Ideał główny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Ideał główny - ideał (lewo-, prawo- bądź dwustronny) generowany przez podzbiór jednoelementowy pierścienia. Jeżeli a jest elementem pierścienia R z jedynką, to:

  • prawostronny ideał główny aR jest równy
\{a \cdot b  \colon b \in R\},
  • lewostronny ideał główny Ra jest równy
\{b \cdot a  \colon b \in R\},
  • dwustronny ideał główny RaR jest równy
\{b_1 \cdot a \cdot b'_1 + \dots + b_n \cdot a \cdot b'_n \colon b_i, b'_i \in R\}.

Jeśli R jest pierścieniem przemiennym to powyższe zbiory są równe. W takim przypadku ideał generowany przez element a pierścienia R oznacza się (a). Mówi się, że R jest pierścieniem ideałów głównych wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ideały w R są główne.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeżeli a i b są niezerowymi elementami pierścienia R, to (a)=(b) wtedy i tylko wtedy, gdy a\sim b, przy czym   \sim  oznacza relację stowarzyszenia tj.  a\sim b  \Leftrightarrow a dzieli b oraz b dzieli a.
  • Jeżeli K jest ciałem, to każdy ideał pierścienia wielomianów K[x] jest główny.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

(n)=\{n \cdot a \colon a \in \mathbb{Z}\}.
  • Niech dany będzie pierścień macierzy typu 2×2 o elementach z pierścienia liczb całkowitych. Elementem tego pierścienia jest na przykład macierz \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]. Ideał główny lewostronny generowany przez tę macierz składa się z macierzy postaci \left[\begin{smallmatrix} 0 & a \\ 0 & b  \end{smallmatrix}\right], gdzie a i b są dowolnymi liczbami całkowitymi, natomiast ideał główny prawostronny generowany przez tę macierz składa się z macierzy postaci \left[\begin{smallmatrix}c & d \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right], gdzie c i d są dowolnymi liczbami całkowitymi. Wynika stąd, że prawostronne i lewostronne ideały główne generowane przez ten sam element nie muszą być równe.
  • Jeśli pierścień jest dziedziną Euklidesa, to jest pierścieniem ideałów głównych.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jerzy Browkin, Teoria ciał, PWN, Warszawa 1977.