Zbieżność według miary

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Zbieżność ciągu funkcji według (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce ten rodzaj zbieżności nazywany jest zbieżnością według prawdopodobieństwa lub zbieżnością stochastyczną.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Teoria miary[edytuj | edytuj kod]

Niech  (\Omega, \mathcal{F}, \mu) będzie przestrzenią z miarą oraz A\in \mathcal{F}. Mówi się, że ciąg funkcji prawie wszędzie skończonych f_n \colon A\to \overline{\mathbb{R}},\, n\in \mathbb{N} jest zbieżny według miary do funkcji f\colon A\to \overline{\mathbb{R}}, gdy:

 \bigwedge\limits_{\varepsilon > 0 } \ \left[\lim_{n\to\infty}\mu(\{x\in A\colon f_n(x), f(x)\in\mathbb{R}, |f_n(x)-f(x)| \geqslant \varepsilon\})=0\right].

Teoria prawdopodobieństwa[edytuj | edytuj kod]

Niech  ( \Omega, \mathcal{F}, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną.

Przypadek jednowymiarowy

Niech  X, X_1, X_2,... : \Omega \to \mathbb{R} będą zmiennymi losowymi. Ciąg zmiennych losowych  (X_n)_{n\in {\mathbb N}} jest zbieżny według prawdopodobieństwa (lub zbieżny stochastycznie) do zmiennej  X , jeżeli

 \bigwedge\limits_{\varepsilon > 0 } \  \lim\limits_{n \to \infty} P \left( \{ \omega \in \Omega : | X_{n}(\omega) - X(\omega) | < \varepsilon \} \right) = 1 .

Ciąg zmiennych losowych  (X_n)_{n\in {\mathbb N}} nazywamy stochastycznie zbieżnym do stałej  c , jeżeli

 \bigwedge\limits_{\varepsilon > 0 } \  \lim\limits_{n \to \infty} P \left( \{ \omega \in \Omega : | X_{n}(\omega) - c | < \varepsilon \} \right) = 1 .
Przypadek wielowymiarowy

Niech  X, X_1, X_2,... : \Omega \to \mathbb{R}^s będą wektorami losowymi. Ciąg wektorów losowych  (X_n)_{n\in {\mathbb N}} jest zbieżny według prawdopodobieństwa (lub zbieżny stochastycznie) do wektora  X , jeżeli

 \bigwedge\limits_{\varepsilon > 0 } \  \lim\limits_{n \to \infty} P \left( \{ \omega \in \Omega : || X_{n}(\omega) - X(\omega) || < \varepsilon \} \right) = 1 ,

gdzie  || \cdot || : \mathbb{R}^s \to [0, \infty) oznacza normę euklidesową w  \mathbb{R}^s .

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • Terminy zbieżność według miary, zbieżność stochastyczna i zbieżność według prawdopodobieństwa są w statystyce i rachunku prawdopodobieństwa stosowane zamiennie.
  • Stochastyczna zbieżność ciągu zmiennych losowych  (X_n)_{n\in {\mathbb N}} do stałej  c oznacza, że przy  n \to \infty gęstość prawdopodobieństwa koncentruje się wokół wartości  c , tzn. rozkład jednopunktowy jest rozkładem granicznym ciągu  (X_n)_{n\in {\mathbb N}} .
  • Zdanie: „ciąg  (f_n)_{n \in \mathbb{N}} jest zbieżny według miary  \mu do funkcji  f ”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko:  f_n \xrightarrow[]{\mu} f

Twierdzenia o zbieżności według miary[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]