Uniwersum konstruowalne

Uniwersum konstruowalne (lub uniwersum Gödla) – klasa zbiorów budowana przy założeniu ZF która tworzy model wewnętrzny ZFC. W pewnym sensie klasa ta składa się tylko z tych zbiorów, które muszą istnieć aby aksjomaty ZF były spełnione i każdy jej element jest opisany/skonstruowany przy użyciu elementów prostszych. Zwyczajowo uniwersum konstruowalne oznacza się przez L a jego elementy nazywane są zbiorami konstruowalnymi.

Konstrukcja L była podana przez austriackiego matematyka Kurta Gödla w celu udowodnienia, że jeśli ZF jest niesprzeczne, to także niesprzeczne jest ZF z dołączonym aksjomatem wyboru i uogólnioną hipotezą continuum (GCH). Sam wynik był ogłoszony w 1938, ale pierwszy szkic dowodu (z konstrukcją L) ukazał się w 1939. Rok później Gödel opublikował monografię podającą szczegółowy opis tego modelu.

Z uniwersum konstruowalnym związany jest aksjomat konstruowalności. Jest to zdanie orzekające, że każdy zbiór jest konstruowalny (tzn V=L). Aksjomat konstruowalności jest niezależny od standardowych aksjomatów ZFC (ani tego aksjomatu, ani jego zaprzeczenia nie można udowodnić na gruncie ZFC).

Zaganieniu uniwersum zbioru konstruowalnych poświęcona jest częściowo monografia Thomasa Jecha.

Definicje

Operacje Gödla

Dla zbiorów $x,y$ określa się operacje:

${\mathfrak F}_1(x,y)=\{x,y\}$,

${\mathfrak F}_2(x,y)=x\times y$,

${\mathfrak F}_3(x,y)=\{(u,v)\colon\,u\in x\ \wedge\ v\in y\ \wedge\ u\in v\}$,

${\mathfrak F}_4(x,y)=x\setminus y$,

${\mathfrak F}_5(x,y)=x\cap y$,

${\mathfrak F}_6(x,y)=\bigcup x$,

${\mathfrak F}_7(x,y)={\rm dom}(x)$,

${\mathfrak F}_8(x,y)=\{(u,v)\colon\,(v,u)\in x\}$,

${\mathfrak F}_9(x,y)=\{(u,v,w)\colon\,(u,w,v)\in x\}$,

${\mathfrak F}_{10}(x,y)=\{(u,v,w)\colon\,(v,w,u)\in x\}$.

Niech $A$ będzie dowolnym zbiorem. Dla $A$ można zdefiniować indukcyjnie zbiory $W_n$:

• $W_0=A$
• jeżeli $n$ jest liczbą naturalną i skonstruowany został już zbiór $W_n$, to niech

$W_{n+1}=W_n\cup\{{\mathfrak F}_i(x,y)\colon\, x,y\in W_n,\, i=1,2,\ldots,10\}$.

Domknięciem Gödla zbioru A nazywa się zbiór

$\mbox{cl}(A)=\bigcup\limits_{n<\omega} W_n$.

Domknięcie Gödla zbioru $A$ jest najmniejszym zbiorem który go zawiera oraz który jest zamknięty na operacje ${\mathfrak F}_1,\ldots,{\mathfrak F}_{10}$. Dla zbioru A określamy się również zbiór

${\rm def}(A)={\rm cl}\left(A\cup\{A\}\right)\cap {\mathcal P}(A)$,

gdzie ${\mathcal P}(A)$ oznacza zbiór potęgowy zbioru A.

Klasy L_α i L

Przez indukcję po liczbach porządkowych definiuje się hierarchię zbiorów konstruowalnych:

${\bold L}_0=\emptyset$,

${\bold L}_\gamma=\bigcup\limits_{\alpha<\gamma}{\bold L}_\alpha$    gdy $\gamma$ jest liczbą graniczną,

${\bold L}_{\alpha+1}={\rm def}\left({\bold L}_\alpha\right)$.

Następnie

${\bold L}=\bigcup_\alpha {\bold L}_\alpha$,

gdzie sumowanie przebiega po wszystkich liczbach porządkowych. Klasę L nazywa się uniwersum konstruowalnym a jej elementy nazywane są zbiorami konstruowalnymi.

Aksjomat konstruowalności to zdanie wszystkie zbiory są konstruowalne, tzn. "${\bold V}={\bold L}$".

Własności

• Każdy ze zbiorów ${\bold L}_\alpha$ jest tranzytywny (tzn. jeśli $x\in {\bold L}_\alpha$, to $x\subseteq {\bold L}_\alpha$) oraz $\{x\in {\bold L}_\alpha:x$ jest liczbą porządkową $\}=\alpha$. Stąd ${\bold L}$ jest klasą tranzytywną zawierającą wszystkie liczby porządkowe.
• Jeśli M jest klasą tranzytywną zawierającą wszystkie liczby porządkowe i taką że $M\models {\bold{ZF}}$, to ${\bold L}\subseteq M$.
• ${\bold L}$ (z relacją $\in$) jest modelem ZFC. Ponadto następujące zdania są spełnione w tym modelu:

(i)  aksjomat konstruowalności ${\bold V}={\bold L}$,

(ii)  uogólniona hipoteza continuum GCH,

(iii)  diament $\diamondsuit$ (zasada kombinatoryczna Jensena),

(iv)  istnieje drzewo Suslina, tzn. ¬SH,

(v)  istnieje drzewo Kurepy, tzn. KH,

(vi)   nie istnieje liczba mierzalna,

(vii)   istnieje Σ¹₂ dobre uporządkowanie prostej,

(viii)   istnieje $\Delta^1_2$-podzbiór prostej który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a i który nie ma własności Baire'a,

(ix)   istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego

(x)  hipoteza Whiteheada, tzn. każda grupa przemienna $A$ taka, że $\mathbf{Ext}^1(A, \mathbb Z) = 0$ jest wolną grupą abelową (zob. funktor Ext).

• Zdania (ii)-(ix) sformułowane powyżej są konsekwencjami aksjomatu konstruowalności (zdania (i)). Jego przyjęcie powoduje, że powyższe zdania są prawdziwe również w uniwersum von Neumanna, dając odpowiedź na wiele problemów teorii mnogości oraz pewnych interesujących pytań w analizie.