Biegun Landaua

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Biegun Landaua[1]skala pędu (lub energii), przy której stała sprzężenia (siła oddziaływania) w kwantowej teorii pola staje się nieskończona. Taką możliwość wskazał fizyk Lew Landau i jego współpracownicy[2]. Fakt, że stała sprzężenia zależy od skali pędów (lub odległości) jest podstawową ideą grup renormalizacji.

Biegun Landaua pojawia się w teoriach, które nie są asymptotycznie swobodne, takich jak elektrodynamika kwantowa (QED) i teoria (teoria pola skalarnego z oddziaływaniem czteroliniowym, taka jak ta opisująca bozon Higgsa). W tych teoriach zrenormalizowana stała sprzężenia rośnie z energią. Biegun Landaua pojawia się, kiedy stała sprzężenia staje się nieskończona przy skończonej skali energii. W teorii, która ma być kompletna, może to być uznane za matematyczną niespójność. Możliwym rozwiązaniem jest przyjęcie, że zrenormalizowany ładunek dąży do zera, kiedy usunie się odcięcie, czyli że ładunek jest całkowicie ekranowany przez fluktuacje kwantowe (polaryzacja próżni). Jest to „kwantowa trywialność” (ang. quantum triviality) oznaczająca, że poprawki kwantowe usuwają oddziaływanie w nieobecności odcięcia.

Ponieważ biegun Landaua jest normalnie obliczany przy wykorzystaniu jedno- lub dwupętlowych obliczeń perturbacyjnych, jest możliwe, że biegun ten jest raczej znakiem, że przybliżenie perturbacyjne załamuje się przy silnych sprzężeniach. Sieciowa teoria pola (lattice field theory) pozwala na obliczenia nieperturbacyjne i była zastosowana do rozstrzygnięcia tego problemu. Obliczenia numeryczne wykonane tą metodą wydają się potwierdzać wniosek Landaua, że ładunek w QED jest całkowicie ekranowany przy nieskończonym odcięciu[3][4][5].

Z biegunem Landaua jest związany duch Landaua – cząstka (tachion) o urojonej masie danej w przypadku QED przez [6].

Krótka historia[edytuj | edytuj kod]

Według pracy Landaua, Abrikosowa i Chałatnikowa[7] relacja między obserwowanym ładunkiem i „gołym” ładunkiem dla renormalizowalnych teorii pola jest dana wyrażeniem:

gdzie to masa cząstki, a to odcięcie pędu. Dla skończonych i obserwowany ładunek dąży do zera i teoria wygląda na trywialną.

Właściwa interpretacja równania 1 opiera się na jego odwróceniu, tak że (związane ze skalą odległości ) jest dobierane tak, żeby dać poprawną wartość

Kiedy rośnie, goły ładunek rośnie i jest rozbieżny w punkcie renormalizacji:

Ta osobliwość to biegun Landaua z ujemnym reziduum,

W rzeczywistości jednak wzrost powoduje niepoprawność wzorów 1 i 2 w obszarze gdyż uzyskano je dla więc rzeczywiste istnienie bieguna Landaua staje się wątpliwe.

Faktyczne zachowanie ładunku jako funkcji skali pędu jest określone przez równanie Gell-Manna-Lowa[8]:

które daje równania 1 i 2 po scałkowaniu z warunkiem dla i dla kiedy jedyny wyraz z jest zachowany z prawej strony. Ogólne zachowanie zależy od postaci funkcji

Według standardowej klasyfikacji Bogolubowa i Szyrkowa[9] są trzy jakościowo różne przypadki:

(a) jeśli ma zero dla skończonej wartości wzrost jest nasycony i dla
(b) jeśli nie zmienia znaku i zachowuje się jak z dla dużych to rośnie aż do nieskończoności;
(c) jeśli z dla dużych to jest rozbieżne dla skończonej wartości i powstaje rzeczywisty biegun Landaua: teoria jest wewnętrznie niespójna, gdyż wartość jest nieokreślona dla

