Rząd macierzy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
Cechy niezależne od bazy:
macierz nieosobliwa
macierz osobliwa
macierz zerowa
macierz nilpotentna
macierz idempotentna

macierz ortogonalna
macierz symetryczna
macierz dodatnio określona
macierz antysymetryczna

macierz unitarna
macierz hermitowska

Cechy zależne od bazy:
macierz jednostkowa
macierz skalarna
macierz diagonalna
macierz trójkątna
macierz schodkowa
macierz klatkowa
macierz wstęgowa

macierz elementarna
macierz rzadka


Operacje na macierzach
operacje elementarne

mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie

mnożenie macierzy
odwracanie macierzy

transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona

diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
rząd macierzy
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
minor macierzy

widmo macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Rząd – w algebrze liniowej dla danego przekształcenia liniowego między przestrzeniami liniowymi nad ciałem wymiar obrazu tego przekształcenia, tzn. liczba wektorów bazowych podprzestrzeni liniowej przestrzeni w literaturze polskojęzycznej oznacza się go m.in. symbolami lub w literaturze anglojęzycznej można spotkać oznaczenia czy [1].

Wszystkie opisane niżej własności dotyczące skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych nad ciałami przenoszą się wprost na skończeniegenerowane moduły wolne nad pierścieniami przemiennymi (które można opisywać za pomocą macierzy nad tymi pierścieniami), dla których istnieje izomorfizm między danym modułem a modułem dualnym do niego; w ogólności może się zdarzyć, że rzędy tych przekształceń będą różne albo nawet nie możliwe do poprawnego zdefiniowania. W analizie funkcjonalnej, gdzie bada się przekształcenia liniowe między nieskończeniewymiarowymi przestrzeniami liniowymi (z dodatkowymi strukturami), przekształcenia mające skończony rząd nazywa się operatorami skończonego rzędu.

Macierze[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli są skończonego wymiaru odpowiednio to rząd również jest skończony i jest nie większy niż (gdyż wymiar dowolnej podprzestrzeni skończonego wymiaru jest skończony). Wybierając w i bazy, odpowiednio oraz wprowadza się izomorfizmy i W ten sposób przekształcenie można zapisać we współrzędnych (w bazach ) w postaci przekształcenia korzystając z przestrzeni współrzędnych macierzowych zapisuje się je zwykle w postaci macierzy typu nazywanej macierzą przekształcenia liniowego w bazach Jeśli dana własność będzie odnosić się tak do przekształcenia jak i jego macierzy to obiekty te zbiorczo będą oznaczane

Przekształcenia liniowe i ich macierze

Ponieważ kolumny macierzy są obrazami wektorów bazy w przekształceniu to rozpinają one w podprzestrzeń izomorficzną z obrazem dlatego rząd macierzy można definiować jako rząd tego przekształcenia liniowego, zwykle jednak czyni się na odwrót: definiuje się rząd macierzy i dowodzi, iż rzędy macierzy podobnych są równe, tzn. że rząd przekształcenia opisanego we współrzędnych nie zależy od ich wyboru (zob. Własności). W szczególności operacje elementarne zachowują rząd, co oznacza, że do jego obliczenia można wykorzystać metodę eliminacji Gaussa (lub metodę eliminacji Gaussa-Jordana): wówczas rząd jest równy liczbie niezerowych wierszy macierzy wynikowej mającej postać schodkową (zwykłą lub zredukowaną).

Przekształcenia dualne i macierze transponowane

Jeśli są skończeniewymiarowe, to istnieje wtedy izomorfizm między tymi przestrzeniami a przestrzeniami dualnymi przekształceniu odpowiada wtedy przekształcenie dualne któremu odpowiada z kolei macierz transponowana W związku z tym, że dualizacja jest izomorfizmem, przekształcenie ma rząd równy rzędowi a rząd macierzy jest równy rzędowi macierzy Wprost stąd wynika, że rząd nie może również przekraczać w połączeniu z obserwacją z pierwszego akapitu oznacza to więc, iż rzędy te są nie większe niż mniejsza z liczb

Ponieważ transpozycja macierzy zamienia rolami jej wiersze i kolumny, to rząd macierzy zwykło nazywać się rzędem kolumnowym, a z kolei rząd macierzy rzędem wierszowym macierzy Tłumaczy to, dlaczego zazwyczaj pojęcia te definiuje się odpowiednio jako maksymalną liczbę liniowo niezależnych wektorów kolumnowych bądź wierszowych danej macierzy bądź inaczej: wymiar powłoki liniowej rozpiętej na wektorach będących kolumnami lub wierszami danej macierzy.

Wyznacznik
 Zobacz też: wyznacznik.

Ponieważ do określenia liniowej niezależności wektorów, kolumnowych bądź wierszowych, macierzy można wykorzystać wyznacznik, to rząd macierzy można wyznaczyć jako największy stopniem niezerowy minor tej macierzy; czasami własność ta wykorzystywana jest jako definicja tzw. rzędu wyznacznikowego macierzy. W interpretacji geometrycznej oznacza to, że rząd układu wektorów kolumnowych bądź wierszowych danej macierzy jest równy największemu wymiarowi wielowymiarowego równoległościanu rozpinanego przez te wektory.

Własności

Rząd jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie jest trywialne (tzn. odwzorowujące wszystkie wektory w wektor zerowy), bądź macierz jest zerowa. Przekształcenie jest różnowartościowe (monomorifzmem) wtedy i tylko wtedy, gdy rząd tzn. ma „pełny rząd kolumnowy”, oraz na (epimorfizmem) wtedy i tylko wtedy, gdy rząd tzn. ma „pełny rząd wierszowy”. Ponadto jeśli z macierzą typu to rząd rząd rząd Jeśli zaś są przestrzeniami liniowymi nad odpowiednio wymiaru i dane są przekształcenia z macierzą typu rzędu oraz z macierzą typu rzędu to rzędy oraz są równe rzędowi

Niech będą endomorfizmami, a oznaczają ich kwadratowe macierze stopnia Wówczas z połączenia powyższych stwierdzeń o różnowartościowości i byciu „na” wynika, że endomorfizm jest odwracalny (izomorfizmem) bądź jego macierz jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy rząd tzn. ma „pełny rząd”. Zachodzi również tzw. nierówność Sylvestera o rzędzie: rząd rząd rząd

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Ang. rank, „rząd, szereg”, z norm. renc, reng; poch. germ., spokr. z swn. hring, „pierścień” (spokr. ze scs. krǫgŭ, „krąg”).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]