Czworościan

Przykład czworościanu

Inny przykład czworościanu

Czworościan – wielościan o czterech trójkątnych ścianach, równoważnie definiowany jako ostrosłup trójkątny. Każda czworościan ma 6 krawędzi i 4 wierzchołki.

Szczególne przypadki czworościanów:

• ostrosłup trójkątny prawidłowy: co najmniej jedna ze ścian jest trójkątem równobocznym, a pozostałe są równoramienne,
• czworościan foremny: szczególny przypadek powyższego, w którym wszystkie ściany są równoboczne.

Uogólnieniem czworościanu na przestrzenie wielowymiarowe jest sympleks, przy czym czworościan jest jego przypadkiem trójwymiarowym (a np. trójkąt to przypadek dwuwymiarowy).

Objętość, gdy dane są długości krawędzi

Wzór na objętość zadany za pomocą długości krawędzi

Jeżeli mamy dane długościach krawędzi czworościanu, takie że: $a,b,c$ – krawędzie wychodzące z jednego punktu (np. z początku układu współrzędnych) oraz $x,y,z$ – krawędzie, które nie mają punktów wspólnych odpowiednio z krawędzią $a,b$ lub $c$, to jego objętość można wyznaczyć ze wzoru:

$V={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}X^{2}-b^{2}Y^{2}-c^{2}Z^{2}+XYZ}}{12}}$

gdzie:

${\begin{aligned}X&=b^{2}+c^{2}-x^{2},\\Y&=a^{2}+c^{2}-y^{2},\\Z&=a^{2}+b^{2}-z^{2}.\end{aligned}}$

Wzór na objętość zadany za pomocą wyznacznika

Jeśli czworościan – niekoniecznie foremny – ma wierzchołki $A_{1},\ A_{2},\ A_{3},\ A_{4},$ to jego objętość jest dana wzorem:

$V={\sqrt {\frac {\Delta }{288}}},$

gdzie $\Delta$ to wyznacznik dany wzorem

$\Delta ={\begin{vmatrix}0&a_{12}^{2}&a_{13}^{2}&a_{14}^{2}&1\\a_{12}^{2}&0&a_{23}^{2}&a_{24}^{2}&1\\a_{13}^{2}&a_{23}^{2}&0&a_{34}^{2}&1\\a_{14}^{2}&a_{24}^{2}&a_{34}^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{vmatrix}},$

przy czym $a_{ij}$ oznacza długość krawędzi łączącej wierzchołek $A_{i}$ z wierzchołkiem $A_{j},$ $i,j=1,2,3,4.$

Powyższy wyznacznik można uprościć, przyjmując oznaczenia identyczne jak wyżej, tj. $a_{12}=a,a_{13}=b,a_{14}=c$ oraz $a_{23}=x,a_{24}=y,a_{34}=z.$

Obliczenia numeryczne objętości

Obliczenia z wzoru bez wyznacznika

Poniżej podano prosty kod w Python do obliczania objętości czworościanu o zadanych długościach krawędzi $a,b,c$ oraz $x,y,z$ – jak opisano to wyżej.

Uwaga: Jeżeli w wyniku otrzyma się liczbę zespolona, to oznacza, że czworościan nie istniał (niewłaściwie dobrano długości krawędzi czworościanu i dlatego w linii kodu nr 14 liczony był pierwiastek z liczby ujemnej, co Python zwraca jako liczbę zespoloną).

# Dane
a = 1
b = 1
c = 1
x = 2**0.5
y = 2**0.5
z = 2**0.5

# Obliczenia
X = b*b + c*c - x*x
Y = a*a + c*c - y*y
Z = a*a + b*b - z*z

V = (4*a*a*b*b*c*c - a*a*X*X - b*b*Y*Y - c*c*Z*Z-X*Y*Z)**0.5 / 12

print("V=", V)

Przykłady obliczeń

(1) Jeżeli w programie zadamy $a=b=c=1$, $x=y=z={\sqrt {2}}$ , to otrzymamy $V={\frac {1}{6}}$.

Poprawność obliczeń można w tym wypadku łatwo zweryfikować, gdyż czworościan ten jest ostrosłupem o podstawie $S={\frac {1}{2}}$ (trójkąt prostokątny o bokach $1,1$) i wysokości $h=1$; objętość czworościanu wyliczymy z ogólnego wzoru na objętość ostrosłupa o danej wysokości, tj.

$V={\frac {1}{3}}S\cdot h={\frac {1}{6}}.$

Oba wzory dają więc identyczne wyniki.

(2) Jeżeli w programie zadamy $a=b=c=1$ oraz $x=y=z=1$ (czworościan foremny), to otrzymamy

$V\approx 0.11785113019775792$

co jest zgodne z dokładna wartością obliczoną ze wzoru $V={\frac {1}{3}}S\cdot h$, gdzie

$V={\frac {1}{6{\sqrt {2}}}}\approx 0.11785113019775792$.

