Funkcja logarytmiczna

Wykresy logarytmów o różnych podstawach:
jasnoniebieski ma podstawę 1/2,
czerwony ma podstawę 2,
zielony podstawę e,
ciemnoniebieski ma podstawę 10

Funkcja logarytmiczna – każda funkcja matematyczna zdefiniowana logarytmem o ustalonej podstawie – jej argumentem jest liczba logarytmowana. Określa to wzór $f(x)=\log _{a}x$ dla pewnego ustalonego $a\in (0,1)\cup (1,\infty )$. W szczególności rzeczywista funkcja logarytmiczna jest zdefiniowana na półosi liczb dodatnich: $f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}$, gdzie $\mathbb {R} _{+}=(0,\infty ).$

Funkcja logarytmiczna $\log _{a}x$ jest odwrotna do funkcji wykładniczej $a^{x}$, dlatego jej wykres jest osiowo symetryczny względem osi $y=x$ do wykresu danej funkcji wykładniczej. Przez to funkcje logarytmiczne mają asymptoty pionowe i jest nią zawsze oś $Oy$.

Funkcje logarytmiczne są przestępne i zaliczane do funkcji elementarnych. Najczęstsze podstawy funkcji logarytmicznych to liczby 2, 10 i e – odpowiednie funkcje są znane jako logarytm binarny, dziesiętny i naturalny.

Każde dwie funkcje logarytmiczne o różnych podstawach $\log _{b}x,\;\log _{a}x$ są do siebie proporcjonalne, więc podstawa logarytmu (o ile tylko jest liczbą większą od 1) jest w niektórych porównaniach nieistotna. Tak jest na przykład w teorii złożoności obliczeniowej przy określaniu czasu działania algorytmów w sensie asymptotycznym.

Własności

• Dla dowolnych $x,y>0$

$\log _{a}xy=\log _{a}x+\log _{a}y,$

także

$\log _{a}1=0.$

• Funkcja logarytmiczna jest ściśle (silnie) monotoniczna w całej dziedzinie:
  • dla $a>1$ jest silnie rosnąca,
  • dla $0<a<1$ jest silnie malejąca.

Stąd jest również różnowartościowa.

• Granice funkcji:
  • dla $a>1\colon \quad \qquad \lim _{x\to 0}\log _{a}x=-\infty \qquad \lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=+\infty$
  • dla $0<a<1\colon \quad \lim _{x\to 0}\log _{a}x=+\infty \qquad \lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=-\infty$

Stąd jest nieograniczona i jest suriekcją.

• Jest różniczkowalna w całej swojej dziedzinie, jest więc także ciągła:

$(\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}.$

Ponadto funkcja ta nie jest parzysta ani nieparzysta, nieokresowa,

Linki zewnętrzne

• Funkcja logarytmiczna, serwis „Matematyka z ZUT-em”, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2025-05-16].
• Logarithmic function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].