Przekształcenie wieloliniowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przekształcenie wieloliniowe – w algebrze liniowej[1] funkcja określona na iloczynie kartezjańskim[2] przestrzeni liniowych w daną przestrzeń liniową (nad ustalonym ciałem), która jest liniowa ze względu na każdy argument z osobna. Jeżeli docelową przestrzeń liniową zastąpi się ciałem, nad którymi zbudowane są przestrzenie liniowe dziedziny, to tego rodzaju funkcje te nazywa się formami wieloliniowymi.

Jeśli liczba czynników w dziedzinie jest znana i wynosi \scriptstyle n, to mówi się wtedy odpowiednio o przekształceniach i formach \scriptstyle n-liniowych; struktura tych przekształceń jest dobrze znana z uwagi na ich izomorficzność z przekształceniami liniowymi uzyskaną za pomocą konstrukcji iloczynu tensorowego (zob. Uogólnienia). Przekształcenia jednoliniowe i dwuliniowe opisano w osobnych artykułach, podobnie formy jednoliniowe i dwuliniowe (zob. przekształcenie liniowe, przekształcenie dwuliniowe, forma liniowa, forma dwuliniowa). Pojęcie to uogólnia się bezpośrednio na moduły (nad ustalonym pierścieniem przemiennym) i to właśnie w ich kontekście zostanie ono opisane w tym artykule.

Potęga kartezjańska[edytuj | edytuj kod]

Niech dane będą: (niekoniecznie wieloliniowe) przekształcenie \scriptstyle \mathrm f\colon M^n \to N, gdzie \scriptstyle M, N są dowolnymi modułami nad pierścieniem przemiennym \scriptstyle R, gdzie \scriptstyle n \geqslant 1, oraz permutacja \scriptstyle \sigma należąca do grupy symetrycznej \scriptstyle S_n. Zamiana argumentów funkcji \scriptstyle \mathrm f miejscami zgodnie z porządkiem wyznaczonym przez \scriptstyle \sigma daje inną funkcję \scriptstyle M^n \to N daną wzorem \scriptstyle (\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n) \mapsto \mathrm f\left(\mathsf m_{\sigma(1)}, \dots, \mathsf m_{\sigma(n)}\right)[3]. Funkcję \scriptstyle \mathrm f nazywa się odpowiednio

  • symetryczną, gdy nie zmienia znaku przy dowolnej permutacji,
    \mathrm f\left(\mathsf m_{\sigma(1)}, \dots, \mathsf m_{\sigma(n)}\right) = \mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n) \text{ dla dowolnej } \sigma \in S_n;
  • antysymetryczną, gdy zachowuje znak przy permutacji parzystej i zmienia go na przeciwny przy nieparzystej,
    \mathrm f\left(\mathsf m_{\sigma(1)}, \dots, \mathsf m_{\sigma(n)}\right) = (\mathrm{sgn}\; \sigma) \mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n) \text{ dla dowolnej } \sigma \in S_n;
  • alternującą, gdy znika przy równych choć dwóch argumentach,
    \mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n) = \mathsf 0, \text{ o ile } \mathsf m_i = \mathsf m_j \text{ dla } i \ne j \text{ oraz } n \geqslant 2.

W powyższych definicjach zmienne indeksowane są kolejno liczbami \scriptstyle 1, 2, \dots, n, jednakże własności te nie zależą od użytego porządku liczb naturalnych[4]. Jeżeli \scriptstyle n \geqslant 2, to przekształcenie wieloliniowe \scriptstyle \mathrm f\colon M^n \to N, które jest alternujące, jest również antysymetryczne[5]; w ogólności dla \scriptstyle n \geqslant 2 dowolna funkcja \scriptstyle \mathrm f\colon M^n \to N jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy

\mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_{i-1}, \mathsf m_i, \mathsf m_{i+1}, \mathsf m_{i+2}, \dots, \mathsf m_n) = -\mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_{i-1}, \mathsf m_{i+1}, \mathsf m_i, \mathsf m_{i+2}, \dots, \mathsf m_n)

oraz alternująca wtedy i tylko wtedy, gdy

\mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_i, \mathsf m_{i+1}, \dots, \mathsf m_n) = \mathsf 0, \text{ o ile } \mathsf m_i = \mathsf m_{i+1}

dla \scriptstyle i = 1, \dots, n - 1[6]. Istnieją przekształcenia wieloliniowe, które są antysymetryczne, ale nie alternujące (zob. Przykłady); jednakże jeśli \scriptstyle 2 jest jednością pierścienia, to zachodzi odwrócenie poprzedniego twierdzenia[7] – oznacza to, że w przypadu pierścieni takich jak ciało liczb rzeczywistych, czy zespolonych terminy „antysymetryczność” i „alternacyjność” można stosować wymiennie.

