Zbiór przechodni

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Zbiór przechodni a. tranzytywny - zbiór A o tej własności, że jeżeli x\in A oraz y\in x, to y\in A. Innymi słowy, zbiór przechodni, to zbiór o tej własności, że elementy jego elementów są również jego elementami. Powyższa definicja w naturalny sposób przenosi się na klasy właściwe.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Zbiór A jest przechodni wtedy i tylko wtedy, gdy
\bigcup X\subseteq X.
  • W teorii ZF (i innych, które nie dopuszczają by klasy właściwe były elementami zbiorów) zbiór A jest przechodni wtedy i tylko wtedy, gdy
X\subseteq \mathcal{P}(X).

Domknięcie przechodnie[edytuj | edytuj kod]

Każdy zbiór zawarty jest w pewnym zbiorze przechodnim. Najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór przechodni, w którym zawarty jest zbiór X, nazywa się jego domknięciem przechodnim i oznacza często \mbox{tcl}(X). Domknięcie przechodnie można opisać jako:

\mbox{tcl}(X)=\bigcup \{ X, \bigcup X, \bigcup \bigcup X, \bigcup \bigcup \bigcup X, \bigcup \bigcup \bigcup \bigcup X, \ldots \} .

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Marcin Kysiak, A note on transitive sets without the foundation axiom, Reports on Mathematical Logic No. 40 (2006) ss. 159-163 [1]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]