Przeciwobraz

Diagram przykładowej funkcji. Przeciwobrazem elementu $a$ jest jedynka $\{1\},$ przeciwobrazem elementu $b$ – zbiór dwuelementowy dwójki i trójki $\{2;\ 3\},$ a przeciwobrazy elementów $c$ i $d$ są puste $(\emptyset ).$

Przeciwobraz zbioru – pojęcie matematyczne, konkretniej teorii mnogości, związane z dowolną funkcją lub inną relacją dwuargumentową. Przeciwobrazy definiuje się dla podzbiorów przeciwdziedziny – dla funkcji $f\colon X\to Y$ przeciwobrazy dotyczą dowolnego zbioru $B\subseteq Y$. Przeciwobraz zbioru $B$ to zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowane na elementy $B$.

Pojęcie przeciwobrazu bywa używane w różnych działach matematyki, nie tylko wyższej; przeciwobrazami można definiować inne pojęcia jak miejsce zerowe i funkcja ciągła.

Przeciwobraz względem funkcji

Definicje i zapis

Niech $f\colon X\to Y$ oznacza dowolną funkcję ze zbioru $X$ w zbiór $Y$. Przeciwobrazem zbioru $B\subseteq Y$ względem $f$ nazywa się podzbiór zbioru $X$ określony wzorem

$f^{-1}[B]=\{x\in X\colon f(x)\in B\}.$

Inne oznaczenia:

• $f^{-1}(B);$
• ${\vec {f}}^{-1}(B).$

Przeciwobraz względem ustalonej funkcji $f$, oznaczany ${\vec {f}}^{-1}$, to funkcja ze zbioru potęgowego zbioru $Y$ w zbiór potęgowy zbioru $X$, czyli ${\vec {f}}^{-1}:2^{Y}\rightarrow 2^{X}$.

Symbol $f^{-1}$ stosuje się do funkcji odwrotnych, które są odrębnym pojęciem. Ono pokrywa się z przeciwobrazem wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ jest bijekcją.

Przykłady

Niech funkcja rzeczywista $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ będzie dana wzorem $f(x,y)=x^{2}+y^{2}.$ Przeciwobraz liczby rzeczywistej $a$ przy tej funkcji – oznaczany $f^{-1}(a)$ – zależy od jej wartości:

• dla $a>0$ przeciwobrazami są okręgi o wspólnym środku w początku układu współrzędnych;
• dla $a=0$ przeciwobrazem jest sam początek układu;
• dla $a<0$ przeciwobrazem jest zbiór pusty.

Własności

Istnieją ogólne związki przeciwobrazu z działaniami na zbiorach takimi jak suma $(\cup ),$ przekrój $(\cap )$ i różnica $(\backslash ).$ Jeśli $B,B_{1},B_{2}\subseteq Y,$ to:

• $f^{-1}[B_{1}\cup B_{2}]=f^{-1}[B_{1}]\cup f^{-1}[B_{2}];$
• $f^{-1}[B_{1}\cap B_{2}]=f^{-1}[B_{1}]\cap f^{-1}[B_{2}];$
• $f^{-1}[Y\backslash B]=f^{-1}[Y]\backslash f^{-1}[B].$

Istnieją też ogólne związki z pojęciem obrazu zbioru:

• obraz przeciwobrazu to podzbiór wyjściowego zbioru: $f[f^{-1}[B]]\subseteq B.$ Równość zachodzi dla funkcji „na” (suriekcji);
• przeciwobraz obrazu to nadzbiór wyjściowego zbioru: $f^{-1}[f[A]]\supseteq A.$ Równość zachodzi dla funkcji różnowartościowych (iniekcji).

Włókna

Przeciwobraz zbioru jednoelementowego oznacza się $\textstyle f^{-1}[\scriptstyle \{y\}\textstyle ]$ lub krócej $f^{-1}[y].$ Nazywa się go włóknem nad $y$, poziomicą lub warstwicą $y$.

Zbiór wszystkich włókien nad elementami $Y$ tworzy rodzinę zbiorów indeksowaną przez $Y.$ Prowadzi to do pojęcia kategorii rozwłóknień.

Bibliografia

• Thomas ScottT.S. Blyth Thomas ScottT.S., Lattices and Ordered Algebraic Structures, London: Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5, OCLC 262677746 .
• Wacław Leksiński, Ireneusz Nabiałek, Wojciech Żakowski: Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania. Wyd. V. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1995, seria: Podręczniki akademickie: elektronika, informatyka, telekomunikacja. ISBN 83-204-1892-5.
• Barbara Stanosz: Ćwiczenia z logiki. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012. ISBN 978-83-01-14428-9.

Linki zewnętrzne

• Piotr Stachura, Przeciwobraz zbioru w odwzorowaniu, kanał Khan Academy na YouTube, 10 sierpnia 2016 [dostęp 2024-07-25].