Zbiór wszystkich funkcji \scriptstyle M^n \to N tworzy moduł nad pierścieniem \scriptstyle R, a przekształcenia wieloliniowe \scriptstyle M^n \to N tworzą podmoduł wspomnianego modułu[8]; ponadto zbiór przekształceń wieloliniowych ustalonego rodzaju (tzn. symetrycznych, antysymetrycznych, czy alternujących) jest podmodułem tego podmodułu[9] (zob. przestrzeń funkcyjna).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Funkcja \scriptstyle \mathrm{Mat}_n(R) \times \mathrm{Mat}_n(R) \to R dana wzorem \scriptstyle (\mathbf A, \mathbf B) \mapsto \mathrm{tr}(\mathbf{AB}) jest symetryczna. Funkcja \scriptstyle R^2 \times R^2 \to R przekształcająca (\scriptstyle \binom ac, \binom bd\displaystyle)\scriptstyle \mapsto ad - bc (por. wyznacznik[10]) jest antysymetryczna i alternująca; podobnie jak iloczyn wektorowy \scriptstyle \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \to \mathbb R, czy jego zespolony odpowiednik \scriptstyle \mathbb C \times \mathbb C \to \mathbb R odwzorowujący \scriptstyle (z, w) \mapsto \mathrm{im}\left(z\overline w\right). Jeżeli \scriptstyle R zawiera \scriptstyle \mathbb Z/2\mathbb Z, czyli \scriptstyle 1 = -1 w \scriptstyle R, to mnożenie \scriptstyle R \times R \to R jest symetryczne, antysymetryczne, lecz nie jest alternujące.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Jeśli przekształcenie \scriptstyle \mathrm f\colon M^n \to N jest wieloliniowe, a \scriptstyle \mathrm g\colon N \to P jest liniowe, to ich złożenie \scriptstyle \mathrm g \circ \mathrm f również jest wieloliniowe, a ponadto jeżeli \scriptstyle \mathrm f było symetryczne, antysymetryczne lub alternujące, to \scriptstyle \mathrm g \circ \mathrm f ma tę samą własność. W ten sposób można tworzyć nowe przekształcenia wieloliniowe (symetryczne, antysymetryczne, czy alternujące) składając istniejące z przekształceniami liniowymi; \scriptstyle n-te przekształcenie tensorowe \scriptstyle \otimes\colon M^n \to M^{\otimes n} odwzorowujące \scriptstyle (\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n) w \scriptstyle \mathsf m_1 \otimes \dots \otimes \mathsf m_n, jest szczególnym przypadkiem przekształcenia wieloliniowego na \scriptstyle M^n, a każde inne pochodzi od niego (zob. iloczyn tensorowy modułów). W ogólności konstrukcja ta może być wykonana dla dowolnych \scriptstyle R-modułów – istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między przekształceniami wieloliniowymi \scriptstyle \mathrm f\colon M_1 \times \dots \times M_n \to N oraz przekształceniami liniowymi \scriptstyle \mathrm F\colon M_1 \otimes \dots \otimes M_n \to N dana wzorem

\mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n) = \mathrm F(\mathsf m_1 \otimes \dots \otimes \mathsf m_n).

Ograniczenie się do tych samych modułów w dziedzinie umożliwia rozpatrywanie alternujących przekształceń wieloliniowych (permutowanie argumentów ma sens tylko wtedy, gdy pochodzą one z tego samego modułu), dlatego konstrukcja algebry zewnętrznej możliwa jest tylko na potędze kartezjańskiej.

