Przekształcenie wieloliniowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przekształcenie wieloliniowefunkcja określona na iloczynie kartezjańskim[1] przestrzeni liniowych w tę samą przestrzeń liniową, która jest liniowa ze względu na każdy argument z osobna.

Formami wieloliniowymi nazywa się analogiczne funkcje, jeżeli docelową przestrzeń liniową zastąpi się ciałem, nad którymi zbudowane są przestrzenie liniowe dziedziny.

Jeśli liczba czynników w dziedzinie wynosi to mówi się wtedy o przekształceniach i formach -liniowych. Struktura tych przekształceń jest dobrze znana z uwagi na ich izomorficzność z przekształceniami liniowymi uzyskaną za pomocą konstrukcji iloczynu tensorowego (zob. Uogólnienia).

W osobnych artykułach opisano:

Pojęcie to uogólnia się bezpośrednio na moduły (nad ustalonym pierścieniem przemiennym) i to właśnie w ich kontekście zostanie ono opisane w tym artykule.

Funkcja symetryczna, antysymetryczna, alternująca[edytuj | edytuj kod]

Niech dane będą:

(1) przekształcenie (niekoniecznie wieloliniowe), gdzie są dowolnymi modułami nad pierścieniem przemiennym gdzie

(2) permutacja należąca do grupy symetrycznej

Definicja:

Zamiana argumentów funkcji miejscami zgodnie z porządkiem wyznaczonym przez permutację daje inną funkcję daną wzorem [2], przy czym funkcję nazywa się odpowiednio:

  • symetryczną, gdy nie zmienia znaku przy dowolnej permutacji,
    dla dowolnej
  • antysymetryczną, gdy zachowuje znak przy permutacji parzystej i zmienia go na przeciwny przy nieparzystej,
    dla dowolnej
  • alternującą, gdy znika przy równych choć dwóch argumentach,
    dla oraz

W powyższych definicjach zmienne indeksowane są kolejno liczbami jednakże własności te nie zależą od użytego porządku liczb naturalnych[3].

Tw. Jeżeli to przekształcenie wieloliniowe które jest alternujące, jest również antysymetryczne[4].

Tw. Dla dowolna funkcja jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy

oraz alternująca wtedy i tylko wtedy, gdy

dla [5].

Uwaga: Istnieją przekształcenia wieloliniowe, które są antysymetryczne, ale nie alternujące (zob. Przykłady).

Tw. Jeśli jest jednością pierścienia, to zachodzi odwrócenie poprzedniego twierdzenia[6] – oznacza to, że w przypadku pierścieni takich jak ciało liczb rzeczywistych czy zespolonych terminy „antysymetryczność” i „alternacyjność” można stosować wymiennie.

Tw. Zbiór wszystkich funkcji tworzy moduł nad pierścieniem a przekształcenia wieloliniowe tworzą podmoduł wspomnianego modułu[7].

Tw. Zbiór przekształceń wieloliniowych ustalonego rodzaju (tzn. symetrycznych, antysymetrycznych czy alternujących) jest podmodułem tego podmodułu[8] (zob. przestrzeń funkcyjna).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

(1) Funkcja dana wzorem

jest symetryczna.

(2) Funkcja przekształcająca

(por. wyznacznik[9])

jest antysymetryczna i alternująca

(3) Podobnie iloczyn wektorowy czy jego zespolony odpowiednik odwzorowujący

Jeżeli zawiera czyli w to mnożenie jest symetryczne, antysymetryczne, lecz nie jest alternujące.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

(1) Jeśli przekształcenie jest wieloliniowe, a jest liniowe, to ich złożenie jest wieloliniowe.

(2) Jeżeli było symetryczne, antysymetryczne lub alternujące, a jest liniowe, to ma tę samą własność.

W ten sposób można tworzyć nowe przekształcenia wieloliniowe (dodatkowo symetryczne, antysymetryczne czy alternujące), składając istniejące z przekształceniami liniowymi.

