Czworościan

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Czworościan
Siatka czworościanu

Czworościanostrosłup trójkątny, czyli wielościan o czterech trójkątnych ścianach. Każdy czworościan posiada 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Czworościan jest trójwymiarowym sympleksem.

Jeśli wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi, czworościan nazywany jest czworościanem foremnym. Trzeba odróżniać czworościan foremny od ostrosłupa trójkątnego foremnego (czyli prawidłowego): dla tego drugiego tylko jedna ściana koniecznie musi być trójkątem równobocznym, pozostałe zaś są trójkątami równoramiennymi (zob. Ostrosłup prawidłowy). Czworościan foremny jest szczególnym przypadkiem ostrosłupa trójkątnego foremnego.

Animacja obrotu czworościanu w przestrzeni 3D

Objętość czworościanu (niekoniecznie foremnego) o wierzchołkach dana jest wzorem:

gdzie zmienna pomocnicza to wyznacznik

to długość krawędzi łączącej wierzchołek z wierzchołkiem

Promień kuli opisanej na czworościanie:

gdzie zmienna pomocnicza to

Promień kuli wpisanej można wyznaczyć za pomocą wzoru:

gdzie to pole ściany nie zawierającej wierzchołka .

Kąt trójścienny oraz długości wychodzących z niego krawędzi wyznaczają jednoznacznie czworościan. Jeśli i , i oraz i są punktami leżącymi parami na prostych zawierających ramiona kąta trójściennego o wierzchołku S, to objętości czworościanów i spełniają zależność:

[1]

Dowód tego faktu można przeprowadzić bez zmniejszenia ogólności zakładając, że jedna z par punktów leży na tej samej półprostej (ewentualna symetria środkowa względem S jednego z czworościanów), a nawet że jeden punkt jest wspólny (jednokładność jednego z czworościanów zmienia objętość jak sześcian skali). Wówczas czworościany mają wspólną wysokość i stosunek pól podstaw wynikający ze wzoru: .

Przypisy

  1. Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Toruń: Oficyna Wydawnicza "Tutor", 2003. ISBN 83-86007-63-X.


Linki zewnętrzne[edytuj]