Ideał główny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Ideał głównyideał (lewo-, prawo- bądź dwustronny) generowany przez podzbiór jednoelementowy pierścienia. Jeżeli jest elementem pierścienia z jedynką, to:

  • prawostronny ideał główny jest równy
  • lewostronny ideał główny jest równy
  • dwustronny ideał główny jest równy

Jeśli jest pierścieniem przemiennym to powyższe zbiory są równe. W takim przypadku ideał generowany przez element pierścienia oznacza się Mówi się, że jest pierścieniem ideałów głównych wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ideały w są główne. Dodatkowo, gdy jest przemienny, nazywa się go dziedziną ideałów głównych.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeżeli i są niezerowymi elementami pierścienia to wtedy i tylko wtedy, gdy przy czym oznacza relację stowarzyszenia tj. dzieli oraz dzieli
  • Jeżeli jest ciałem, to każdy ideał pierścienia wielomianów jest główny.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Każdy ideał w pierścieniu liczb całkowitych jest ideałem głównym i jest postaci
  • Niech dany będzie pierścień macierzy typu 2×2 o elementach z pierścienia liczb całkowitych. Elementem tego pierścienia jest na przykład macierz Ideał główny lewostronny generowany przez tę macierz składa się z macierzy postaci gdzie i są dowolnymi liczbami całkowitymi, natomiast ideał główny prawostronny generowany przez tę macierz składa się z macierzy postaci gdzie i są dowolnymi liczbami całkowitymi. Wynika stąd, że prawostronne i lewostronne ideały główne generowane przez ten sam element nie muszą być równe.
  • Jeśli pierścień jest dziedziną Euklidesa, to jest pierścieniem ideałów głównych.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]