Zmodyfikowana transformata Z

Zmodyfikowana transformata Z (oznaczana Z_m) to odmiana transformaty Z pozwalająca wyznaczyć oryginał transformaty dyskretnej w chwilach niebędących chwilami próbkowania dzięki fikcyjnemu opóźnieniu funkcji f(t) o odcinek ΔT. Jest to korzystne w momencie gdy dla dwóch różnych funkcji f₁(t) i f₂(t) otrzymujemy te same transformaty Z: F₁(z) = F₂(z).

Zmieniając opóźnienie ΔT w sposób ciągły w granicach od 0 do T można uzyskać wartości funkcji f(t) nie tylko dla t=kT (k=1, 2, ...), ale również dla wszystkich wartości czasu:

$t = (k - \Delta )T \ \ \ \mbox{ dla } 0 \leqslant \Delta \leqslant 1$

Dogodnie jest stosować podstawienie:

$\Delta = 1 - m \ \ \ \mbox{ dla } 0 \leqslant m \leqslant 1$

w wyniku którego otrzymujemy: t = (k - 1 + m)T.

Zmodyfikowana transformata Z definiowana jest wzorem:

$F(z,m) = Z_m \{ f[(k-1+m)T] \} = \sum_{k=0}^{\infty} f[(k -1 + m)T]z^{-k}$.

W szczególności dla m = 1 otrzymuje się zwykłą transformatę Z:

$F(z,m) = \sum_{k=0}^{\infty} f(kT)z^{-k} = F(z)$.

Tabela transformat Z_m

f(t)	F(z,m)
1(t)	$\frac{z}{z-1}$
t	$\frac{mT}{z-1} + \frac{T}{(z-1)^2}$
e-at	$\frac{ e^{-amT} }{ z-e^{-aT} }$
1 - e-at	$\frac{1}{z-1} + \frac{ e^{-amT} }{ z-e^{-aT} }$
sin ωt	$\frac{z \sin {(m \omega T)} + \sin {[(1-m) \omega T]}}{z^2 - 2z \cos {\omega T} + 1 }$

Zobacz też

• transformata Fouriera
• dyskretna transformata Fouriera
• transformata Laplace'a
• odwrotna transformata Laplace'a
• transformata Z
• odwrotna transformata Z