Iloczynem tensorowym operatorów ograniczonych
określonych na przestrzeniach Hilberta
nazywa się operator
taki że[1]:
- dziedziną operatora
jest iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta, tj.
![{\displaystyle D(T)={\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}\cdots \otimes {\mathcal {H}}_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8636a2ef77eac050ed0857d16b9e9b697bf29d)
- (ogólniej: jeżeli dziedzinami operatorów
są podprzestrzenie odpowiednich przestrzeni Hilberta
tj.
to dziedziną operatora
jest iloczyn tensorowy tych podprzestrzeni)
- wynik działania operatora
na wektor
– iloczyn tensorowy wektorów
należący do dziedziny
operatora
jest równy iloczynowi tensorowemu wektorów
tj.
![{\displaystyle T(u)=T_{1}(u_{1})\otimes T_{2}(u_{2})\cdots \otimes T_{n}(u_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca9737a87f93caf6de5b53f63b1ff2d65e04a70)
- czyli
![{\displaystyle T_{1}\otimes ...\otimes T_{n}(u_{1}\otimes \cdots \otimes u_{n})=T_{1}(u_{1})\otimes T_{2}(u_{2})\cdots \otimes T_{n}(u_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f61086bd05c4e6b33f050362e6efa2a2fe99192c)
Iloczyn tensorowy operatorów samosprzężonych[edytuj | edytuj kod]
Twierdzenie:
Jeżeli
(1)
są skończenie wymiarowymi przestrzeniami Hilberta o wymiarach
(2)
są operatorami samosprzężonymi określonymi na przestrzeniach
oraz
jest zbiorem wartości własnych operatora ![{\displaystyle T_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46baae33fc48186f453a59edc3964340ad8765ce)
jest bazą ortonormalną złożoną z wektorów własnych odpowiadających wartościom własnym operatora ![{\displaystyle T_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8dd1c50cb9436474f83624c3f679ccf3eebbfef)
(3) Operator
gdzie
– iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta
zadany jest wzorem
![{\displaystyle T\bigotimes _{i=1}^{n}e_{ij_{i}}=\bigotimes _{i=1}^{j}T_{i}e_{ij_{i}},\,j_{i}\in \{1,\ldots ,m_{i}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c43f20b747d1fc00413da8aba22d362057dc8797)
(przy czym określenie operatora wyłącznie na wektorach bazy jest wystarczające, zgodnie z twierdzeniem o operatorze liniowym zadanym na bazie)
to słuszne są następujące własności:
(1) operator
jest również operatorem samosprzężonym
(2) Wartościami własnymi operatora
są liczby
![{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\lambda _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29e6cf526028998597171639984de51307f4acc)
(3) dla wszystkich
słuszne są równości
![{\displaystyle T\bigotimes _{i=1}^{n}u_{i}=\bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}u_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af9f107a71452e5fe24f0512417f2661b5bef34)
(4) norma operatora
jest iloczynem norm poszczególnych operatorów
gdyż:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|&=\max\{|\prod _{i=1}^{n}\lambda _{ij_{i}}|:1\leq j_{i}\leq m_{i}\}\\&=\prod _{i=1}^{n}\max\{|\lambda _{ij}|\colon 1\leq j\leq m_{i}\}\\&=\prod _{i=1}^{n}\|T_{i}\|\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fea089349ce50a45a1687d4f157d37838063db9)
Iloczyn tensorowy operatorów ograniczonych[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli
są przestrzeniami Hilberta
są operatorami ograniczonymi na
gdzie ![{\displaystyle i=1,...,n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4115b9bca3db985e71b1dce33537651efaee69e9)
to istnieje dokładnie jeden taki operator ograniczony
na
![{\displaystyle {\mathcal {H}}=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {H}}_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74affd2d1f3fb368998d53448377b2453fdb05a)
że
![{\displaystyle T\bigotimes _{i=1}^{n}u_{i}=\bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}u_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af9f107a71452e5fe24f0512417f2661b5bef34)
dla wszystkich
Ponadto
![{\displaystyle \|T\|=\prod _{i=1}^{n}\|T_{i}\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049482e5cc6bd5dcb991870f85619cc190ced9dc)
Operator
nazywany jest iloczynem tensorowym operatorów
i oznaczany symbolem
![{\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736e49913f12289f8ccc864e58c15ca5ab2d2428)
Definicja n-tej potęgi tensorowej operatora[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli
oraz
to używa się zapisu
![{\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}\equiv S^{\otimes n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5934411c4b59185418d7f7914b904519a1a642eb)
Operator
nazywany jest n-tą potęgą tensorową operatora
[2]
Dla przestrzeniami Hilberta
oraz liniowych operatorów ograniczonych
określonych na przestrzeniach Hilberta
gdzie
niech
![{\displaystyle S:=\bigotimes _{i=1}^{n}S_{i},\;T:=\bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6d78f060937b1051b3ad5d260475415ad471ad)
Wówczas:
- Odwzorowanie
jest n-liniowe.
![{\displaystyle ST=\bigotimes _{i=1}^{n}S_{i}T_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a6f1eca2794ef085cb6f3b985ec7fc3e4fea250)
![{\displaystyle T^{*}=\bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}^{*},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765d74ad42d400ea3670ebb0f2a8b795a3b9fdfb)
- Jeżeli dla każdego
operator odwrotny do
istnieje i jest ograniczony to operator odwrotny do operatora
jest również ograniczony.
Ponadto
![{\displaystyle T^{-1}=\bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f798b25c575c22bf26de47476e1a81d1e710ff)
- Jeśli
jest samosprzężony, unitarny lub normalny dla każdego
to operator
również.
- Operator
jest dodatni, jeśli dla każdego
operator
jest dodatni.
- Jeśli
(zob. notacja Diraca), gdzie
dla każdego
wówczas
[3]
- Jeżeli
i
są operatorami ograniczonymi na przestrzeniach Hilberta, których widmami są odpowiednio zbiory
i
to widmem iloczynu tensorowego
jest zbiór
[4].
- ↑ Chapter II: Observables and States in Tensor Product Of Hilbert Spaces. W: Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy: An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1992, s. 97–98. ISBN 3-7643-2697-2. (ang.).
- ↑ Chapter II: Observables and States in Tensor Product Of Hilbert Spaces. W: Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy: An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1992, s. 98–99. ISBN 3-7643-2697-2. (ang.).
- ↑ Chapter II: Observables and States in Tensor Product Of Hilbert Spaces. W: Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy: An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1992, s. 99. ISBN 3-7643-2697-2. (ang.).
- ↑ Arlen Brown, Carl Pearcy. Spectra of tensor products of operators. „Proceedings of the American Mathematical Society”. 17, s. 162, 1966.