Zbieżność według miary

Zbieżność ciągu funkcji według (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce ten rodzaj zbieżności nazywany jest zbieżnością według prawdopodobieństwa lub zbieżnością stochastyczną.

Definicja

Teoria miary

Niech $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ będzie przestrzenią z miarą oraz $A\in \mathcal{F}$. Mówi się, że ciąg funkcji prawie wszędzie skończonych $f_n \colon A\to \overline{\mathbb{R}},\, n\in \mathbb{N}$ jest zbieżny według miary do funkcji $f\colon A\to \overline{\mathbb{R}}$, gdy:

$\bigwedge\limits_{\varepsilon > 0 } \ \left[\lim_{n\to\infty}\mu(\{x\in A\colon f_n(x), f(x)\in\mathbb{R}, |f_n(x)-f(x)| \geqslant \varepsilon\})=0\right]$.

Teoria prawdopodobieństwa

Niech $( \Omega, \mathcal{F}, P )$ będzie przestrzenią probabilistyczną.

Przypadek jednowymiarowy

Niech $X, X_1, X_2,... : \Omega \to \mathbb{R}$ będą zmiennymi losowymi. Ciąg zmiennych losowych $(X_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny według prawdopodobieństwa (lub zbieżny stochastycznie) do zmiennej $X$, jeżeli

$\bigwedge\limits_{\varepsilon > 0 } \ \lim\limits_{n \to \infty} P \left( \{ \omega \in \Omega : | X_{n}(\omega) - X(\omega) | < \varepsilon \} \right) = 1 .$

Ciąg zmiennych losowych $(X_n)_{n\in {\mathbb N}}$ nazywamy stochastycznie zbieżnym do stałej $c$, jeżeli

$\bigwedge\limits_{\varepsilon > 0 } \ \lim\limits_{n \to \infty} P \left( \{ \omega \in \Omega : | X_{n}(\omega) - c | < \varepsilon \} \right) = 1 .$

Przypadek wielowymiarowy

Niech $X, X_1, X_2,... : \Omega \to \mathbb{R}^s$ będą wektorami losowymi. Ciąg wektorów losowych $(X_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny według prawdopodobieństwa (lub zbieżny stochastycznie) do wektora $X$, jeżeli

$\bigwedge\limits_{\varepsilon > 0 } \ \lim\limits_{n \to \infty} P \left( \{ \omega \in \Omega : || X_{n}(\omega) - X(\omega) || < \varepsilon \} \right) = 1 ,$

gdzie $|| \cdot || : \mathbb{R}^s \to [0, \infty)$ oznacza normę euklidesową w $\mathbb{R}^s .$

Uwagi

• Terminy zbieżność według miary, zbieżność stochastyczna i zbieżność według prawdopodobieństwa są w statystyce i rachunku prawdopodobieństwa stosowane zamiennie.
• Stochastyczna zbieżność ciągu zmiennych losowych $(X_n)_{n\in {\mathbb N}}$ do stałej $c$ oznacza, że przy $n \to \infty$ gęstość prawdopodobieństwa koncentruje się wokół wartości $c$, tzn. rozkład jednopunktowy jest rozkładem granicznym ciągu $(X_n)_{n\in {\mathbb N}} .$
• Zdanie: „ciąg $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ jest zbieżny według miary $\mu$ do funkcji $f$”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko: $f_n \xrightarrow[]{\mu} f$

Twierdzenia o zbieżności według miary

• Każdy ciąg zbieżny prawie jednostajnie jest zbieżny prawie wszędzie i według miary (do tej samej funkcji).
• Każdy ciąg zbieżny według miary spełnia warunek Cauchy'ego według miary.
• Twierdzenie Riesza.

Zobacz też

• prawo wielkich liczb
• twierdzenie Jegorowa
• twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej
• Warunek Cauchy'ego według miary
• zbieżność według rozkładu

Bibliografia

• Paul R. Halmos: Measure Theory. Springer-Verlag, 1974, s. 91. ISBN 0-387-90088-8.
• Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989, s. 52. ISBN 83-01-09054-5.
• Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski: Statystyka od podstaw. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1995, s. 78. ISBN 83-208-0971-1.