Pierścień liczb całkowitych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pierścień liczb całkowitychzbiór liczb całkowitych tworzących strukturę algebraiczną z operacjami dodawania, brania liczby przeciwnej i mnożenia. Stanowią one pierścień przemienny, którego są prawzorem poprzez fakt spełniania tylko tych równań, które zachodzą dla wszystkich pierścieni przemiennych z jedynką; istotnie, jest to początkowy pierścień przemienny, a nawet pierścień początkowy.

Algebraiczna teoria liczb[edytuj]

Ogólniej, pierścieniem liczb całkowitych ciała liczbowego oznaczanego często symbolami lub nazywa się pierścień liczb algebraicznych całkowitych zawartych w

Korzystając z tej notacji można napisać, iż ponieważ jak podano wyżej, jest pierścieniem liczb całkowitych ciała liczb wymiernych. Z tego względu w algebraicznej teorii liczb elementy nazywa się często „wymiernymi liczbami całkowitymi”.

Alternatywny termin to rząd maksymalny, gdyż pierścień liczb całkowitych ciała liczbowego jest w istocie jednoznacznie wyznaczonym rzędem w ciele.[potrzebny przypis]

Pierścień liczb całkowitych jest -modułem; nie do końca oczywistym jest fakt, iż jest to moduł wolny, a więc ma bazę całkowitoliczbową; oznacza to, że istnieje ciąg (baza całkowita liczbowa) taki, że każdy element należący do może być jednoznacznie przedstawiony jako

gdzie Ranga pierścienia jako wolnego -modułu jest równa stopniowi nad Pierścienie liczb całkowitych w ciałach liczbowych są pierścieniami Dedekinda.

Przykłady[edytuj]

Jeśli jest -tym pierwiastkiem z jedynki zaś odpowiadającym mu ciałem cyklotomicznym, to baza całkowitoliczbowa dana jest jako

Jeżeli jest bezkwadratową liczbą całkowitą, zaś jest odpowiadającym ciałem kwadratowym, to baza całkowitoliczbowa dana jest jako o ile oraz jeśli (zob. arytmetyka modularna).

Pierścień p-adycznych liczb całkowitych to pierścień liczb całkowitych liczb p-adycznych

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]