Przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń ilorazowaprzestrzeń liniowa otrzymana z innej poprzez „zwinięcie” podprzestrzeni liniowej do zera.

Definicja formalna[edytuj]

Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem , zaś podprzestrzenią . Zdefiniujmy na relację równoważności taką, że , czyli jest w relacji z wtedy, gdy jedna z wartości może być otrzymana z drugiej poprzez dodanie elementu z . Klasa równoważności jest często oznaczana przez

,

ponieważ jest dana jako

.

Klasy równoważności tej relacji nazywane są również warstwami względem podprzestrzeni wyznaczonymi przez wektor .

Przestrzeń ilorazowa jest wówczas zdefiniowana jako , czyli zbiór wszystkich warstw (klas równoważności) nad . Iloczyn skalarny oraz dodawanie klas równoważności jest zdefiniowane przez równości

  • dla każdego ,
  • .

Sprawdzenie, że działania te są dobrze zdefiniowane (tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów) nie jest trudne, operacje te przemieniają w przestrzeń liniową nad .

Przykłady i własności[edytuj]

Najprostszym przykładem jest iloraz przestrzeni . Niech , zaś podprzestrzenią rozpinaną przez pierwsze wektorów bazy kanonicznej. Dwa wektory są określane jako równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy są zgodne na ostatnich współrzędnych. Przestrzeń ilorazowa jest izomorficzna z w oczywisty sposób.

Ogólniej, jeżeli daje się zapisać jako (wewnętrzna) suma prosta podprzestrzeni i :

,

to przestrzeń ilorazowa jest naturalnie izomorficzna z .

Jeżeli jest podprzestrzenią , to kowymiar przestrzeni w jest zdefiniowany jako wymiar . Jeżeli jest przestrzenią skończonego wymiaru, to jest to po prostu różnica wymiarów oraz :

.

Istnieje naturalny epimorfizm, zwany epimorfizmem kanonicznym, z na przestrzeń ilorazową dany jako przesłanie elementu na jego klasę równoważności . Jądrem tego epimorfizmu jest podprzestrzeń .

Niech będzie przekształceniem liniowym. Jądrem , oznaczanym przez jest zbiór wszystkich takich, że . Jądro jest podprzestrzenią . Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie algebry liniowej mówi, że przestrzeń ilorazowa jest izomorficzna z obrazem w . Bezpośrednim wnioskiem (dla przestrzeni skończeniewymiarowych) jest twierdzenie twierdzenie o rzędzie: wymiar jest równy sumie wymiarów jądra i obrazu.

Kojądro operatora liniowych jest zdefiniowane jako przestrzeń ilorazowa , zaś .

Jeżeli będzie dane tak, aby , zaś będzie epimorfizmem kanonicznym, to istnieje wówczas dokładnie jedno przekształcenie liniowe , że . Ponadto jeśli:

  • jest epimorfizmem, to również jest epimorfizmem,
  • , to jest monomorfizmem.

Przestrzenie Banacha[edytuj]

Jeżeli jest przestrzenią Banacha, a domkniętą podprzestrzenią , to iloraz również jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń ilorazowa posiada już strukturę przestrzeni liniowej na podstawie powyższych rozważań. Zdefiniujmy normę na wzorem

.

Przestrzeń ilorazowa jest zupełna względem tej normy, zatem jest to przestrzeń Banacha.

Przykłady[edytuj]

Niech oznacza przestrzeń Banacha funkcji rzeczywistych na przedziale , zaś oznacza podprzestrzeń wszystkich funkcji takich, że . Wówczas warstwa (klasa równoważności) danej funkcji jest określona poprzez jej wartość w zerze, a przestrzeń ilorazowa jest izomorficzna z .

Jeżeli jest przestrzenią Hilberta, to przestrzeń ilorazowa jest izomorficzna z dopełnieniem ortogonalnym .

Zobacz też[edytuj]