Liczby Bernoulliego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczby Bernoulliego to nieskończony ciąg liczb wymiernych oznaczanych jako \,{B_{k}}, gdzie \,{k} jest numerem porządkowym liczby, k=0,1,2..., wprowadzony w roku 1631 przez Johanna Faulhabera w celu ułatwienia obliczania sum ustalonych potęg kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niektóre ich własności opisał szczegółowo Jakob Bernoulli w książce "Ars Conjectandi" (wydanej po śmierci autora w roku 1713). Stwierdza tam między innymi, że potrafi, wykorzystując wzór Faulhabera (patrz niżej) obliczyć sumę: 1^{10}+2^{10}+3^{10}+...+1000^{10} "w pół kwadransa". Liczby Bernoulliego znalazły zastosowanie w analizie (rozwinięcia funkcji w szereg Taylora) i w teorii liczb.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Obecnie funkcjonują w matematyce dwie definicje liczb Bernoulliego: nowsza - podana niżej jako definicja 1 i starsza - niżej cytowana jako definicja 2. Dla odróżnienia liczby Bernoulliego określone według definicji 1 oznacza się przez {B_{k}}, a według definicji 2 - przez B^{*}_{k}. Przy tym liczby B^{*}_{k} stanowią podzbiór właściwy liczb {B_{k}}.

Liczby Bernoulliego - Definicja 1[edytuj | edytuj kod]

Liczby Bernoulliego definiuje się jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji:

\frac{x}{e^x-1}=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac{B_{n}\cdot{x^{n}}}{n!}}

Szereg powyższy jest zbieżny dla |x|< 2\pi. Równoważnie liczby Bernoulliego można zdefiniować rekurencyjnie za pomocą wzoru:

\sum_{k=0}^m {m+1 \choose k}\cdot B_{k}=0

gdzie \,{B_{0}=1}

Według tej definicji wszystkie liczby Bernoulliego, o indeksach nieparzystych większych od 2, są równe 0.

Liczby o indeksach parzystych większych od 0 są na przemian dodatnie i ujemne.

Pierwsze 21 liczb Bernoulliego zaczynając od \,{B_0}: 1,-\frac{1}{2},\frac{1}{6},0,-\frac{1}{30},0,\frac{1}{42},0,-\frac{1}{30},0,\frac{5}{66},0,-\frac{691}{2730},0,\frac{7}{6},0,-\frac{3617}{510},0,\frac{43867}{798},0,-\frac{174611}{330},\ldots

Liczby Bernoulliego - Definicja 2[edytuj | edytuj kod]

Liczby Bernoulliego definiuje się tym razem jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji:

1-\frac{x}{2}\operatorname{ctg}(\frac{x}{2})=\frac{B^{*}_{1}\cdot{x^{2}}}{2!}+\frac{B^{*}_{2}\cdot{x^{4}}}{4!}+\frac{B^{*}_{3}\cdot{x^{6}}}{6!}+\ldots

Pierwsze kilka liczb Bernoulliego zaczynając od \,{B^{*}_1}:

\frac{1}{6},\frac{1}{30},\frac{1}{42},\frac{1}{30},\frac{5}{66},\frac{691}{2730},\frac{7}{6},\frac{3617}{510},\frac{43867}{798},\frac{174611}{330},\frac{854513}{138},\ldots

Powiązanie pomiędzy liczbami B^{*}_{n} i \,{B_{n}} opisuje poniższy wzór:

\,{B_{n}}=\begin{cases}
1,&\mbox{dla } n=0\\
-\frac{1}{2},&\mbox{dla } n=1\\
(-1)^{(\frac{n}{2})-1}\cdot{B^{*}_{\frac{n}{2}}},&\mbox{dla } n \mbox{ parzystych}\\
0,&\mbox{dla } n \mbox{ nieparzystych}
\end{cases}

Wzór asymptotyczny[edytuj | edytuj kod]

Wykorzystując wzór Stirlinga otrzymuje się następujące przybliżenie wartości liczb Bernoulliego:

\,{B_{n}}\approx (-1)^{n-1}\cdot 4 \cdot\sqrt{\pi\cdot n}\cdot\left(\frac{n}{\pi{e}}\right)^{2n}


Twierdzenie Staudta[edytuj | edytuj kod]

Każda liczba Bernoulliego B_{\nu} może być przedstawiona w postaci[1]

B_{\nu} = C_{\nu} - \sum \frac{1}{k + 1}, gdzie
C_{\nu} jest liczbą naturalną, a sumowanie przebiega po takich dzielnikach k liczby \nu, dla których k + 1 jest liczbą pierwszą.

Na przykład liczba Bernoulliego B_6 = \frac{1}{42} może być przedstawiona w postaci B_6 = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{7}, bo liczba 6 ma cztery dzielniki: 1, 2, 3, 6, z których trzy: 1, 2, 6 są odpowiednio liczbami o 1 mniejszymi od liczb pierwszych: 2, 3, 7.

Przykłady zastosowań[edytuj | edytuj kod]

Można je znaleźć w rozwinięciach w szereg Taylora wielu funkcji takich jak \mathrm{tg}\,{x}, \mathrm{ctg}\,{x}, \mathrm{tgh}\,{x}, {{x}\over{e^{x}-1}}, \ln|\sin(x)| i w innych.

Wzór Faulhabera na sumę potęg kolejnych liczb naturalnych:

\sum^{n}_{j=1}{j^k}=\frac{1}{k+1}\cdot\left[n^{k+1}+{{k+1}\choose{1}}\,{B_{1}}n^{k}+{{k+1}\choose{2}}\,{B_{2}}n^{k-1}+\cdots+{{k+1}\choose{k}}\,{B_{k}}n\right]

Związek z funkcją dzeta Riemanna wyraża wzór Eulera:

\zeta(2k)=\sum_{n=1}^{\infty}{{1}\over{n^{2k}}} = {{\pi^{2k}2^{2k-1}}\over{(2k)!}}B_{2k}

W szczególności wynika stąd, że

\sum^{\infty}_{n=1}{\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi^2}{6}

Inny wzór wyprowadzony także przez Eulera:

\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1}}{{1}\over{n^{2k}}} = (-1)^{k+1}{{\pi^{2k}(2^{2k-1}-1)}\over{(2k)!}}B_{2k}

Liczby Bernoulliego badano też m.in. w związku z liczbami pierwszymi regularnymi. Wiele dalszych własności liczb Bernoulliego i innych ich zastosowań można znaleźć w podanych niżej źródłach.


Przypisy

  1. A. О. Гельфонд Исчисление конечных разностей, ГИТТЛ, 1952, s. 336-337

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Paulo Ribenboim, Mała księga wielkich liczb pierwszych, Warszawa, WNT 1997 ISBN 83-204-2201-9
  2. J. H. Conway, R. K. Guy, Księga liczb, Warszawa, WNT 1999 ISBN 83-204-2366-X
  3. R.L. Graham,D.E.Knuth, O. Patashnik Matematyka konkretna, §6.5.: Liczby Bernoulliego, Warszawa, PWN 2006 ISBN 83-01-14764-4
  4. Strona w serwisie Mathworld (po angielsku)