Klasa (matematyka)

Klasa – wielość obiektów, która może być określona przez własność którą posiadają wszystkie jej elementy. Pojęcie klasy jest uogólnieniem pojęcia zbioru.

Wiele obiektów w matematyce jest „za dużych” aby badać je przy użyciu zbiorów i muszą być opisywane przy użyciu klas. W literaturze istnieje kilka sposobów formalizacji pojęcia klasy.

Przykłady

Przykłady klas:

• Klasa wszystkich zbiorów: mówienie o zbiorze wszystkich zbiorów prowadzi do antynomii (paradoks zbioru wszystkich zbiorów), dlatego wszystkie zbiory tworzą klasę właściwą.
• Klasa wszystkich liczb porządkowych: mówienie o zbiorze wszystkich liczb porządkowych prowadzi do antynomii (paradoks Burali-Forti), dlatego liczby porządkowe tworzą klasę właściwą.
• Klasa wszystkich liczb nadrzeczywistych – jest to nadklasa klasy wszystkich liczb porządkowych.
• Klasy obiektów dużych kategorii, np. Top – kategorii wszystkich przestrzeni topologicznych.
• Uniwersum konstruowalne.

Klasy jako formuły

Klasy można traktować jako nieformalne obiekty wyznaczone przez formuły języka teorii mnogości. Podejście takie jest przyjmowane np w monografii Thomasa Jecha. W książce tej, dla formuły $\varphi(x,y_1,y_2,\ldots,y_n)$ o zmiennych wolnych zawartych wśród $x,y_1,y_2,\ldots,y_n$ oraz parametrów $p_1,\ldots,p_n$, wprowadza się klasę definiowaną przez $\varphi$ z parametrów $p_1,\ldots,p_n$ jako ${\mathbf C}=\{x:\varphi(x,p_1,\ldots,p_n)\}$. Tak więc dla klasy ${\mathbf C}$ zdefiniowanej przez $\varphi$ z parametrów $p_1,\ldots,p_n$ mamy

$x\in {\mathbf C}$ wtedy i tylko wtedy gdy $\varphi(x,p_1,\ldots,p_n)$.

Klasy ${\mathbf C},{\mathbf D}$ zdefiniowane przez $\varphi(x,p_1,\ldots,p_n)$, $\psi(x,q_1,\ldots,q_m)$ (odpowiednio) są równe wtedy i tylko wtedy gdy mają te same elementy, czyli gdy

$(\forall x)(\varphi(x,p_1,\ldots,p_n)\ \Leftrightarrow\ \psi(x,q_1,\ldots,q_m))$

Przy tym podejściu, wprawdzie wykonujemy różne operacje na klasach czy też rozważamy różne relacje między nimi, klasy są tożsame z formułami je definiującymi. Każde użycie klasy może być zastąpione przez odwołanie do formuły ją definiującej.

Teoria klas Kelleya-Morse’a

John L. Kelley zaproponował podejście sformalizowane trochę inaczej przez Anthony Morse’a i rozważane też przez Johna von Neumanna, a znane dzisiaj jako teoria klas Kelleya-Morse’a. Jest to teoria w języku ${\mathcal L}(\in)$; obiekty nazywane są klasami, a klasy które są elementami innych klas nazywane są też zbiorami (tak więc „$x$ jest zbiorem” jest formułą $(\exists y)(x\in y)$). Klasy które nie są zbiorami nazywane są klasami właściwymi.

W literaturze przedmiotu spotyka się kilka zestawów aksjomatów określanych jako aksjomaty teorii klas Kelleya-Morse’a. Różnice między rozważanymi aksjomatykami mogą być bardzo istotne a odpowiadające im teorie mogą być różne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (że w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC):

• Aksjomat ekstensjonalności (klasy mające te same elementy są równe).
• Dla każdej formuły $\varphi$ języka ${\mathcal L}(\in)$ wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona ze zbiorów, które spełniają tę formułę:

$\Big(\exists y\Big)\Big(\forall x\Big)\Big(x\in y\ \Leftrightarrow\ ((\exists z)(x\in z)\ \wedge\ \varphi(x))\Big)$.

• Aksjomat pary (dla każdych zbiorów $x,y$ istnieje zbiór $\{x,y\}$, którego jedynymi elementami są x i y).
• Klasa C jest klasą właściwą wtedy – i tylko wtedy – gdy istnieje bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów.
• Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru A, klasa wszystkich podzbiorów zbioru A jest zbiorem.
• Aksjomat sumy: suma zbioru zbiorów jest zbiorem.
• Aksjomat nieskończoności:

$\Big(\exists w\in {\mathbf V}\Big)\Big(\varnothing \in w\ \wedge\ (\forall y\in w)(y\cup \{y\}\in w)\Big)$

• Aksjomat regularności:

$\Big(\forall x\Big)\Big(x\neq\varnothing\ \Rightarrow\ (\exists y\in x)(y\cap x=\varnothing)\Big)$.

Teoria ta istotnie rozszerza teorię ZFC.

Wojciech Guzicki i Paweł Zbierski opierają swój wykład teorii mnogości na zbliżonej aksjomatyce.

Teoria klas NBG

Aksjomatyzacja teorii mnogości zaproponowana przez von Neumanna, rozwinięta przez Paula Bernaysa, a następnie uproszczona przez Kurta Gödla znana jest dzisiaj jako aksjomatyka NBG. Występują w niej dwa rodzaje obiektów (klasy i zbiory) i relacja należenia

$x\in y$

jest określona tylko wtedy gdy $x$ jest zbiorem. W literaturze istnieje kilka różnych aksjomatyk określanych jako aksjomaty teorii klas von Neumanna-Bernaysa-Gödla. Różnice między nimi mogą być bardzo istotne a odpowiadające im teorie mogą być różne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC):

• Aksjomaty extensjonalności (klasy mające te same elementy są równe; zbiory mające te same elementy są równe).
• Dla każdej formuły $\varphi$ w której nie ma kwantyfikowania po klasach wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona z tych zbiorów które spełniają tę formułę.
• Aksjomat pary (dla każdych zbiorów $x,y$ istnieje zbiór $\{x,y\}$ którego jedynymi elementami są x i y).
• Dla każdej klasy C,

istnieje zbiór c taki że $(\forall x) (x \in c \Leftrightarrow x \in {\mathbf C})$ wtedy i tylko wtedy gdy

nie istnieje żadna bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów.

• Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru x, istnieje zbiór złożony z wszystkich podzbiorów x.
• Aksjomat sumy: dla każdego zbioru x istnieje zbiór złożony ze wszystkich elementów elementów zbioru x.
• Aksjomat nieskończoności: istnieje zbiór induktywny, tzn. zbiór w taki że

$\varnothing \in w\ \wedge\ (\forall y\in w)(y\cup \{y\}\in w)$

• Aksjomat regularności: w każdej niepustej klasie C można znaleźć element x rozłączny z tą klasą.

Teoria NBG jest konserwatywnym rozszerzeniem ZFC (tzn. zdania w języku ZFC są dowodliwe w ZFC wtedy i tylko wtedy gdy są one dowodliwe w NBG).