Transformata z gwiazdką

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Transformata z gwiazdką, transformata gwiazdkowana (ang. star transform, starred transform) – dyskretnoczasowa wersja transformaty Laplace'a reprezentująca idealny układ próbkujący z okresem T\,.

Transforma z gwiazdką podobna jest do transformaty Z ze zwykłą zamianą zmiennych, ale transformata z gwiazdką w sposób jawny identyfikuje każdą próbkę w wyrażeniach okresu próbkowania T\, podczas gdy transformata Z odnosi się tylko do każdej próbki poprzez wartość indeksu liczb całkowitych.

Nazwa transformata z gwiazdką powstała z uwagi na to, że w notacji tej transformaty (podobnie jak w przypadku notacji sygnału spróbkowanego) stosuje się bardzo często gwiazdkę.

Odwrotność transformaty z gwiazdką reprezentuje sygnał spróbkowany z okresem T\,. Odwrotna transformata z gwiazdką nie jest oryginalnym sygnałem, ale zamiast tego spróbkowaną wersją sygnału oryginalnego.

Zależność pomiędzy poszczególnymi reprezentacjami można zapisać następująco:

x(t) \rightarrow X^*(s) \rightarrow x^*(t)

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Transformatę z gwiazdką formalnie można zdefiniować jako:

X^*(s) = \sum_{k=0}^\infty x(kT) e^{-kTs}

aby lepiej pokazać związek z transformatą Laplace'a powyższe równanie można też zapisać:

F^*(s) = \mathcal{L}^*[f(t)] = \sum_{k = 0}^\infty f(kT)e^{-kTs}

Związek z transformatą Laplace'a[edytuj | edytuj kod]

Związek transformaty gwiazdkowanej z transformatą Laplace'a można pokazać biorąc residua transformaty Laplace'a danej funkcji:

X^*(s) = \sum \bigg[\text{residua}~X(\lambda)\frac{1}{1-e^{-T(s-\lambda)}}\bigg]_{\text{w miejscach biegunow}X(\lambda)}\,

lub

X^*(s)=\frac{1}{T}\sum_{m=-\infty}^\infty X(s+jm\omega_s)+\frac{x(0)}{2}

Gdzie \,\omega_s to częstość kątowa próbkowania taka, że \,\omega_s=\frac{2\pi}{T}

Związek z transformatą Z[edytuj | edytuj kod]

Związek transformaty gwiazdkowanej z transformatą Z można pokazać poprzez następujące podstawienie zmiennych:

\,z = e^{Ts}

Warto przy tym zauważyć, że w dziedzinie transformaty Z traci się informację o okresie próbkowania T\,.

Własności transformaty z gwiazdką[edytuj | edytuj kod]

Własność 1

\,X^*(s) jest okresowa na płaszczyźnie s z okresem \,j\omega_s.

\,X^*(s+jm\omega_s) = X^*(s)

Własność 2

Jeśli \,X(s) ma biegun w punkcie \,s=s_1 wówczas \,X^*(s) ma bieguny dla \,s=s_1 + jm\omega_s gdzie \,m=0,\pm1,\pm2,....