Ideał główny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ideał główny - ideał (lewo-, prawo- bądź dwustronny) generowany przez podzbiór jednoelementowy pierścienia. Jeżeli a jest elementem pierścienia R z jedynką, to:

  • prawostronny ideał główny aR jest równy
,
  • lewostronny ideał główny Ra jest równy
,
  • dwustronny ideał główny RaR jest równy
.

Jeśli R jest pierścieniem przemiennym to powyższe zbiory są równe. W takim przypadku ideał generowany przez element a pierścienia R oznacza się (a). Mówi się, że R jest pierścieniem ideałów głównych wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ideały w R są główne. Dodatkowo, gdy R jest przemienny, nazywa się go dziedziną ideałów głównych.

Własności[edytuj]

  • Jeżeli a i b są niezerowymi elementami pierścienia R, to (a)=(b) wtedy i tylko wtedy, gdy , przy czym oznacza relację stowarzyszenia tj. a dzieli b oraz b dzieli a.
  • Jeżeli K jest ciałem, to każdy ideał pierścienia wielomianów K[x] jest główny.

Przykłady[edytuj]

  • Każdy ideał w pierścieniu liczb całkowitych jest ideałem głównym i jest postaci
.
  • Niech dany będzie pierścień macierzy typu 2×2 o elementach z pierścienia liczb całkowitych. Elementem tego pierścienia jest na przykład macierz . Ideał główny lewostronny generowany przez tę macierz składa się z macierzy postaci , gdzie a i b są dowolnymi liczbami całkowitymi, natomiast ideał główny prawostronny generowany przez tę macierz składa się z macierzy postaci , gdzie c i d są dowolnymi liczbami całkowitymi. Wynika stąd, że prawostronne i lewostronne ideały główne generowane przez ten sam element nie muszą być równe.
  • Jeśli pierścień jest dziedziną Euklidesa, to jest pierścieniem ideałów głównych.

Bibliografia[edytuj]