t \rightarrow t'=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\left(t+\frac{v}{c^2}x^1\right),
x^1 \rightarrow x'^1=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(x^1+v t).

Transformacja ta prowadzi do odpowiednich praw składania prędkości (innych niż dla transformacji Galileusza). Definiując

u=\frac{dx^1}{dt} i u'=\frac{dx'^1}{dt'} otrzymujemy
u'=\frac{u + v}{1 + \frac{v u}{c^2}}.

Z tego prawa dodawania prędkości wynika, że gdy w jednym układzie ciało porusza się z prędkością u=c to w drugim układzie, poruszającym się z prędkością v względem pierwszego, ciało także poruszać się będzie z prędkością c.

Ogólnie grupa Lorentza parametryzowana jest przez 6 niezależnych parametrów. Trzy parametry związane są z grupa obrotów gdzie istnieją trzy niezależne generatory (T_i i=1,2,3). Trzy następne parametry związane są z właściwymi transformacjami Lorentza. Tak na przykład, pełna transformacja Lorentza wzdłuż pierwszej osi ma postać

\begin{pmatrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3\end{pmatrix}\rightarrow  \begin{pmatrix}x'^0\\x'^1\\x'^2\\x'^3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\cosh(\varphi) &\sinh(\varphi)&0&0\\\sinh(\varphi)&\cosh(\varphi)&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3 \end{pmatrix}

generowana jest \Lambda=e^{iK_1 \varphi} przez generator

K_1 =\begin{pmatrix}0 &-i&0&0\\-i&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}

Takie generatory też są trzy (K_i i=1,2,3). Z tych sześciu generatorów (trzech T i trzech K) zbudować można antysymetryczną macierz generatorów M_{\mu\nu} tak, że

M_{0,i}=K_i,
T^i=\sum_{i,j} \epsilon_{i,j,k}M_{i,j}.

Generatory grupy Lorentza, będące algebrą Liego tej grupy, spełniają związki

  • [M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}] = \eta_{\mu\rho} M_{\nu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} M_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho} M_{\mu\sigma} + \eta_{\nu\sigma} M_{\mu\rho}

gdzie M_{\mu \nu} jest infinitezymalnym generatorem transformacji Lorentza.

Zobacz też: Grupa Poincarégo