Transformata z gwiazdką

Transformata z gwiazdką, transformata gwiazdkowana (ang. star transform, starred transform) – dyskretnoczasowa wersja transformaty Laplace'a reprezentująca idealny układ próbkujący z okresem $T\,$.

Transforma z gwiazdką podobna jest do transformaty Z ze zwykłą zamianą zmiennych, ale transformata z gwiazdką w sposób jawny identyfikuje każdą próbkę w wyrażeniach okresu próbkowania $T\,$ podczas gdy transformata Z odnosi się tylko do każdej próbki poprzez wartość indeksu liczb całkowitych.

Nazwa transformata z gwiazdką powstała z uwagi na to, że w notacji tej transformaty (podobnie jak w przypadku notacji sygnału spróbkowanego) stosuje się bardzo często gwiazdkę.

Odwrotność transformaty z gwiazdką reprezentuje sygnał spróbkowany z okresem $T\,$. Odwrotna transformata z gwiazdką nie jest oryginalnym sygnałem, ale zamiast tego spróbkowaną wersją sygnału oryginalnego.

Zależność pomiędzy poszczególnymi reprezentacjami można zapisać następująco:

$x(t) \rightarrow X^*(s) \rightarrow x^*(t)$

Definicja

Transformatę z gwiazdką formalnie można zdefiniować jako:

$X^*(s) = \sum_{k=0}^\infty x(kT) e^{-kTs}$

aby lepiej pokazać związek z transformatą Laplace'a powyższe równanie można też zapisać:

$F^*(s) = \mathcal{L}^*[f(t)] = \sum_{k = 0}^\infty f(kT)e^{-kTs}$

Związek z transformatą Laplace'a

Związek transformaty gwiazdkowanej z transformatą Laplace'a można pokazać biorąc residua transformaty Laplace'a danej funkcji:

$X^*(s) = \sum \bigg[\text{residua}~X(\lambda)\frac{1}{1-e^{-T(s-\lambda)}}\bigg]_{\text{w miejscach biegunow}X(\lambda)}\,$

lub

$X^*(s)=\frac{1}{T}\sum_{m=-\infty}^\infty X(s+jm\omega_s)+\frac{x(0)}{2}$

Gdzie $\,\omega_s$ to częstość kątowa próbkowania taka, że $\,\omega_s=\frac{2\pi}{T}$

Związek z transformatą Z

Związek transformaty gwiazdkowanej z transformatą Z można pokazać poprzez następujące podstawienie zmiennych:

$\,z = e^{Ts}$

Warto przy tym zauważyć, że w dziedzinie transformaty Z traci się informację o okresie próbkowania $T\,$.

Własności transformaty z gwiazdką

Własność 1

$\,X^*(s)$ jest okresowa na płaszczyźnie s z okresem $\,j\omega_s$.

$\,X^*(s+jm\omega_s) = X^*(s)$

Własność 2

Jeśli $\,X(s)$ ma biegun w punkcie $\,s=s_1$ wówczas $\,X^*(s)$ ma bieguny dla $\,s=s_1 + jm\omega_s$ gdzie $\,m=0,\pm1,\pm2,...$.