Landau i Pomieranczuk[10] próbowali uzasadnić możliwość (c) w przypadku QED i teorii Zauważyli, że wzrost w równaniu 1 prowadzi obserwowalny ładunek do stałej granicy, która nie zależy od To samo zachowanie można otrzymać z całek funkcjonalnych pomijając kwadratowe wyrazy w działaniu. Jeśli pomijanie kwadratowych wyrazów jest poprawne już dla jest tym bardziej poprawne dla rzędu jedności lub większego. To z kolei uzasadnia uznanie równania 1 za poprawne dla dowolnych Poprawność tych rozważań na poziomie ilościowym jest wykluczona przez niekwadratową postać funkcji Mogą one jednak być poprawne jakościowo. Rzeczywiście rezultat można otrzymać z całek funkcyjnych tylko dla a ich poprawność dla oparta na równaniu 1, może być związana z innymi powodami. Dla ten wynik jest prawdopodobnie naruszony, ale na podstawie warunku dopasowania można oczekiwać zgodności rzędu wielkości dwu stałych. Wyniki metody Monte Carlo[11] wydaja się potwierdzać jakościową poprawność argumentów Landaua i Pomieranczuka, chociaż jest też możliwa inna interpretacja.

Przypadek (c) klasyfikacji Bogolubowa i Szyrkowa odpowiada kwantowej trywialności w pełnej teorii (poza kontekstem perturbacji). (Można to wykazać w drodze sprowadzenia do absurdu. Jeśli jest skończone, teoria jest wewnętrznie niespójna. Jedynym sposobem aby tego uniknąć jest dążenie do nieskończoności, możliwe tylko dla ) Panuje powszechne przekonanie, że zarówno QED, jak i teoria są trywialne w granicy continuum. Dostępne informacje potwierdzają jednak tylko „wilsonowską trywialność”, która jest równoważna po prostu dodatniości dla i może być uznana za potwierdzoną. Oznaki „prawdziwej” kwantowej trywialności nie są liczne i pozwalają na różne interpretacje.

Fenomenologia[edytuj | edytuj kod]

W teorii mającej reprezentować fizyczne oddziaływanie z niezerowym sprzężeniem, bieguny Landaua lub trywialność mogą być uznane za oznakę niekompletności. Na przykład QED nie jest zwykle uważana za samodzielną kompletną teorię, a biegun Landaua może być znakiem nowej fizyki związanej z tym, że QED jest częścią teorii wielkiej unifikacji. Skala wielkiej unifikacji dostarczyłaby naturalnego odcięcia znacznie poniżej skali Landaua zapobiegając obserwowalnym fizycznym konsekwencjom bieguna Landaua.

Problem bieguna Landaua w QED ma znaczenie czysto akademickie. Rolę w równaniach 1 i 2 gra stała struktury subtelnej a skala Landaua dla QED jest oszacowana na 10286 eV, czyli wiele rzędów wielkości więcej niż jakakolwiek skala mająca znaczenie w fizyce cząstek. Dla porównania: maksymalne energie dostępne w Wielkim Zderzaczu Hadronów są rzędu 1013 eV, a skala Plancka, dla której istotna staje się grawitacja kwantowa, a stosowalność samej kwantowej teorii pola może być podana w wątpliwość, to tylko 1028 eV.

Bozon Higgsa w modelu standardowym fizyki cząstek jest opisany przez teorię Jeśli ma ona biegun Landaua, ten fakt ustanawia „więzy trywialności” („triviality bound”) na masę Higgsa[12]. Więzy te zależą od skali, w której oczekiwana jest nowa fizyka i maksymalnej dopuszczalnej stałej sprzężenia (fizyczna wartość jest nieznana). Dla dużych sprzężeń wymagane są metody nieperturbacyjne. W tym kontekście użyteczne mogą być też metody obliczenia na sieci[13].

Ostatnie wyniki[edytuj | edytuj kod]