Przykład: -te przekształcenie tensorowe odwzorowujące w jest przekształceniem wieloliniowym na a każde inne pochodzi od niego (zob. iloczyn tensorowy modułów).

(3) Powyższa konstrukcja może być wykonana dla dowolnych -modułów – istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między przekształceniami wieloliniowymi oraz przekształceniami liniowymi dana wzorem

(4) Ograniczenie się do tych samych modułów w dziedzinie umożliwia rozpatrywanie alternujących przekształceń wieloliniowych (permutowanie argumentów ma sens tylko wtedy, gdy pochodzą one z tego samego modułu), dlatego konstrukcja algebry zewnętrznej możliwa jest tylko na potędze kartezjańskiej.

(5) Df. Przekształcenie nazywa się ograniczonym, gdy istnieje liczba rzeczywista taka że dla każdego wektora zachodzi

(6) Tw. Jeśli przestrzeniami unormowanymi nad ustalonym ciałem, a przekształcenie wieloliniowe jest ograniczone, to jest ono też ciągłość (zob. ograniczone przekształcenie liniowe).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Właściwie: iloczynie prostym bądź sumie prostej – w przypadku skończenie wielu czynników/składników konstrukcje te są równoważne (tzn. izomorficzne).
  2. Nową funkcję można postrzegać jako efekt działania na co można zapisać zob. działanie grupy na zbiorze. Wówczas jest równe nie zaś co oznacza, że działanie grupy na zbiorze funkcji jest prawostronne, a nie lewostronne.
  3. Twierdzenie: Jeśli jest
    • symetryczna, to
    • antysymetryczna, to
    • alternująca, to
    dla dowolnego uporządkowania liczb
    Dowód: Uporządkowanie liczb naturalnych stanowi permutację zbioru z nich złożonego oznaczaną dalej tj. Jeżeli jest antysymetryczna, to stąd dla dowolnej zachodzi
    Podobnie dowodzi się niezależności dla symetryczności i alternacyjności.
  4. Przypadek opisano w artykule o formach dwuliniowych (zob. dowód). Zupełnie jak wyżej, dla dowolnych permutacji zachodzi zatem definicję antysymetryczności wystarczy sprawdzić dla generujących np. transpozycji postaci innymi słowy należy pokazać, że dla dowolne wieloliniowe przekształcenie alternujące spełnia Wystarczy w tym wypadku rozpatrzeć przekształcenie dwuliniowe która jest alternujące: z przypadku jest ona antysymetryczne, co dowodzi tezy.
  5. W poprzednim dowodzie dla antysymetryczności nie wykorzystywano (wielo)liniowości, zatem jest on poprawny dla wszystkich funkcji. Jeśli znika dla dowolnego układu argumentów, z których dwa sąsiadujące są sobie równe, to jest antysymetryczna, co właśnie udowodniono; stąd wartość dla układu argumentów, z których dwa są sobie równe, jest co do znaku równa wartości dla układu argumentów, z których dwa sąsiadujące są sobie równe – z założenia wartość ta wynosi
  6. Twierdzenie: Niech jeżeli to przekształcenie wieloliniowe które jest antysymetryczne, jest również alternujące.
    Dowód: Dla ustalenia uwagi zamiast dowolnych, różnych zostaną rozważone Z antysymetrii stąd zatem a skoro to
  7. W istocie moduły będące czynnikami iloczynu kartezjańskiego mogą być parami różne. Jeśli są przekształceniami wieloliniowymi między iloczynem kartezjańskim modułów a ustalonym modułem nad wspólnym pierścieniem to określone punktowo odwzorowania oraz dla również są przekształceniami wieloliniowymi.
  8. Wynika to wprost z definicji wspomnianych rodzajów przekształceń oraz funkcji dodawania i mnożenia przez skalar określonych punktowo.
  9. Podobnie do niego definiowany permanent jest symetryczny.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]