Działanie algebraiczne

Działanie – w matematyce i logice jest to operacja na jednym lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami, wynikiem której jest element nazywany wynikiem działania.

Najczęściej mówi się o działaniach jedno- i dwuargumentowych, choć mogą one mieć ich więcej lub mniej (zero). Działania jednoargumentowe (unarne) dają wynik na podstawie tylko jednej wartości, czego przykładem są np. negacja, czy funkcje trygonometryczne. Często argumentami i wynikami działań są wartości liczbowe. Działania dwuargumentowe (binarne) na liczbach przyjmują dwie wartości dając trzecią, wśród przykładów można wymienić dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, czy potęgowanie.

Działania nie muszą dotyczyć tylko liczb, a dowolnych obiektów matematycznych, np. wektor może być pomnożony przez skalar, aby dać inny wektor; działanie iloczynu skalarnego dwóch wektorów daje skalar. Działania logiczne takie jak koniunkcja („i”), alternatywa („lub”), czy negacja („nie”) łączą ze sobą wartości logiczne prawdy i fałszu. Dodaje się i odejmuje wektory. Za pomocą działania składania funkcji łączy się ze sobą obroty, jeden po drugim. Działania na zbiorach obejmują działania dwuargumentowe sumy i iloczynu zbiorów oraz jednoargumentowe dopełnienie. Wśród działań na funkcjach można wymienić złożenie, czy splot.

Ponadto działania mogą przejawiać, lub nie, określone własności, np. łączność, przemienność, antyprzemienność, idempotentność itp.

Działania mogą nie być zdefiniowane dla wszystkich argumentów. Przykładowo w liczbach rzeczywistych nie można dzielić przez zero, czy brać pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych. Argumenty, dla których działanie jest określone tworzą zbiór nazywany dziedziną; zbiór zawierający wartości nazywa się z kolei przeciwdziedziną, choć zbiór wartości zwracanych w działaniu nazywa się jego obrazem. Przykładowo działanie podnoszenia do kwadratu liczb rzeczywistych daje tylko liczby nieujemne; dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, lecz obrazem są tylko liczby nieujemne.

Działanie jest podobne do operatora; różni je punkt widzenia: często mówi się o „działaniu dodawania”, gdy chce się położyć nacisk na argumenty i wynik, lecz mówiąc „operator dodawania” bardziej skupia się na samym procesie lub, z bardziej abstrakcyjnego punktu widzenia, na funkcji $+\colon X \times X \to X.$

Definicja

Działanie ω to funkcja postaci

$X_1 \times \dots \times X_n \to Y.$

Zbiory X_i nazywa się dziedzinami działania, zbiór Y nosi nazwę przeciwdziedziny działania, z kolei ustaloną liczbę n (liczba argumentów) nazywa się typem, arnością lub argumentowością działania. W ten sposób działanie jednoargumentowe (unarne) ma argumentowość/arność równą 1, a działanie dwuargumentowe (binarne) ma argumentowość/arność 2. Działanie zeroargumentowe jest po prostu elementem przeciwdziedziny Y. Działanie o arności n nazywa się działaniem n-arnym lub n-argumentowym. W ten sposób działanie n-argumentowe jest (n + 1)-argumentową relacją, która jest funkcyjna na swoich pierwszych n dziedzinach.

Powyższa definicja obejmuje tzw. działania skończone, co odnosi się do skończonej liczby argumentów. Istnieją rozszerzenia, w których argumentowość jest nieskończoną liczbą porządkową lub kardynalną, a nawet dowolnym zbiorem indeksującym argumenty.

Stosując termin „działanie” często zakłada się, że dziedzina funkcji jest potęgą przeciwdziedziny (tzn. iloczynem kartezjańskim jednej lub więcej egzemplarzy przeciwdziedziny) – takie działania nazywa się wewnętrznymi – choć nie jest tak w ogólności, czego przykładem może być mnożenie wektora przez skalar; działania niebędące wewnętrznymi nazywa się, dla zaznaczenia tego faktu, zewnętrznymi.

W najogólniejszym podanym tu sensie „działanie” jest synonimem funkcji, przekształcenia, czy odwzorowania, tj. relacji, która z każdym elementem dziedziny wiąże dokładnie jeden element przeciwdziedziny.

Zobacz też

• działania arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie,
• element neutralny, element odwrotny,
• struktura algebraiczna.