Funkcja gęstości prawdopodobieństwa

Z Wikipedii

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa - funkcja rzeczywista, która pozwala wyrazić prawdopodobieństwo wystąpienia dowolnego zdarzenia B przy pomocy wartości całki Lebesgue'a z tej funkcji po zbiorze B. O funkcji gęstości mówi się w konkteście rozkładów prawdopodobieństwa na prostej jak i wielowymiarowych. Rozkłady mające gęstość nazywane są rozkładami ciągłymi. Często mówi się o gęstości zmiennej losowej w sensie gęstości rozkładu zmiennej losowej.

Spis treści

1 Definicja
2 Wybrane własności w przypadku jednowymiarowym
3 Mechanika kwantowa

[edytuj] Definicja

Niech $P$ będzie rozkładem prawdopodobieństwa w przestrzeni $\mathbb{R}^N$ (w szczególności rozkładem na prostej dla $N = 1$ ). Funkcję borelowską $f\colon \mathbb{R}^N\to \mathbb{R}$ nazywamy gęstością rozkładu $P$ gdy dla każdego zbioru borelowskiego $B\subseteq \mathbb{R}^N$

$P(B)=\int\limits_B f(x) dx$ .

Jeśli $f$ jest gęstością rozkładu $P$ , to w szczególności, na mocy powyższej definicji:

$\int\limits_{\mathbb{R}^N} f(x) dx=1$ .

W drugę stronę, każda nieujemna funkcja borelowska $f$ , spełniająca powyższy warunek, jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa.

[edytuj] Wybrane własności w przypadku jednowymiarowym

[edytuj] Dystrybuanta

Załóżmy, że $f$ jest gęstością rozkładu $P$ . Wówczas

$\int\limits_{-\infty}^x f(t)dt=P((-\infty, x])=F_P(x)$ ,

gdzie $F P$ jest dystrybuantą rozkładu $P$ - gęstość (o ile istnieje) pozwala przy swojej pomocy wyrazić w prosty sposób dystrybuantę rozkładu, co często bywa przydatne, gdy dystrybuanta nie daje się wyrazić w sposób elementarny (np. rozkład normalny). Z powyższego związku między gęstością a dystrybuantą można zauważyć, że warunkiem koniecznym istnienia gęstości jest aby dystrybuanta rozkładu była prawie wszędzie ciągła - nie jest to jednak warunek wystarczający - istnieją dystrybuanty ciągłe, które nie mają gęstości (np. dystrybuanta Cantora). Warunkami wystarczającymi na istnienie gęstości dla danego rozkładu jest bezwzględna ciągłość bądź ograniczone wahanie jego dystrybuanty.

Jeśli $F$ jest dystrybuantą to jest ona prawie wszędzie rózniczkowalna oraz jeśli $F^\prime$ (określona prawie wszędzie) jest prawie wszędzie różna od zera, to jest ona gęstością.

[edytuj] Wartość oczekiwana

Jeżeli $X$ jest jednowymiarową zmienną losową o rozkładzie ciągłym z gęstością $f (x)$ , to jej wartość oczekiwana wyraża się wzorem:

$E(X)=\int\limits_{-\infty}^\infty x f(x) dx$ .

[edytuj] Suma zmiennych losowych

Jeżeli $X$ i $Y$ są niezależnymi zmiennymi losowymi oraz przynajmniej jedna ma rozkład ciągły, to ich suma ma rozkład ciągły, jeśli ponadto obydwie mają rozkłady ciągłe, to gęstość ich sumy jest splotem ich gęstości.

[edytuj] Mechanika kwantowa

W kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej wszelkie obserwowalne własności cząstek (na przykład ich położenia, pędy, energie) opisywane są funkcjami falowymi. Przeprowadzenie pomiarów tej samej wielkości mierzalnej (tzw. obserwabli) w identycznych układach o identycznych stanach kwantowych może prowadzić do różnych wyników. W istocie, wynik pomiaru jest zmienną losową o określonym rozkładzie prawdopodobieństwa. W przypadku, gdy mierzoną wielkością jest położenie cząstki w stanie opisywanym funkcją falową $\psi (r)\,$ gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie $r\,$ dana jest równaniem: