Transformata z gwiazdką

Transformata z gwiazdką, transformata gwiazdkowana (ang. star transform, starred transform) – dyskretnoczasowa wersja transformaty Laplace’a reprezentująca idealny układ próbkujący z okresem $T.$

Transformata z gwiazdką podobna jest do transformaty Z ze zwykłą zamianą zmiennych, ale transformata z gwiazdką w sposób jawny identyfikuje każdą próbkę w wyrażeniach okresu próbkowania $T,$ podczas gdy transformata Z odnosi się tylko do każdej próbki poprzez wartość indeksu liczb całkowitych.

Nazwa transformata z gwiazdką powstała z uwagi na to, że w notacji tej transformaty (podobnie jak w przypadku notacji sygnału spróbkowanego) stosuje się bardzo często gwiazdkę.

Odwrotność transformaty z gwiazdką reprezentuje sygnał spróbkowany z okresem $T.$ Odwrotna transformata z gwiazdką nie jest oryginalnym sygnałem, ale zamiast tego spróbkowaną wersją sygnału oryginalnego.

Zależność pomiędzy poszczególnymi reprezentacjami można zapisać następująco:

$x(t)\to X^{*}(s)\to x^{*}(t).$

Definicja

Transformatę z gwiazdką formalnie można zdefiniować jako:

$X^{*}(s)=\sum _{k=0}^{\infty }x(kT)e^{-kTs},$

aby lepiej pokazać związek z transformatą Laplace’a powyższe równanie można też zapisać:

$F^{*}(s)={\mathcal {L}}^{*}[f(t)]=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT)e^{-kTs}.$

Związek z transformatą Laplace’a

Związek transformaty gwiazdkowanej z transformatą Laplace’a można pokazać, biorąc residua transformaty Laplace’a danej funkcji:

$X^{*}(s)=\sum {\bigg [}{\text{residua}}~X(\lambda ){\frac {1}{1-e^{-T(s-\lambda )}}}{\bigg ]}_{{\text{w miejscach biegunow}}X(\lambda )}$

lub

$X^{*}(s)={\frac {1}{T}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }X(s+jm\omega _{s})+{\frac {x(0)}{2}},$

gdzie $\omega _{s}$ to częstość kątowa próbkowania taka, że $\omega _{s}={\frac {2\pi }{T}}.$

Związek z transformatą Z

Związek transformaty gwiazdkowanej z transformatą Z można pokazać poprzez następujące podstawienie zmiennych:

$z=e^{Ts}.$

Warto przy tym zauważyć, że w dziedzinie transformaty Z traci się informację o okresie próbkowania $T.$

Własności transformaty z gwiazdką

Własność 1

$X^{*}(s)$ jest okresowa na płaszczyźnie S z okresem $j\omega _{s}.$

$X^{*}(s+jm\omega _{s})=X^{*}(s)$

Własność 2

Jeśli $X(s)$ ma biegun w punkcie $s=s_{1},$ wówczas $X^{*}(s)$ ma bieguny dla $s=s_{1}+jm\omega _{s},$ gdzie $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$