Transformacja Legendre’a

Idea stojąca za transformatą Legendre’a: dla danej funkcji $f$ i wybranego punktu $p$ szukamy argumentu $x$ z dziedziny funkcji $f$ takiego, że różnica $px-f(x)$ jest maksymalna. Dzięki założeniu o wypukłości funkcji $f$ taki $x$ istnieje i jest dany jednoznacznie. Zapisujemy $f^{*}(p)=\max _{x}[px-f(x)].$

Transformacja Legendre’a – przekształcenie wypukłych funkcji o wartościach rzeczywistych. Dla wypukłej funkcji rzeczywistej $f$ zmiennej $x$ transformata Legendre’a polega na konstrukcji funkcji $f^{*}$ zmiennej $p,$ dualnej do niej w sensie Younga. Jeśli pierwotna funkcja była określona na przestrzeni liniowej $V,$ to jej transformata Legendre’a jest funkcją z przestrzeń sprzężona $V^{*},$ czyli przestrzeni funkcjonałów liniowych na przestrzeni $V.$

Transformacja nosi nazwę na cześć francuskiego matematyka Adriena-Mariego Legendre’a.

Motywacja

Motywację do skonstruowania tej transformaty można wyrazić w postaci mniej ścisłej definicji. Można powiedzieć, że przekształcenie Legendre’a to zmiana funkcji i zmiennej w taki sposób, że stara pochodna jest traktowana jako nowa zmienna, a stara zmienna staje się pochodną otrzymanej w transformacji funkcji.

Wyrażenie różniczkowe

$df(x)=f'(x)\,dx,$

w związku z tożsamością $d(xf')=f'\,dx+x\,df',$ można zapisać jako

$d(xf'-f)=x\,df'.$

Jeśli teraz przyjąć, że

$F=xf'-f,\quad y=f'(x),$

co jest transformacją Legendre’a $(f,x)\mapsto (F,y),$ to

$dF(y)=F'(y)\,dy,\quad x=F'(y).$

Ponadto, tak jak opisano wcześniej, nowa zmienna $y$ jest równa starej pochodnej, a stara zmienna $x$ jest równa nowej pochodnej:

$y=f'(x),\quad x=F'(y).$

Definicje mogą się różnić znakiem $F.$ Jeśli zmiennych $x$ funkcji wyjściowej jest więcej niż jedna, transformację Legendre’a można rozważać na dowolnym ich podzbiorze.

Definicja

Definicja analityczna

Transformata Legendre’a funkcji $f$ zadanej na podzbiorze $M$ przestrzeni liniowej $V$ nazywamy funkcję $f^{*}$ określoną na podzbiorze $M^{*}$ przestrzeni sprzężonej $V^{*}$ zgodnie ze wzorem:

$f^{*}(p)=\sup _{x\in M}{\big (}\langle p,x\rangle -f(x){\big )},\quad p\in M^{*}=\left\{p:\sup _{x\in M}{\big (}\langle p,x\rangle -f(x){\big )}<\infty \right\},$

Gdzie $\langle p,x\rangle$ Jest wartością funkcjonału liniowego $p\in M^{*}$ na wektorze $x.$ W przypadku przestrzeni Hilberta $\langle p,x\rangle$ jest to zwykły iloczyn skalarny. W szczególnym przypadku funkcji różniczkowalnej na otwartym podzbiorze $\mathbb {R} ^{n}$ przejście do jej transformaty Legendre’a odbywa się za pomocą wzorów:

$f^{*}(p)=\langle p,x\rangle -f(x),\quad p={\frac {\partial f}{\partial x}}=\nabla f,$

przy czym $x$ muszą być wyrażone poprzez $p$ z drugiego równania.

Sens geometryczny

Dla funkcji wypukłej $f(x)$ jej epigraf $\operatorname {epi} f=\{(x,y)\mid y\geqslant f(x)\}$ jest wypukłym zbiorem domkniętym, którego brzegiem jest wykres funkcji $f.$ Zbiór hiperpłaszczyzn stycznych do epigrafu funkcji $f(x)$ jest naturalną dziedziną transformaty Legendre’a $f^{*}$ Jeśli $p$ to hiperpłaszczyzna styczna do epigrafu, przecina ona oś $y$ w pewnym jednym punkcie. Jej $y$ -współrzędna, wzięta z przeciwnym znakiem jest równa $f^{*}(p).$

Przyporządkowanie $x\mapsto p$ jest jednoznacznie określone na otoczeniu, na którym funkcja $f$ jest różniczkowalna. Wówczas $p$ jest hiperpłaszczyzną styczną do wykresu funkcji $f$ w punkcie $x.$ Odwrotne przyporządkowanie $p\mapsto x$ jest jednoznacznie zdefiniowana wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja $f$ jest ściśle wypukła. Tylko wówczas bowiem $x$ jest jedynym punktem styczności hiperpłaszczyzny $p$ z wykresem funkcji $f.$

Jeśli funkcja $f$ jest różniczkowalna i ściśle wypukła, przekształcenie $p(x)\leftrightarrow df(x)$ jest dobrze określone i wzajemnie jednoznaczne. Przekształca ono punkt hiperpłaszczyzny $p$ na wartości różniczki funkcji $f$ w punkcie $x.$ Umożliwia ono przekształcenie dziedziny funkcji $f^{*}$ w przestrzeń elementów sprzężonych $V^{*},$ które są różniczkami funkcji $f.$

Własności

1. Nierówność Younga-Fenchela wynika bezpośrednio z definicji analitycznej transformacji:

   $f(x)+f^{*}(p)\geqslant \langle p,x\rangle ,$ a równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $p=f'(x)$

   (nierównością Younga często nazywany jest specjalny przypadek tej nierówności dla funkcji $F(x)=x^{a}/a,$ przy $a>1$).

