Przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przestrzeń ilorazowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa otrzymana z innej poprzez „zwinięcie” podprzestrzeni liniowej do zera.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, zaś N podprzestrzenią V. Zdefiniujmy na V relację równoważności \sim taką, że x \sim y \iff x - y \in N, czyli x jest w relacji z y wtedy, gdy jedna z wartości może być otrzymana z drugiej poprzez dodanie elementu z N. Klasa równoważności x jest często oznaczana przez

[x] \equiv x + N,

ponieważ jest dana jako

[x] = \{x + n \mid n \in N\}.

Klasy równoważności tej relacji nazywane są również warstwami względem podprzestrzeni N wyznaczonymi przez wektor x.

Przestrzeń ilorazowa V/N jest wówczas zdefiniowana jako V/\sim, czyli zbiór wszystkich warstw (klas równoważności) nad V. Iloczyn skalarny oraz dodawanie klas równoważności jest zdefiniowane przez równości

  • \alpha[x] = [\alpha x] dla każdego \alpha \in K,
  • [x] + [y] = [x + y].

Sprawdzenie, że działania te są dobrze zdefiniowane (tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów) nie jest trudne, operacje te przemieniają V/N w przestrzeń liniową nad K.

Przykłady i własności[edytuj | edytuj kod]

Najprostszym przykładem jest iloraz przestrzeni \mathbb R^n. Niech m \le n, zaś \mathbb R^m podprzestrzenią rozpinaną przez pierwsze m wektorów bazy kanonicznej. Dwa wektory \mathbb R^n są określane jako równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy są zgodne na ostatnich n-m współrzędnych. Przestrzeń ilorazowa \mathbb R^n/\mathbb R^m jest izomorficzna z \mathbb R^{n-m} w oczywisty sposób.

Ogólniej, jeżeli V daje się zapisać jako (wewnętrzna) suma prosta podprzestrzeni U i W:

V = U \oplus W,

to przestrzeń ilorazowa V/U jest naturalnie izomorficzna z W.

Jeżeli U jest podprzestrzenią V, to kowymiar przestrzeni U w V jest zdefiniowany jako wymiar V/U. Jeżeli V jest przestrzenią skończonego wymiaru, to jest to po prostu różnica wymiarów V oraz U:

\operatorname{codim} U = \dim V/U = \dim V - \dim U.

Istnieje naturalny epimorfizm, zwany epimorfizmem kanonicznym, z V na przestrzeń ilorazową V/U dany jako przesłanie elementu x na jego klasę równoważności [x]. Jądrem tego epimorfizmu jest podprzestrzeń U.

Niech T\colon V \to W będzie przekształceniem liniowym. Jądrem T, oznaczanym przez \ker T jest zbiór wszystkich x \in V takich, że Tx = 0. Jądro jest podprzestrzenią V. Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie algebry liniowej mówi, że przestrzeń ilorazowa V/\ker T jest izomorficzna z obrazem V w W. Bezpośrednim wnioskiem (dla przestrzeni skończeniewymiarowych) jest twierdzenie twierdzenie o rzędzie: wymiar V jest równy sumie wymiarów jądra i obrazu.

Kojądro operatora liniowych T\colon V \to W jest zdefiniowane jako przestrzeń ilorazowa W/\operatorname{im}\;T, zaś V/\ker T \simeq \operatorname{im} T.

Jeżeli T będzie dane tak, aby W \subseteq \ker T, zaś R\colon V \to V/W będzie epimorfizmem kanonicznym, to istnieje wówczas dokładnie jedno przekształcenie liniowe S\colon V/W \to W, że S \circ R = T. Ponadto jeśli:

  • S jest epimorfizmem, to T również jest epimorfizmem,
  • W = \ker T, to S jest monomorfizmem.

Przestrzenie Banacha[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli X jest przestrzenią Banacha, a M domkniętą podprzestrzenią X, to iloraz X/M również jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń ilorazowa posiada już strukturę przestrzeni liniowej na podstawie powyższych rozważań. Zdefiniujmy normę na X/M wzorem

\|[x]\|_{X/M} = \inf_{m \in M} \|x-m\|_X.

Przestrzeń ilorazowa X/M jest zupełna względem tej normy, zatem jest to przestrzeń Banacha.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niech C[0,1] oznacza przestrzeń Banacha funkcji rzeczywistych na przedziale [0, 1], zaś M oznacza podprzestrzeń wszystkich funkcji f \in C[0,1] takich, że f(0) = 0. Wówczas warstwa (klasa równoważności) danej funkcji g jest określona poprzez jej wartość w zerze, a przestrzeń ilorazowa C[0,1]/M jest izomorficzna z \mathbb R.

Jeżeli X jest przestrzenią Hilberta, to przestrzeń ilorazowa X/M jest izomorficzna z dopełnieniem ortogonalnym M.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]