Rozwiązania problemu bieguna Landaua wymaga obliczenia funkcji Gell-Manna-Lowa dla dowolnego i jej asymptotycznego zachowania dla Jest to bardzo trudne i przez wiele lat było uważane za niewykonalne: obliczenia z wykorzystaniem diagramów pozwalają wykorzystać tylko kilka współczynników rozwinięcia, które nie pozwalają badać funkcji w całości. Postęp stał się możliwy po rozwinięciu przez Lipatowa metody obliczenia dużych rzędów teorii perturbacyjnej[14]. Teraz można próbować interpolować znane współczynniki ich zachowaniem w wysokim rzędzie i sumować szereg perturbacyjny. Pierwsze próby rekonstrukcji funkcji świadczyły o trywialności teorii Zastosowanie bardziej zaawansowanych metod sumowania dało wykładnikowi w granicy wartość bliską jeden. Hipoteza dla asymptotyki została ostatnio potwierdzona analitycznie dla teorii i QED[15][16][17]. Razem z dodatnią określonością otrzymana przez sumowanie szeregu daje to przypadek (b) klasyfikacji Bogolubowa i Szyrkowa, a zatem biegun Landaua jest w tych teoriach nieobecny. Możliwość pominięcia wyrazu kwadratowego w działaniu sugerowana przez Landaua i Pomieranczuka nie jest potwierdzona.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Wstęp do modelu standardowego. Wykład 12. [dostęp 2014-02-06].
  2. Lev Landau w Niels Bohr and the Development of Physics. London: Pergamon Press, 1955. (ang.)
  3. M. Göckeler, R. Horsley, V. Linke, P. Rakow, G. Schierholz, and H. Stüben. Is There a Landau Pole Problem in QED?. „Physical Review Letters”. 80 (19), s. 4119–4122, 1998. DOI: 10.1103/PhysRevLett.80.4119. Bibcode1998PhRvL..80.4119G (ang.). 
  4. S. Kim, John B. Kogut, Lombardo Maria Paola. Gauged Nambu–Jona-Lasinio studies of the triviality of quantum electrodynamics. „Physical Review D”. 65 (5), s. 054015, 2002-01-31. DOI: 10.1103/PhysRevD.65.054015. Bibcode2002PhRvD..65e4015K (ang.). 
  5. Holger Gies, Joerg Jaeckel. Renormalization Flow of QED. „Physical Review Letters”. 93 (11), 2004-09-09. DOI: 10.1103/PhysRevLett.93.110405. Bibcode2004PhRvL..93k0405G (ang.). 
  6. Ian D. Lawrie: A Unified Grand Tour of Theoretical Physics, 2nd edition. ISBN 1-4398-5819-5. [dostęp 2014-02-08]. (ang.)
  7. L.D. Landau, A.A. Abrikosov, I. M. Khalatnikov, Dokl. Akad. Nauk SSSR 95, 497, 773, 1177 (1954).
  8. M. Gell-Mann, F.E. Low. Quantum Electrodynamics at Small Distances. „Physical Review”. 95 (5), s. 1300–1320, 1954. DOI: 10.1103/PhysRev.95.1300. Bibcode1954PhRv...95.1300G (ang.). 
  9. N.N. Bogoliubov, D.V. Shirkov, Introduction to the Theory of Quantized Fields, 3rd ed. (Nauka, Moscow, 1976; Wiley, New York, 1980).
  10. L.D. Landau, I.Ya. Pomeranchuk, Dokl. Akad. Nauk SSSR 102, 489 (1955); I.Ya. Pomeranchuk, Dokl. Akad. Nauk SSSR 103, 1005 (1955).
  11. B. Freedman, P. Smolensky, D. Weingarten, Phys. Lett. B 113, 481 (1982).
  12. J. Gunion, H.E. Haber, G.L. Kane, S. Dawson: The Higgs Hunters Guide. Addison-Wesley, 1990. (ang.)
  13. Na przykład Urs Heller, Markus Klomfass, Herbert Neuberger, and Pavols Vranas. Numerical analysis of the Higgs mass triviality bound. „Nuclear Physics B”. 405 (2–3), s. 555–573, 1993-09-20. DOI: 10.1016/0550-3213(93)90559-8. Bibcode1993NuPhB.405..555H (ang.).  – sugeruje MH < 710 GeV.
  14. L.N. Lipatov, Zh.Eksp.Teor.Fiz. 72, 411 (1977) [Sov.Phys. JETP 45, 216 (1977)].
  15. I.M. Suslov, Renormalization Group Functions of the φ4 Theory in the Strong Coupling Limit: Analytical Results, „Journal of Experimental and Theoretical Physics”, 107 (3), 2008, s. 413–429, DOI10.1134/S1063776108090094, arXiv:1010.4081 [cond-mat.stat-mech] (ang.).
  16. Igor M. Suslov, Asymptotic behavior of the β function in the ϕ4 theory: A scheme without complex parameters, „Journal of Experimental and Theoretical Physics”, 111 (3), 2010, s. 450–465, DOI10.1134/S1063776110090153, arXiv:1010.4317 [hep-ph] (ang.).
  17. I.M. Suslov, Exact asymptotic form for the β function in quantum electrodynamics, „Journal of Experimental and Theoretical Physics”, 108 (6), 2009, s. 980–984, DOI10.1134/S1063776109060089, arXiv:0804.2650 [hep-ph] (ang.).