2. W rachunku wariacyjnym (i opartej na nim mechanice Lagrange’a) transformacja Legendre’a jest zwykle stosowana w stosunku do lagranżjanu $L(t,x,{\dot {x}})$ wobec zmiennej ${\dot {x}}.$ Hamiltonian akcji $H(t,x,p)$ jest obrazem transformacji, a równania Eulera-Lagrange’a dla optymalnych trajektorii są przekształcane na równania Hamiltona.
3. Z tożsamości $p=\nabla _{x}f$ łatwo to pokazać, że $\nabla _{p}f^{*}=-x.$

Przykłady

Funkcja potęgowa

Rozważmy transformację Legendre’a funkcji o wzorze $f(x)=x^{n},$ ($n>0,$ $n\neq 1$) określonej na $\mathbb {R^{+}} .$ W przypadku parzystego $n$ można rozważyć $\mathbb {R}$ (bo wtedy $f$ jest wypukła).

$p(x)={\frac {df}{dx}}=n\cdot x^{n-1}.$

Przekształcamy to do formy $x=x(p)$ i dostajemy

$x(p)=\left({\frac {p}{n}}\right)^{\frac {1}{n-1}}.$

W taki sposób otrzymujemy transformację Legendre’a dla funkcji potęgowej:

$f^{*}(p)=px-f(x)=\left({\frac {p}{n}}\right)^{\frac {n}{n-1}}\cdot (n-1).$

Łatwo sprawdzić, że powtórzona transformacja Legendre’a daje ponownie wyjściową funkcję $f.$

Funkcja wielu zmiennych

Rozważmy funkcję wielu zmiennych określoną na przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ następującym wzorem:

$f(x)=\langle x,Ax\rangle +c,$

gdzie $A$ oznacza rzeczywistą, dodatnio określoną macierz, a $c$ pewną stałą. Na początku upewnijmy się, że przestrzeń sprzężona, na której określona jest transformacja Legendre’a, pokrywa się z $\mathbb {R} ^{n}.$ Aby to zrobić, musimy upewnić się, że istnieje ekstremum funkcji $\phi =\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c.$

$\nabla _{x}\phi =p-2Ax,$

$\nabla _{x}\nabla _{x}\phi =-2A.$

Ze względu na dodatnią określoność macierzy $A,$ punkt krytyczny funkcji $\phi$ jest jej maksimum. Wynika z tego, że dla każdego $p$ istnieje supremum. Obliczenie transformacji Legendre’a odbywa się bezpośrednio:

$f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c.$

Zastosowania

Mechanika hamiltonowska

W mechanice Lagrange’a układ fizyczny może być opisany funkcją Lagrange’a. W typowych zagadnieniach jest ona następującej postaci:

$L(q,u)={\frac {1}{2}}\langle u,Mu\rangle -V(q),$

dla $(q,u)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n},$ ze standardowym iloczyn skalarny. Macierz $M$ jest dodatnio określoną macierzą rzeczywistą. W przypadku, gdy lagranżjan nie jest zdegenerowany pod względem prędkości, to znaczy

$p=\nabla _{u}L(q,u)\neq 0,$

możemy przeprowadzić transformację Legendre’a w dziedzinie prędkości i otrzymać nową funkcję zwaną hamiltonianem:

$H(p,q)=pq'-L={\frac {1}{2}}\langle p,M^{-1}p\rangle +V(q)$.

Termodynamika

W termodynamice bardzo często spotykane są różne funkcje termodynamiczne, których różniczka w najbardziej ogólnym przypadku jest postaci:

$dL=X\,dx+Y\,dy+Z\,dz+\ldots$

Na przykład różniczka energii wewnętrznej wygląda następująco:

$dU=T\,dS-P\,dV.$

Energia jest tutaj przedstawiona jako funkcja zmiennych $S,V,$ takie zmienne nazywane są zmiennymi naturalnymi. Wtedy energię swobodną uzyskuje się jako transformację Legendre’a energii wewnętrznej:

$F=U-TS,$

$dF=-S\,dT-P\,dV.$

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli chcemy przejść z funkcji $L=L(x,y,z,\dots )$ do funkcji $L=L(X,y,z,\dots ),$ to należy wykonać transformację Legendre’a:

$L(X,y,z,\dots )=L-xX,$

$dL(X,y,z,\dots )=-x\,dX+Y\,dy+Z\,dz+\ldots$

Bibliografia

• Е.С. Половинкин, М.В. Балашов: Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. ФИЗМАТЛИТ, 2004. ISBN 5-9221-0499-3. (ros.).brak strony w książce
• А.Н. Васильев: Функциональные методы квантовой теории поля и статистики. 1976. (ros.).brak strony w książce