Przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń ilorazowaprzestrzeń liniowa otrzymana z innej poprzez „zwinięcie” podprzestrzeni liniowej do zera.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem zaś podprzestrzenią Zdefiniujmy na relację równoważności taką, że czyli jest w relacji z wtedy, gdy jedna z wartości może być otrzymana z drugiej poprzez dodanie elementu z Klasa równoważności jest często oznaczana przez

ponieważ jest dana jako

Klasy równoważności tej relacji nazywane są również warstwami względem podprzestrzeni wyznaczonymi przez wektor

Przestrzeń ilorazowa jest wówczas zdefiniowana jako czyli zbiór wszystkich warstw (klas równoważności) nad Iloczyn skalarny oraz dodawanie klas równoważności jest zdefiniowane przez równości

  • dla każdego

Sprawdzenie, że działania te są dobrze zdefiniowane (tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów) nie jest trudne, operacje te przemieniają w przestrzeń liniową nad

Przykłady i własności[edytuj | edytuj kod]

Najprostszym przykładem jest iloraz przestrzeni Niech zaś podprzestrzenią rozpinaną przez pierwsze wektorów bazy kanonicznej. Dwa wektory są określane jako równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy są zgodne na ostatnich współrzędnych. Przestrzeń ilorazowa jest izomorficzna z w oczywisty sposób.

Ogólniej, jeżeli daje się zapisać jako (wewnętrzna) suma prosta podprzestrzeni i

to przestrzeń ilorazowa jest naturalnie izomorficzna z

Jeżeli jest podprzestrzenią to kowymiar przestrzeni w jest zdefiniowany jako wymiar Jeżeli jest przestrzenią skończonego wymiaru, to jest to po prostu różnica wymiarów oraz

Istnieje naturalny epimorfizm, zwany epimorfizmem kanonicznym, z na przestrzeń ilorazową dany jako przesłanie elementu na jego klasę równoważności Jądrem tego epimorfizmu jest podprzestrzeń

Niech będzie przekształceniem liniowym. Jądrem oznaczanym przez jest zbiór wszystkich takich, że Jądro jest podprzestrzenią Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie algebry liniowej mówi, że przestrzeń ilorazowa jest izomorficzna z obrazem w Bezpośrednim wnioskiem (dla przestrzeni skończeniewymiarowych) jest twierdzenie twierdzenie o rzędzie: wymiar jest równy sumie wymiarów jądra i obrazu.

Kojądro operatora liniowych jest zdefiniowane jako przestrzeń ilorazowa zaś

Jeżeli będzie dane tak, aby zaś będzie epimorfizmem kanonicznym, to istnieje wówczas dokładnie jedno przekształcenie liniowe że Ponadto jeśli:

  • jest epimorfizmem, to również jest epimorfizmem,
  • to jest monomorfizmem.

Przestrzenie Banacha[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest przestrzenią Banacha, a domkniętą podprzestrzenią to iloraz również jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń ilorazowa posiada już strukturę przestrzeni liniowej na podstawie powyższych rozważań. Zdefiniujmy normę na wzorem

Przestrzeń ilorazowa jest zupełna względem tej normy, zatem jest to przestrzeń Banacha.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niech oznacza przestrzeń Banacha funkcji rzeczywistych na przedziale zaś oznacza podprzestrzeń wszystkich funkcji takich, że Wówczas warstwa (klasa równoważności) danej funkcji jest określona poprzez jej wartość w zerze, a przestrzeń ilorazowa jest izomorficzna z

Jeżeli jest przestrzenią Hilberta, to przestrzeń ilorazowa jest izomorficzna z dopełnieniem ortogonalnym

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]