Jądro (algebra liniowa)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Jądro – w algebrze liniowej, przeciwobraz wektora zerowego względem danego przekształcenia liniowego.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Jądro i obraz przekształcenia A.

Niech V,\; W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K i niech A\colon V \to W będzie przekształceniem liniowym.

Jądrem przekształcenia liniowego A nazywamy zbiór

\ker A = \left\{x \in V \colon A(x) = 0 \right\},

tj. zbiór elementów x przestrzeni V, które przechodzą w element 0 przestrzeni W.

Oznaczenie \ker pochodzi od ang. kernel.

Własności[edytuj | edytuj kod]

\mathop{\mathrm{im}}(A) \cong V / \ker(A)\text{.}

  • Wynika stąd twierdzenie o rzędzie: suma wymiaru jądra i wymiaru obrazu przekształcenia A z przestrzeni V jest równa wymiarowi przestrzeni V:

\dim (\ker A) + \dim (\operatorname{im } A)= \dim V

  • Jeżeli V jest przestrzenią z wewnętrznym iloczynem skalarnym, to iloraz V / \ker(A) może być uważany za ortogonalne dopełnienie jądra  \ker A do przestrzeni V

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Guściora H., Sadowski M., Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979 r.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]