Klasa (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Klasa – wielość obiektów, która może być określona przez własność którą posiadają wszystkie jej elementy. Pojęcie klasy jest uogólnieniem pojęcia zbioru.

Wiele obiektów w matematyce jest „za dużych” aby badać je przy użyciu zbiorów i muszą być opisywane przy użyciu klas. W literaturze istnieje kilka sposobów formalizacji pojęcia klasy.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykłady klas:

  • Klasa wszystkich zbiorów: mówienie o zbiorze wszystkich zbiorów prowadzi do antynomii (paradoks zbioru wszystkich zbiorów), dlatego wszystkie zbiory tworzą klasę właściwą.
  • Klasa wszystkich liczb porządkowych: mówienie o zbiorze wszystkich liczb porządkowych prowadzi do antynomii (paradoks Burali-Forti), dlatego liczby porządkowe tworzą klasę właściwą.
  • Klasa wszystkich liczb nadrzeczywistych – jest to nadklasa klasy wszystkich liczb porządkowych.
  • Klasy obiektów dużych kategorii, np. Top – kategorii wszystkich przestrzeni topologicznych.
  • Uniwersum konstruowalne.

Klasy jako formuły[edytuj | edytuj kod]

Klasy można traktować jako nieformalne obiekty wyznaczone przez formuły języka teorii mnogości. Podejście takie jest przyjmowane np w monografii Thomasa Jecha[1]. W książce tej, dla formuły \varphi(x,y_1,y_2,\ldots,y_n) o zmiennych wolnych zawartych wśród x,y_1,y_2,\ldots,y_n oraz parametrów p_1,\ldots,p_n, wprowadza się klasę definiowaną przez \varphi z parametrów p_1,\ldots,p_n jako {\mathbf C}=\{x:\varphi(x,p_1,\ldots,p_n)\}. Tak więc dla klasy {\mathbf C} zdefiniowanej przez \varphi z parametrów p_1,\ldots,p_n mamy

x\in {\mathbf C} wtedy i tylko wtedy gdy \varphi(x,p_1,\ldots,p_n).

Klasy {\mathbf C},{\mathbf D} zdefiniowane przez \varphi(x,p_1,\ldots,p_n), \psi(x,q_1,\ldots,q_m) (odpowiednio) są równe wtedy i tylko wtedy gdy mają te same elementy, czyli gdy

(\forall x)(\varphi(x,p_1,\ldots,p_n)\ \Leftrightarrow\ \psi(x,q_1,\ldots,q_m))

Przy tym podejściu, wprawdzie wykonujemy różne operacje na klasach czy też rozważamy różne relacje między nimi, klasy są tożsame z formułami je definiującymi. Każde użycie klasy może być zastąpione przez odwołanie do formuły ją definiującej.

Teoria klas Kelleya-Morse’a[edytuj | edytuj kod]

John L. Kelley[2] zaproponował podejście sformalizowane trochę inaczej przez Anthony Morse’a[3] i rozważane też przez Johna von Neumanna, a znane dzisiaj jako teoria klas Kelleya-Morse’a. Jest to teoria w języku {\mathcal L}(\in); obiekty nazywane są klasami, a klasy które są elementami innych klas nazywane są też zbiorami (tak więc „x jest zbiorem” jest formułą (\exists y)(x\in y)). Klasy które nie są zbiorami nazywane są klasami właściwymi.

W literaturze przedmiotu spotyka się kilka zestawów aksjomatów określanych jako aksjomaty teorii klas Kelleya-Morse’a. Różnice między rozważanymi aksjomatykami mogą być bardzo istotne a odpowiadające im teorie mogą być różne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (że w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC):

  • Aksjomat ekstensjonalności (klasy mające te same elementy są równe).
  • Dla każdej formuły \varphi języka {\mathcal L}(\in) wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona ze zbiorów, które spełniają tę formułę:
\Big(\exists y\Big)\Big(\forall x\Big)\Big(x\in y\ \Leftrightarrow\ ((\exists z)(x\in z)\ \wedge\ \varphi(x))\Big).
  • Aksjomat pary (dla każdych zbiorów x,y istnieje zbiór \{x,y\}, którego jedynymi elementami są x i y).
  • Klasa C jest klasą właściwą wtedy – i tylko wtedy – gdy istnieje bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów.
  • Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru A, klasa wszystkich podzbiorów zbioru A jest zbiorem.
  • Aksjomat sumy: suma zbioru zbiorów jest zbiorem.
  • Aksjomat nieskończoności:
\Big(\exists w\in {\mathbf V}\Big)\Big(\varnothing \in w\ \wedge\ (\forall y\in w)(y\cup \{y\}\in w)\Big)
  • Aksjomat regularności:
\Big(\forall x\Big)\Big(x\neq\varnothing\ \Rightarrow\ (\exists y\in x)(y\cap x=\varnothing)\Big).

Teoria ta istotnie rozszerza teorię ZFC.

Wojciech Guzicki i Paweł Zbierski opierają swój wykład teorii mnogości[4] na zbliżonej aksjomatyce.

Teoria klas NBG[edytuj | edytuj kod]

Aksjomatyzacja teorii mnogości zaproponowana przez von Neumanna, rozwinięta przez Paula Bernaysa, a następnie uproszczona przez Kurta Gödla znana jest dzisiaj jako aksjomatyka NBG. Występują w niej dwa rodzaje obiektów (klasy i zbiory) i relacja należenia

x\in y

jest określona tylko wtedy gdy x jest zbiorem. W literaturze istnieje kilka różnych aksjomatyk określanych jako aksjomaty teorii klas von Neumanna-Bernaysa-Gödla. Różnice między nimi mogą być bardzo istotne a odpowiadające im teorie mogą być różne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC):

  • Aksjomaty extensjonalności (klasy mające te same elementy są równe; zbiory mające te same elementy są równe).
  • Dla każdej formuły \varphi w której nie ma kwantyfikowania po klasach wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona z tych zbiorów które spełniają tę formułę.
  • Aksjomat pary (dla każdych zbiorów x,y istnieje zbiór \{x,y\} którego jedynymi elementami są x i y).
  • Dla każdej klasy C,
istnieje zbiór c taki że (\forall x) (x \in c \Leftrightarrow x \in {\mathbf C}) wtedy i tylko wtedy gdy
nie istnieje żadna bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów.
  • Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru x, istnieje zbiór złożony z wszystkich podzbiorów x.
  • Aksjomat sumy: dla każdego zbioru x istnieje zbiór złożony ze wszystkich elementów elementów zbioru x.
  • Aksjomat nieskończoności: istnieje zbiór induktywny, tzn. zbiór w taki że
\varnothing \in w\ \wedge\ (\forall y\in w)(y\cup \{y\}\in w)
  • Aksjomat regularności: w każdej niepustej klasie C można znaleźć element x rozłączny z tą klasą.

Teoria NBG jest konserwatywnym rozszerzeniem ZFC (tzn. zdania w języku ZFC są dowodliwe w ZFC wtedy i tylko wtedy gdy są one dowodliwe w NBG).

Przypisy

  1. Jech, Thomas: Set theory. The third millennium edition. „Springer Monographs in Mathematics”. Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44085-2.
  2. Kelley, John: General topology. 1976 (1955). ISBN 0-387-90125-6.
  3. Morse, Anthony: A Theory of Sets. Academic Press, New York 1965.
  4. Guzicki, Wojciech; Zbierski, Paweł: Podstawy teorii mnogości. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978.