Prawo Biota-Savarta

Prawo Biota-Savarta – prawo stosowane w elektromagnetyzmie i dynamice płynów. Pozwala określić w dowolnym punkcie przestrzeni indukcję pola magnetycznego, której źródłem jest element przewodnika przez który płynie prąd elektryczny. Oryginalna wersja została sformułowana dla pola magnetycznego.

W elektromagnetyzmie

Przewodnik z prądem

Przyczynek $d \vec B$ do pola indukcji magnetycznej w danym punkcie A od elementu długości ${d \vec l}$ przewodnika z prądem o natężeniu $I$.

Sposób wyznaczania kierunku i zwrotu indukcji magnetycznej

$d \vec B = K_m {{ {I d \vec l} \times {\hat r} } \over {r^2}}$

gdzie

$K_m = \frac{\mu_0}{4\pi}$ jest nazywane stałą magnetyczną,

$I\mathbf{}$ – natężenie prądu, wyrażone w amperach,

$d \vec l$ – skierowany element przewodnika; wektor o kierunku przewodnika, zwrocie odpowiadającym kierunkowi prądu i długości równej długość elementu przewodnika,

$\hat r$ – wersor dla punktów wytwarzającego pole (elementu przewodnika) i miejsca pola,

$r\mathbf{}$ – odległość elementu przewodnika od punktu pola.

Inna postać wzoru:

$d \vec {B} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \frac{d \vec{l} \times \vec{r}}{| \vec{r}|^3}$

gdzie $\vec{r}$ to wektor wodzący o początku w źródle pola i końcu w rozważanym punkcie przestrzeni. Wartość indukcji magnetycznej może być obliczona ze wzoru

$dB=\frac{\mu _{0}I}{4\pi }\frac{dl\sin \alpha }{r^{2}}$

Rozciągły obszar z prądem

Wyżej przytoczony wzór jest prawdziwy dla cienkich przewodników z prądem, dla obszarów w których płynie prąd w dużych objętościach wzór przyjmuje postać:

$d\vec B = K_m \frac{ \vec j \times \mathbf{\hat r}} {r^2} dV$

gdzie:

$\vec j$ – gęstość prądu,

$dV$ – element objętości.

Poruszający się ładunek

$d\vec B = K_m \frac{ dq \vec {v} \times \hat{r}}{r^2}$

gdzie:

dq – ładunek elektryczny,

$\vec v$ – prędkość ładunku.

Pole w danym punkcie

Całkowitą indukcję magnetyczną wyznacza się całkując różniczkowe elementy indukcji $d \vec{B}$ wzdłuż całego przewodnika – w pierwszym wzorze, a w całym obszarze, w którym płynie prąd, w drugim wzorze.

$\vec B = \int d\vec{B}$

Wnioski

Wzór Biota-Savarta umożliwia obliczenie indukcji magnetycznej, gdy znane jest natężenie prądu, który jest źródłem pola magnetycznego (punkty tego pola są scharakteryzowane przez wektor indukcji, a wartość tego wektora określa wzór Biota-Savarta).

Wszystkie przyczynki do wektora indukcji pochodzące od elementów przewodnika mają w danym punkcie taki sam kierunek, który jest prostopadły do płaszczyzny, w której leży przewodnik i analizowany punkt. Dlatego pole magnetyczne ma kształt okręgów leżących w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika, środkami których jest przewodnik, a indukcję magnetyczną w próżni określa wzór:

$B = \frac {\mu_0} {2\pi} \frac I r$

gdzie:

I – natężenie prądu,

r – odległość od przewodnika.

Wzór ten jest słuszny w małej odległości od przewodnika lub w dowolnej odległości dla nieskończenie długiego przewodnika. W przypadku przewodnika nieliniowego indukcję pola magnetycznego w dowolnym punkcie przestrzeni można otrzymać całkując wzór Biota-Savarta po całej długości przewodnika. Na przykład w środku przewodnika kołowego o promieniu R w próżni prowadzi to do wyrażenia

$B = \frac {\mu_0 I} {2R}$

W mechanice płynów

Prawo Biota-Savarta ma swój odpowiednik mechanice płynów i określa przyczynek do prędkości płynu wytwarzanej (indukowanej) przez element strugi wirowej. Analogia obejmuje związki:

• przewodnik elektryczny – struga wirowa
• natężenie prądu – cyrkulacja strugi
• wytwarzane pole magnetyczne – uzyskiwana prędkość płynu

Prawo można sformułować w postaci:

Prędkość indukowana dv w wybranym punkcie A płynu przez element strugi wirowej o długości dl określa wzór:

$d\mathbf{v} = \frac{\Gamma \mathbf{\hat r} \times d\mathbf{l}}{4\pi r^2}$

gdzie:

$\Gamma$ – cyrkulacja strugi.

Na podstawie tego wzoru można obliczyć, jak wir wpływa na rozkład prędkości wokół niego. Przykładowo, długa prostoliniowa struga wytwarza (zmienia) prędkość płynu:

$v = \frac{\Gamma}{2\pi r}$

Zobacz też

• Jean-Baptiste Biot
• Felix Savart
• prawo Ampera