Prawo Biota-Savarta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Prawo Biota-Savartaprawo stosowane w elektromagnetyzmie i dynamice płynów. Pozwala określić w dowolnym punkcie przestrzeni indukcję pola magnetycznego, której źródłem jest element przewodnika przez który płynie prąd elektryczny. Oryginalna wersja została sformułowana dla pola magnetycznego.

W elektromagnetyzmie[edytuj | edytuj kod]

Przewodnik z prądem[edytuj | edytuj kod]

Przyczynek d \vec B do pola indukcji magnetycznej w danym punkcie A od elementu długości {d \vec l} przewodnika z prądem o natężeniu I.

Sposób wyznaczania kierunku i zwrotu indukcji magnetycznej
 d \vec B  = K_m {{ {I d \vec l} \times {\hat r} } \over {r^2}}

gdzie

K_m = \frac{\mu_0}{4\pi} jest nazywane stałą magnetyczną,
I\mathbf{} – natężenie prądu, wyrażone w amperach,
d \vec l – skierowany element przewodnika; wektor o kierunku przewodnika, zwrocie odpowiadającym kierunkowi prądu i długości równej długość elementu przewodnika,
\hat rwersor dla punktów wytwarzającego pole (elementu przewodnika) i miejsca pola,
r\mathbf{} – odległość elementu przewodnika od punktu pola.

Inna postać wzoru:

 d \vec {B} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \frac{d \vec{l} \times \vec{r}}{| \vec{r}|^3}

gdzie  \vec{r} to wektor wodzący o początku w źródle pola i końcu w rozważanym punkcie przestrzeni. Wartość indukcji magnetycznej może być obliczona ze wzoru

dB=\frac{\mu _{0}I}{4\pi }\frac{dl\sin \alpha }{r^{2}}

Rozciągły obszar z prądem[edytuj | edytuj kod]

Wyżej przytoczony wzór jest prawdziwy dla cienkich przewodników z prądem, dla obszarów w których płynie prąd w dużych objętościach wzór przyjmuje postać:

 d\vec B = K_m \frac{ \vec j \times \mathbf{\hat r}} {r^2} dV

gdzie:

 \vec j gęstość prądu,
 dV – element objętości.

Poruszający się ładunek[edytuj | edytuj kod]

 d\vec B = K_m \frac{  dq \vec {v} \times \hat{r}}{r^2}

gdzie:

dqładunek elektryczny,
\vec v – prędkość ładunku.

Pole w danym punkcie[edytuj | edytuj kod]

Całkowitą indukcję magnetyczną wyznacza się całkując różniczkowe elementy indukcji  d \vec{B} wzdłuż całego przewodnika – w pierwszym wzorze, a w całym obszarze, w którym płynie prąd, w drugim wzorze.

 \vec B = \int d\vec{B}

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

Wzór Biota-Savarta umożliwia obliczenie indukcji magnetycznej, gdy znane jest natężenie prądu, który jest źródłem pola magnetycznego (punkty tego pola są scharakteryzowane przez wektor indukcji, a wartość tego wektora określa wzór Biota-Savarta).

Wszystkie przyczynki do wektora indukcji pochodzące od elementów przewodnika mają w danym punkcie taki sam kierunek, który jest prostopadły do płaszczyzny, w której leży przewodnik i analizowany punkt. Dlatego pole magnetyczne ma kształt okręgów leżących w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika, środkami których jest przewodnik, a indukcję magnetyczną w próżni określa wzór:

 B = \frac {\mu_0} {2\pi} \frac I r

gdzie:

I – natężenie prądu,
r – odległość od przewodnika.

Wzór ten jest słuszny w małej odległości od przewodnika lub w dowolnej odległości dla nieskończenie długiego przewodnika. W przypadku przewodnika nieliniowego indukcję pola magnetycznego w dowolnym punkcie przestrzeni można otrzymać całkując wzór Biota-Savarta po całej długości przewodnika. Na przykład w środku przewodnika kołowego o promieniu R w próżni prowadzi to do wyrażenia

 B = \frac {\mu_0 I} {2R}

W mechanice płynów[edytuj | edytuj kod]

Prawo Biota-Savarta ma swój odpowiednik mechanice płynów i określa przyczynek do prędkości płynu wytwarzanej (indukowanej) przez element strugi wirowej. Analogia obejmuje związki:

  • przewodnik elektryczny – struga wirowa
  • natężenie prądu – cyrkulacja strugi
  • wytwarzane pole magnetyczne – uzyskiwana prędkość płynu

Prawo można sformułować w postaci:

Prędkość indukowana dv w wybranym punkcie A płynu przez element strugi wirowej o długości dl określa wzór:

 d\mathbf{v} = \frac{\Gamma \mathbf{\hat r} \times d\mathbf{l}}{4\pi r^2}

gdzie:

 \Gamma cyrkulacja strugi.

Na podstawie tego wzoru można obliczyć, jak wir wpływa na rozkład prędkości wokół niego. Przykładowo, długa prostoliniowa struga wytwarza (zmienia) prędkość płynu:

v = \frac{\Gamma}{2\pi r}

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]