Pierścień liczb całkowitych

Pierścień liczb całkowitych

Pierścień liczb całkowitych – zbiór liczb całkowitych tworzących strukturę algebraiczną $\mathbb {Z}$ z operacjami dodawania, brania liczby przeciwnej i mnożenia. Stanowią one pierścień przemienny, którego są prawzorem poprzez fakt spełniania tylko tych równań, które zachodzą dla wszystkich pierścieni przemiennych z jedynką; istotnie, jest to początkowy pierścień przemienny, a nawet pierścień początkowy.

Algebraiczna teoria liczb

Ogólniej, pierścieniem liczb całkowitych ciała liczbowego $K,$ oznaczanego często symbolami $\operatorname {O} _{K}$ lub ${\mathcal {O}}_{K},$ nazywa się pierścień liczb algebraicznych całkowitych zawartych w $K.$

Korzystając z tej notacji można napisać, iż $\mathbb {Z} =O_{\mathbb {Q} },$ ponieważ $\mathbb {Z} ,$ jak podano wyżej, jest pierścieniem liczb całkowitych ciała $\mathbb {Q}$ liczb wymiernych. Z tego względu w algebraicznej teorii liczb elementy $\mathbb {Z}$ nazywa się często „wymiernymi liczbami całkowitymi”.

Pierścień liczb całkowitych $\operatorname {O} _{K}$ jest $\mathbb {Z}$-modułem; nie do końca oczywistym jest fakt, iż jest to moduł wolny, a więc ma bazę całkowitoliczbową; oznacza to, że istnieje ciąg $b_{1},\dots ,b_{n}\in \operatorname {O} _{K}$ (baza całkowita liczbowa) taki, że każdy element $x$ należący do $\operatorname {O} _{K}$ może być jednoznacznie przedstawiony jako

$x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},$

gdzie $a_{i}\in \mathbb {Z} .$ Ranga $n$ pierścienia $\operatorname {O} _{K}$ jako wolnego $\mathbb {Z}$-modułu jest równa stopniowi $K$ nad $\mathbb {Q} .$ Pierścienie liczb całkowitych w ciałach liczbowych są pierścieniami Dedekinda.

Przykłady

Jeśli $\zeta$ jest $p$-tym pierwiastkiem z jedynki zaś $K=\mathbb {Q} (\zeta )$ odpowiadającym mu ciałem cyklotomicznym, to baza całkowitoliczbowa $\operatorname {O} _{K}=\mathbb {Z} [\zeta ]$ dana jest jako $\left(1,\zeta ,\zeta ^{2},\dots ,\zeta ^{p-2}\right).$

Jeżeli $d$ jest bezkwadratową liczbą całkowitą, zaś $K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {d}}\right)$ jest odpowiadającym ciałem kwadratowym, to baza całkowitoliczbowa $\operatorname {O} _{K}$ dana jest jako $\left(1,{\tfrac {1+{\sqrt {d}}}{2}}\right),$ o ile $d\equiv 1\;{\bmod {\;}}4$ oraz $\left(1,{\sqrt {d}}\right),$ jeśli $d\equiv 2,\,3\;{\bmod {\;}}4$ (zob. arytmetyka modularna).

Pierścień p-adycznych liczb całkowitych $\mathbb {Z} _{p}$ to pierścień liczb całkowitych liczb p-adycznych $\mathbb {Q} _{p}.$

Zobacz też

• liczby całkowite kwadratowe.

Bibliografia

• Jürgen Neukirch: Algebraic Number Theory. T. 322. Berlin: Springer-Verlag, 1999, seria: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. MR1697859. ISBN 978-3-540-65399-8.brak strony w książce