Czworościan

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Czworościan foremny
Siatka czworościanu foremnego
Dwie możliwe siatki czworościanu foremnego

Czworościanostrosłup trójkątny, czyli wielościan o czterech trójkątnych ścianach[1]. Każdy czworościan posiada 6 krawędzi i 4 wierzchołki[a]. Czworościan jest trójwymiarowym sympleksem.

Jeśli wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi, czworościan nazywany jest czworościanem foremnym. Trzeba odróżniać czworościan foremny od ostrosłupa trójkątnego foremnego (czyli prawidłowego): dla tego drugiego tylko jedna ściana koniecznie musi być trójkątem równobocznym, pozostałe zaś są trójkątami równoramiennymi (zob. Ostrosłup prawidłowy). Czworościan foremny jest szczególnym przypadkiem ostrosłupa trójkątnego foremnego.

Wzory[edytuj | edytuj kod]

Animacja obrotu czworościanu foremnego w przestrzeni 3D
Animacja obrotu czworościanu foremnego

Objętość czworościanu (niekoniecznie foremnego) o wierzchołkach dana jest wzorem:

gdzie zmienna pomocnicza to wyznacznik

to długość krawędzi łączącej wierzchołek z wierzchołkiem

Promień kuli opisanej na czworościanie:

gdzie zmienna pomocnicza to

Promień kuli wpisanej można wyznaczyć za pomocą wzoru:

gdzie to pole ściany niezawierającej wierzchołka

Kąt trójścienny oraz długości wychodzących z niego krawędzi wyznaczają jednoznacznie czworościan. Jeśli i i oraz i są punktami leżącymi parami na prostych zawierających ramiona kąta trójściennego o wierzchołku S, to objętości czworościanów i spełniają zależność[2]:

Dowód tego faktu można przeprowadzić bez zmniejszenia ogólności zakładając, że jedna z par punktów leży na tej samej półprostej (ewentualna symetria środkowa względem S jednego z czworościanów), a nawet że jeden punkt jest wspólny (jednokładność jednego z czworościanów zmienia objętość jak sześcian skali). Wówczas czworościany mają wspólną wysokość i stosunek pól podstaw wynikający ze wzoru:

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Jest to zgodne z twierdzeniem Eulera o wielościanach: χ = WK + S = 4 – 6 + 4 = 2.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. czworościan, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-02].
  2. Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2003, s. 250–251. ISBN 83-86007-63-X.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  • Eric W. Weisstein, Tetrahedron, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).