Jądro (algebra liniowa)

Jądro – przeciwobraz wektora zerowego względem danego przekształcenia liniowego.

Definicja formalna

Jądro i obraz przekształcenia A.

Niech $V,\;W$ będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem $K$ i niech $A\colon V\to W$ będzie przekształceniem liniowym.

Jądrem przekształcenia liniowego $A$ nazywamy zbiór

$\ker A=\{x\in V\colon A(x)=0\},$

tj. zbiór elementów $x$ przestrzeni $V,$ które przechodzą w element $0$ przestrzeni $W.$

Oznaczenie $\ker$ pochodzi od ang. kernel.

Własności

• $\ker A$ jest podprzestrzenią liniową $V.$
• przekształcenie $A$ jest różnowartościowe $\iff \ker A=\{0\}$
• Obraz przekształcenia $A$ jest izomorficzny z ilorazem przestrzeni $V$ przez jądro tego przekształcenia

$\mathrm {im} (A)\cong V/\ker(A){\text{.}}$

• Wynika stąd twierdzenie o rzędzie: suma wymiaru jądra i wymiaru obrazu przekształcenia $A$ z przestrzeni $V$ jest równa wymiarowi przestrzeni $V{:}$

$\dim(\ker A)+\dim(\operatorname {im} A)=\dim V$

• Jeżeli $V$ jest przestrzenią z wewnętrznym iloczynem skalarnym, to iloraz $V/\ker(A)$ może być uważany za ortogonalne dopełnienie jądra $\ker A$ do przestrzeni $V.$

Zobacz też

• obraz przekształcenia liniowego (ozn. $\operatorname {im}$)
• wymiar przestrzeni (ozn. $\dim$)

Bibliografia

• Guściora H., Sadowski M., Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.