Wzór Eulera-Maclaurina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W matematyce, wzór Eulera-Maclaurina daje silne połączenie między całkami (zobacz rachunek różniczkowy i całkowy) a sumami. Może być użyty do przybliżania całek przez skończone sumy lub odwrotnie, do szacowania skończonych sum i nieskończonych szeregów przez całki. Wzór został odkryty niezależnie przez Leonharda Eulera i Colina Maclaurina około 1735. Euler potrzebował go do obliczenia wolno zbiegających nieskończonych szeregów, podczas gdy Maclaurin wykorzystał go do przybliżonego obliczania całek.

Jeśli n jest liczbą naturalną i f(x) jest gładką (tzn. wystarczająco wiele razy różniczkowalną) funkcją określoną dla wszystkich liczb rzeczywistych x pomiędzy 0 i n, wtedy całka

I=\int\limits_0^n f(x)\,dx

może być przybliżona przez sumę (zob. wzór trapezów)


S=\frac{f\left( 0\right) }{2}+f\left( 1\right) +\cdots+f\left( n-1\right) +
\frac{f\left( n\right) }{2}

Wzór Eulera-Maclaurina pozwala wyrażać różnicę pomiędzy sumą S a całką I za pomocą wartości wyższych pochodnych f(k) na brzegach przedziału [0,n]. Dla każdej liczby naturalnej p mamy

S-I=\sum_{k=1}^p\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R

gdzie B2 = 1/6, B4 = −1/30, B6 = 1/42, B8 = −1/30, … są liczbami Bernoulliego, zaś R jest błędem przybliżenia. Wartość błędu może być oszacowana jako

\left|R\right|\leqslant\frac{2}{(2\pi)^{2p}}\int\limits_0^n\left|f^{(2p+1)}(x)\right|\,dx.

Przy odpowiednich założeniach na funkcję f powyższa wielkość dąży do zera, gdy p dąży do nieskończoności. Wykonując odpowiednie podstawienie, można zapisać powyższy wzór również dla funkcji f zdefiniowanych na innych przedziałach.

Jeśli f jest wielomianem oraz p jest wystarczająco duże, to wyraz reszty znika. Np. jeśli f(x) = x3, możemy podstawić p = 2, by otrzymać (po uproszczeniu)

\sum_{i=0}^n i^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.

Dla funkcji f(x) = log(x), formuła Eulera-Maclaurina może być użyta do wyliczenia precyzyjnego oszacowania błędu we wzorze Stirlinga przybliżającym wartość silni.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]