Jeśli \scriptstyle X_1, \dots, X_n, Yprzestrzeniami unormowanymi nad ustalonym ciałem, to można mówić wtedy o ograniczoności przekształcenia wieloliniowego \scriptstyle \mathrm f\colon X_1 \times \dots \times X_n \to Y, która pociąga jego ciągłość (zob. ograniczone przekształcenie liniowe); wspomniane przekształcenie jest ograniczone wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka stała rzeczywista \scriptstyle C > 0, że dla każdego wektora \scriptstyle (\mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n) \in X_1 \times \dots \times X_n zachodzi

\bigl\|\mathrm f(\mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n)\bigr\| \leqslant C \|\mathbf x_1\| \dots \|\mathbf x_n\|.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976.

Przypisy

  1. Czasem precyzuje się dział mówiąc o algebrze wieloliniowej.
  2. Właściwie: iloczynie prostym bądź sumie prostej – w przypadku skończenie wielu czynników/składników konstrukcje te są równoważne (tzn. izomorficzne).
  3. Nową funkcję można postrzegać jako efekt działania \scriptstyle \sigma na \scriptstyle \mathrm f, co można zapisać \scriptstyle (\sigma \cdot \mathrm f)(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n); zob. działanie grupy na zbiorze. Wówczas \scriptstyle \sigma_1 \cdot (\sigma_2 \cdot \mathrm f) jest równe \scriptstyle (\sigma_2\sigma_1) \cdot \mathrm f, nie zaś \scriptstyle (\sigma_1 \sigma_2) \cdot \mathrm f, co oznacza, że działanie grupy \scriptstyle S_n na zbiorze funkcji \scriptstyle M^n \to N jest prawostronne, a nie lewostronne.
  4. Twierdzenie: Jeśli \scriptstyle \mathrm f jest
    • symetryczna, to \scriptstyle \mathrm f\left(\mathsf m_{\sigma(i_1)}, \dots, \mathsf m_{\sigma(i_n)}\right) = \mathrm f(\mathsf m_{i_1}, \dots, \mathsf m_{i_n}) \text{ dla dowolnej } \sigma \in S_n,
    • antysymetryczna, to \scriptstyle \mathrm f\left(\mathsf m_{\sigma(i_1)}, \dots, \mathsf m_{\sigma(i_n)}\right) = (\mathrm{sgn}\; \sigma) \mathrm f(\mathsf m_{i_1}, \dots, \mathsf m_{i_n}) \text{ dla dowolnej } \sigma \in S_n,
    • alternująca, to \scriptstyle \mathrm f(\mathsf m_{i_1}, \dots, \mathsf m_{i_n}) = \mathsf 0, \text{ o ile } \mathsf m_{i_s} = \mathsf m_{i_t} \text{ dla } i_s \ne i_t \text{ oraz } n \geqslant 2
    dla dowolnego uporządkowania \scriptstyle i_1, \dots, i_n liczb \scriptstyle 1, \dots, n.

    Dowód: Uporządkowanie \scriptstyle i_1, \dots, i_n liczb naturalnych \scriptstyle 1, \dots, n stanowi permutację zbioru z nich złożonego oznaczaną dalej \scriptstyle \iota, tj. \scriptstyle \iota(1) = i_1, \dots, \iota(n) = i_n. Jeżeli \scriptstyle \mathrm f jest antysymetryczna, to \scriptstyle \mathrm f\left(\mathsf m_{i_1}, \dots, \mathsf m_{i_n}\right) = \mathrm f\left(\mathsf m_{\iota(1)}, \dots, \mathsf m_{\iota(n)}\right) = (\mathrm{sgn}\; \iota) \mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n), stąd dla dowolnej \scriptstyle \sigma \in S_n zachodzi

