Rząd macierzy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
Cechy niezależne od bazy:
macierz nieosobliwa
macierz osobliwa
macierz zerowa
macierz nilpotentna
macierz idempotentna

macierz ortogonalna
macierz symetryczna
macierz dodatnio określona
macierz antysymetryczna

macierz unitarna
macierz hermitowska

Cechy zależne od bazy:
macierz jednostkowa
macierz skalarna
macierz diagonalna
macierz trójkątna
macierz schodkowa
macierz klatkowa
macierz wstęgowa

macierz elementarna
macierz rzadka


Operacje na macierzach
operacje elementarne

mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie

mnożenie macierzy
odwracanie macierzy

transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona

diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
rząd macierzy
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
minor macierzy

widmo macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Rząd macierzy (o elementach z pewnego ciała) - maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów tworzących kolumny danej macierzy.

Jeśli w powyższej definicji zastąpimy słowo "kolumna" słowem "wiersz", dostaniemy równoważną definicję rzędu[1].

Istnieją także inne równoważne definicje rzędu, oto dwie z nich:

  • Rząd macierzy jest to wymiar powłoki liniowej rozpiętej na wektorach będących kolumnami (wierszami) macierzy.
  • Rząd macierzy jest to największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy.

Rząd macierzy oznacza się symbolem (tylko w literaturze polskojęzycznej), lub .

Definicja formalna[edytuj]

Niech , gdzie oznacza zbiór macierzy o wyrazach z ciała i niech oznaczają kolumny macierzy . Kolumny macierzy można potraktować jako wektory przestrzeni wektorowej .

Rzędem macierzy nazywamy wymiar przestrzeni wektorowej rozpiętej na jej kolumnach .

Symbolicznie można to zapisać: [2].

Podstawowe własności[edytuj]

Załóżmy, że jest macierzą o wymiarze Wówczas:

  • , gdy A jest nazywana macierzą pełnego rzędu.
  • (tj. jest macierzą zerową).
  • Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rząd równy jest jej stopniowi.
  • Jeśli jest macierzą o wymiarze rzędu , to Podobnie, jeśli jest macierzą o wymiarze rzędu , to
  • Dla macierzy kwadratowych i stopnia zachodzi nierówność
nazywana nierównością Sylvestera o rzędach.
  • Jeśli jest macierzą o wymiarze , to
  • , czyli transpozycja nie zmienia rzędu.
  • Operacje elementarne nie zmieniają rzędu macierzy.

Rząd przekształcenia liniowego[edytuj]

Niech i będą, odpowiednio, n- i m-wymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem oraz będzie przekształceniem liniowym. Jeśli i bazami przestrzeni, odpowiednio, i , to przekształcenie A można utożsamiać z macierzą o m wierszach i n kolumnach. Okazuje się, że rząd tej macierzy nie zależy od wyboru baz (chociaż ona sama tak). Rząd macierzy przekształcenia liniowego nazywamy rzędem przekształcenia liniowego. Liczba ta ma związek z własnościami samego przekształcenia:

  • Przekształcenie jest różnowartościowe wtedy i tylko wtedy, gdy jego rząd jest równy n.
  • Przekształcenie jest "na" wtedy i tylko wtedy, gdy jego rząd jest równy m.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Definicje mogą nie być równoważne, jeśli elementy macierzy będą należały do pierścienia niebędącego ciałem. Może się nawet zdarzyć, że żadnej z tych definicji nie da się poprawnie wprowadzić.
  2. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, s.106, Definicja 6.4