Uniwersum konstruowalne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Uniwersum konstruowalne (lub uniwersum Gödla) – klasa zbiorów budowana przy założeniu ZF która tworzy model wewnętrzny ZFC. W pewnym sensie klasa ta składa się tylko z tych zbiorów, które muszą istnieć aby aksjomaty ZF były spełnione i każdy jej element jest opisany/skonstruowany przy użyciu elementów prostszych. Zwyczajowo uniwersum konstruowalne oznacza się przez L a jego elementy nazywane są zbiorami konstruowalnymi.

Konstrukcja L była podana przez austriackiego matematyka Kurta Gödla w celu udowodnienia, że jeśli ZF jest niesprzeczne, to także niesprzeczne jest ZF z dołączonym aksjomatem wyboru i uogólnioną hipotezą continuum (GCH). Sam wynik był ogłoszony w 1938, ale pierwszy szkic dowodu (z konstrukcją L) ukazał się w 1939[1]. Rok później Gödel opublikował monografię podającą szczegółowy opis tego modelu[2].

Z uniwersum konstruowalnym związany jest aksjomat konstruowalności. Jest to zdanie orzekające, że każdy zbiór jest konstruowalny (tzn V=L). Aksjomat konstruowalności jest niezależny od standardowych aksjomatów ZFC (ani tego aksjomatu, ani jego zaprzeczenia nie można udowodnić na gruncie ZFC).

Zaganieniu uniwersum zbioru konstruowalnych poświęcona jest częściowo monografia Thomasa Jecha[3].

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Operacje Gödla[edytuj | edytuj kod]

Dla zbiorów x,y określa się operacje:

{\mathfrak F}_1(x,y)=\{x,y\},
{\mathfrak F}_2(x,y)=x\times y,
{\mathfrak F}_3(x,y)=\{(u,v)\colon\,u\in x\ \wedge\ v\in y\ \wedge\ u\in v\},
{\mathfrak F}_4(x,y)=x\setminus y,
{\mathfrak F}_5(x,y)=x\cap y,
{\mathfrak F}_6(x,y)=\bigcup x,
{\mathfrak F}_7(x,y)={\rm dom}(x),
{\mathfrak F}_8(x,y)=\{(u,v)\colon\,(v,u)\in x\},
{\mathfrak F}_9(x,y)=\{(u,v,w)\colon\,(u,w,v)\in x\},
{\mathfrak F}_{10}(x,y)=\{(u,v,w)\colon\,(v,w,u)\in x\}.

Niech A będzie dowolnym zbiorem. Dla A można zdefiniować indukcyjnie zbiory W_n:

W_{n+1}=W_n\cup\{{\mathfrak F}_i(x,y)\colon\, x,y\in W_n,\, i=1,2,\ldots,10\}.

Domknięciem Gödla zbioru A nazywa się zbiór

\mbox{cl}(A)=\bigcup\limits_{n<\omega} W_n.

Domknięcie Gödla zbioru A jest najmniejszym zbiorem który go zawiera oraz który jest zamknięty na operacje {\mathfrak F}_1,\ldots,{\mathfrak F}_{10}. Dla zbioru A określamy się również zbiór

{\rm def}(A)={\rm cl}\left(A\cup\{A\}\right)\cap {\mathcal P}(A),

gdzie {\mathcal P}(A) oznacza zbiór potęgowy zbioru A.

Klasy Lα i L[edytuj | edytuj kod]

Przez indukcję po liczbach porządkowych definiuje się hierarchię zbiorów konstruowalnych:

{\bold L}_0=\emptyset,
{\bold L}_\gamma=\bigcup\limits_{\alpha<\gamma}{\bold L}_\alpha    gdy \gamma jest liczbą graniczną,
{\bold L}_{\alpha+1}={\rm def}\left({\bold L}_\alpha\right).

Następnie

{\bold L}=\bigcup_\alpha {\bold L}_\alpha,

gdzie sumowanie przebiega po wszystkich liczbach porządkowych. Klasę L nazywa się uniwersum konstruowalnym a jej elementy nazywane są zbiorami konstruowalnymi.

Aksjomat konstruowalności to zdanie wszystkie zbiory są konstruowalne, tzn. "{\bold V}={\bold L}".

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Każdy ze zbiorów {\bold L}_\alpha jest tranzytywny (tzn. jeśli x\in {\bold L}_\alpha, to x\subseteq {\bold L}_\alpha) oraz \{x\in {\bold L}_\alpha:x jest liczbą porządkową \}=\alpha. Stąd {\bold L} jest klasą tranzytywną zawierającą wszystkie liczby porządkowe.
  • Jeśli M jest klasą tranzytywną zawierającą wszystkie liczby porządkowe i taką że M\models {\bold{ZF}}, to {\bold L}\subseteq M.
  • {\bold L} (z relacją \in) jest modelem ZFC. Ponadto następujące zdania są spełnione w tym modelu:
(i)  aksjomat konstruowalności {\bold V}={\bold L},
(ii)  uogólniona hipoteza continuum GCH,
(iii)  diament \diamondsuit (zasada kombinatoryczna Jensena),
(iv)  istnieje drzewo Suslina, tzn. ¬SH,
(v)  istnieje drzewo Kurepy, tzn. KH,
(vi)   nie istnieje liczba mierzalna,
(vii)   istnieje Σ12 dobre uporządkowanie prostej,
(viii)   istnieje \Delta^1_2-podzbiór prostej który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a i który nie ma własności Baire'a,
(ix)   istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego
(x)  hipoteza Whiteheada, tzn. każda grupa przemienna A taka, że \mathbf{Ext}^1(A, \mathbb Z) = 0 jest wolną grupą abelową (zob. funktor Ext).
  • Zdania (ii)-(ix) sformułowane powyżej są konsekwencjami aksjomatu konstruowalności (zdania (i)). Jego przyjęcie powoduje, że powyższe zdania są prawdziwe również w uniwersum von Neumanna, dając odpowiedź na wiele problemów teorii mnogości oraz pewnych interesujących pytań w analizie.

Przypisy

  1. Gödel, Kurt: Consistency-proof for the generalized continuum-hypothesis. Proc. nat. Acad. Sci. USA 25 (1939), s. 220-224.
  2. Gödel, Kurt: The consistency of the continuum hypothesis. "Annals of Mathematical Studies." 3, Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1940.
  3. Jech, Thomas: Set theory. The third millennium edition. "Springer Monographs in Mathematics". Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44085-2