    \scriptstyle \mathrm f\left(\mathsf m_{\sigma(i_1)}, \dots, \mathsf m_{\sigma(i_n)}\right) = \mathrm f\left(\mathsf m_{(\sigma\iota)(1)}, \dots, \mathsf m_{(\sigma\iota)(n)}\right) = \mathrm{sgn}(\sigma\iota) \mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n) = \mathrm{sgn}(\sigma) \mathrm{sgn}(\iota) \mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n) = \mathrm{sgn}(\sigma) \mathrm f\left(\mathsf m_{i_1}, \dots, \mathsf m_{i_n}\right).
    Podobnie dowodzi się niezależności dla symetryczności i alternacyjności.
  5. Przypadek \scriptstyle n = 2 opisano w artykule o formach dwuliniowych (zob. dowód). Zupełnie jak wyżej, dla dowolnych permutacji \scriptstyle \pi, \varrho \in S_n zachodzi \scriptstyle \mathrm f\left(\mathsf m_{(\pi\varrho)(1)}, \dots, \mathsf m_{(\pi\varrho)(n)}\right) = \mathrm{sgn}(\pi) \mathrm{sgn}(\varrho) \mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n), zatem definicję antysymetryczności wystarczy sprawdzić dla \scriptstyle \sigma generujących \scriptstyle S_n, np. transpozycji postaci \scriptstyle (i\ i+1); innymi słowy należy pokazać, że dla \scriptstyle (\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n) \in M^n dowolne wieloliniowe przekształcenie alternujące \scriptstyle \mathrm f\colon M^n \to N spełnia \scriptstyle \mathrm f(\dots, \mathsf m_{i-1}, \mathsf m_i, \mathsf m_{i+1}, \mathsf m_{i+2}, \dots) = -\mathrm f(\dots, \mathsf m_{i-1}, \mathsf m_{i+1}, \mathsf m_i, \mathsf m_{i+2}, \dots). Wystarczy w tym wypadku rozpatrzeć przekształcenie dwuliniowe \scriptstyle \mathrm g(\mathsf x, \mathsf y) = \mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_{i-1}, \mathsf x, \mathsf y, \mathsf m_{i+2}, \dots, \mathsf m_n), która jest alternujące: z przypadku \scriptstyle n = 2 jest ona antysymetryczne, \scriptstyle \mathrm g(\mathsf x, \mathsf y) = -\mathrm g(\mathsf y, \mathsf x), co dowodzi tezy.
  6. W poprzednim dowodzie dla antysymetryczności nie wykorzystywano (wielo)liniowości, zatem jest on poprawny dla wszystkich funkcji. Jeśli \scriptstyle \mathrm f znika dla dowolnego układu argumentów, z których dwa sąsiadujące są sobie równe, to \scriptstyle \mathrm f jest antysymetryczna, co właśnie udowodniono; stąd wartość \scriptstyle \mathrm f dla układu argumentów, z których dwa są sobie równe, jest co do znaku równa wartości dla układu argumentów, z których dwa sąsiadujące są sobie równe – z założenia wartość ta wynosi \scriptstyle \mathsf 0.
  7. Twierdzenie: Niech \scriptstyle n \geqslant 2; jeżeli \scriptstyle 2 \in R^*, to przekształcenie wieloliniowe \scriptstyle \mathrm f\colon M^n \to N, które jest antysymetryczne, jest również alternujące.

    Dowód: Dla ustalenia uwagi zamiast dowolnych, różnych \scriptstyle \mathsf m_i, \mathsf m_j zostaną rozważone \scriptstyle \mathsf m_1, \mathsf m_2. Z antysymetrii \scriptstyle \mathrm f(\mathsf m_2, \mathsf m_1, \mathsf m_3, \dots, \mathsf m_n) = -\mathrm f(\mathsf m_1, \mathsf m_2, \mathsf m_3, \dots, \mathsf m_n), stąd \scriptstyle \mathrm f(\mathsf m, \mathsf m, \mathsf m_3, \dots, \mathsf m_n) = -\mathrm f(\mathsf m, \mathsf m, \mathsf m_3, \dots, \mathsf m_n), zatem \scriptstyle 2\mathrm f(\mathsf m, \mathsf m, \mathsf m_3, \dots, \mathsf m_n) = \mathsf 0, a skoro \scriptstyle 2 \in R^*, to \scriptstyle \mathrm f(\mathsf m, \mathsf m, \mathsf m_3, \dots, \mathsf m_n) = \mathsf 0.

  8. W istocie moduły będące czynnikami iloczynu kartezjańskiego mogą być parami różne. Jeśli \scriptstyle \mathrm f, \mathrm g \scriptstyle M_1 \times \dots \times M_n \to N są przekształceniami wieloliniowymi między iloczynem kartezjańskim modułów a ustalonym modułem nad wspólnym pierścieniem \scriptstyle R, to określone punktowo odwzorowania \scriptstyle \mathrm f + \mathrm g oraz \scriptstyle r\mathrm f dla \scriptstyle r \in R również są przekształceniami wieloliniowymi.
  9. Wynika to wprost z definicji wspomnianych rodzajów przekształceń oraz funkcji dodawania i mnożenia przez skalar określonych punktowo.
  10. Podobnie do niego definiowany permanent jest symetryczny.