Obliczenia za pomocą wyznacznika

Poniżej podano kod w Python do obliczania objętości czworościanu o zadanych długościach krawędzi $a,b,c$ oraz $x,y,z$ – jak opisano to wyżej, przy czym użyto tu instrukcji np.linalg.det(M) , która wykorzystuje funkcję z biblioteki NumPy obliczającej wyznacznik macierzy (liang = linear algebra, det = determinant). Dodano też sprawdzanie, czy wyznacznik nie jest mniejszy niż zero, co oznacza, że czworościan o podanych krawędziach nie istnieje.

import numpy as np

def tetrahedron_volume(a, b, c, x, y, z):
    M = np.array([
        [   0,  a**2,  b**2,  c**2,  1],
        [a**2,     0,  x**2,  y**2,  1],
        [b**2,  x**2,     0,  z**2,  1],
        [c**2,  y**2,  z**2,     0,  1],
        [   1,     1,     1,     1,  0]
    ], dtype=float)

    delta = np.linalg.det(M) # obliczanie wyznacznika

    # Korekta drobnych błędów numerycznych
    if delta < 0 and abs(delta) < 1e-10:
        delta = 0

    if delta < 0:
        raise ValueError("Podane długości nie tworzą czworościanu.")

    return np.sqrt(delta / 288.0)

# Przykład: czworościan foremny o krawędzi 1
#   tetrahedron_volume(a, b, c, x, y, z)
V = tetrahedron_volume(1, 1, 1, 1, 1, 1)
print(1/V)

Promień sfery opisanej, gdy dane są długości krawędzi

Promień sfery opisanej dany jest wzorem

$R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\Gamma }{\Delta }}},$

gdzie:

$\Delta$ zmienna pomocnicza podana wyżej,

$\Gamma ={\begin{vmatrix}0&a_{12}^{2}&a_{13}^{2}&a_{14}^{2}\\a_{12}^{2}&0&a_{23}^{2}&a_{24}^{2}\\a_{13}^{2}&a_{23}^{2}&0&a_{34}^{2}\\a_{14}^{2}&a_{24}^{2}&a_{34}^{2}&0\end{vmatrix}},$

$a_{ij}$ to długość krawędzi łączącej wierzchołek $A_{i}$ z wierzchołkiem $A_{j}.$

Promień sfery wpisanej, gdy dane są długości krawędzi

Promień sfery wpisanej dany jest wzorem

$r={\frac {3V}{S_{A_{1}}+S_{A_{2}}+S_{A_{3}}+S_{A_{4}}}},$

gdzie $S_{A_{i}}$ to pole ściany niezawierającej wierzchołka $A_{i},i=1,2,3,4.$

Ponieważ ściany są trójkątami, to ich pola można wyznaczyć ze wzoru Herona na podstawie długości boków tworzących daną ścianę. Np.

$S_{A_{4}}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

gdzie $p$ to połowa obwodu ściany o bokach $a=a_{11},\ b=a_{12},\ c=a_{13}$, tj. $p={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).$

Inne własności

Przykładowe przekroje czworościanu z płaszczyznami – zacieniowane trójkąty

Kąt trójścienny oraz długości wychodzących z niego krawędzi wyznaczają jednoznacznie czworościan. Jeśli $A_{1}$ i $A_{2},$ $B_{1}$ i $B_{2}$ oraz $C_{1}$ i $C_{2}$ są punktami leżącymi parami na prostych zawierających ramiona kąta trójściennego o wierzchołku S, to objętości czworościanów $SA_{1}B_{1}C_{1}$ i $SA_{2}B_{2}C_{2}$ spełniają zależność:

${\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\frac {SA_{1}}{SA_{2}}}{\frac {SB_{1}}{SB_{2}}}{\frac {SC_{1}}{SC_{2}}}.$

Dowód tego faktu można przeprowadzić bez zmniejszenia ogólności zakładając, że jedna z par punktów leży na tej samej półprostej (ewentualna symetria środkowa względem S jednego z czworościanów), a nawet że jeden punkt jest wspólny (jednokładność jednego z czworościanów zmienia objętość jak sześcian skali). Wówczas czworościany mają wspólną wysokość i stosunek pól podstaw wynikający ze wzoru: $S=ab\sin \alpha .$

Zobacz też

• czworościan foremny
• czworościan ścięty
• czworościan potrójny

Bibliografia

• I.N.I.N. Bronsztejn I.N.I.N., K.A.K.A. Siemiendiajew K.A.K.A., Poradnik encyklopedyczny Matematyka, Warszawa: PWN, 2019 .

• W.M.W.M. Kahan W.M.W.M., What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages? [online], 2012, s. 16–17 .

Linki zewnętrzne

• MichałM. Kieza MichałM., Kącik przestrzenny (6): Czworościany ortocentryczne, „Delta”, styczeń 2011, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-02] .
• MichałM. Kieza MichałM., Kącik przestrzenny (12): Czworościany równościenne – część 1, „Delta”, kwiecień 2012, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-02] .
• MichałM. Kieza MichałM., Kącik przestrzenny (13): Czworościany równościenne – część 2, „Delta”, październik 2012, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-02] .
• JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., Heron uogólniony?, „Delta”, marzec 2014, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-10-30] .
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Tetrahedron, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).