Obraz i przeciwobraz

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Przeciwobraz)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Obrazzbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny. Przeciwobraz – zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowywane na elementy danego podzbioru przeciwdziedziny.

Obraz i przeciwobraz można zdefiniować nie tylko dla funkcji, ale ogólnie dla wszystkich relacji dwuargumentowych.

Definicja[edytuj]

Słowo „obraz” może oznaczać jedno z trzech poniższych, powiązanych ze sobą, pojęć. Dalej oznacza funkcję (w szczególności, np. w algebrze liniowej, operator) ze zbioru w zbiór

Obraz elementu[edytuj]

Jeżeli jest elementem to czyli wartość funkcji na elemencie nazywa się obrazem poprzez

Obraz zbioru[edytuj]

Obrazem zbioru w funkcji nazywa się podzbiór wszystkich obrazów elementów tego zbioru, tzn. zbiór
Jeżeli nie istnieje ryzyko pomyłki, to zamiast pisze się Zapis ten pozwala na interpretację obrazu poprzez jako funkcji, której dziedziną jest zbiór potęgowy (wszystkie podzbiory) zbioru a przeciwdziedziną zbiór potęgowy zbioru

Obraz funkcji[edytuj]

f jest funkcją o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y. Żółty owal w Y jest obrazem funkcji f.
Obraz całej dziedziny nazywa się zwykle obrazem funkcji Do innych oznaczeń należą również (j.w.), (ang. image – obraz).

Przeciwobraz[edytuj]

Przeciwobrazem zbioru względem nazywa się podzbiór zbioru określony wzorem
Przeciwobraz zbioru jednoelementowego, oznaczany symbolem lub , nazywa się włóknem nad lub poziomicą lub warstwicą
Zbiór wszystkich włókien nad elementami tworzy rodzinę zbiorów indeksowaną przez Prowadzi to do pojęcia kategorii rozwłóknień.
Jeśli nie ma ryzyka pomyłki, to można oznaczać symbolem i myśleć o jako o funkcji ze zbioru potęgowego w zbiór potęgowy Oznaczenie może przywodzić na myśl notację odrębnego pojęcia funkcji odwrotnej, które pokrywa się z pojęciem przeciwobrazu wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją.

Notacja[edytuj]

Tradycyjne sposoby zapisu przedstawione w wyżej mogą prowadzić do nieścisłości. Alternatywą[1] może być wyodrębnienie oddzielnych nazw dla obrazu i przeciwobrazu jako funkcji między zbiorami potęgowymi:

Notacja strzałkowa
gdzie
gdzie
Notacja gwiazdkowa
zamiast
zamiast
Inne
Alternatywną notacją wykorzystywaną m.in. w logice matematycznej i teorii mnogości jest
W niektórych pracach obraz nazywa się także „zbiorem wartości”, jednak w ogólności powinno unikać się tego wyrażenia, ponieważ niekiedy terminem tym określa się jednak całą przeciwdziedzinę. Podobny problem istnieje w języku angielskim, z którego zapożyczono oznaczenia obrazu funkcji postaci bądź (ang. range – zbiór wartości, przeciwdziedzina; dosł. zakres).

Przykłady[edytuj]

Krzywa sercowa jako obraz okręgu jednostkowego.
  • określona wzorem
    Obrazem zbioru poprzez jest Obrazem funkcji jest Przeciwobrazem jest Przeciwobrazem również jest Przeciwobrazem jest zbiór pusty
  • dana wzorem
    Obrazem w jest a obrazem jest Przeciwobraz w to Przeciwobrazem zbioru w jest zbiór pusty, ponieważ liczby ujemne nie mają pierwiastków kwadratowych w zbiorze liczb rzeczywistych.
  • dana wzorem
    Włóknami (poziomicami) okręgi o wspólnym środku w początku układu współrzędnych, sam początek i zbiór pusty, w zależności od wartości parametru odpowiednio: oraz
  • Jeżeli jest rozmaitością, a jest rzutem kanonicznym wiązki stycznej na to przestrzenie styczne dla Jest to przykład wiązki włóknistej.

Własności[edytuj]

Niech dana będzie funkcja Dla wszystkich podzbiorów oraz zachodzą następujące własności:

  • obraz jest podzbiorem przeciwdziedziny, a przeciwobraz – dziedziny,
    oraz
  • działania brania obrazu i przeciwobrazu związane są ze sobą następującymi relacjami:
    (równość dla funkcji „na”),
    (równość dla funkcji różnowartościowej),
  • operacje obrazu i przeciwobrazu są monotoniczne, tzn.
    oraz
  • prawdziwe są także poniższe związki z działaniami brania sumy i przekroju zbiorów:
    (równość, gdy funkcja jest różnowartościowa),
  • zachodzi również następujący związek z braniem dopełnienia zbioru:
  • z powyższych wynikają w szczególności te oto relacje z różnicą zbiorów:
    .
  • istnieje też tożsamość wiążąca przeciwobraz z zawężeniem funkcji:

Wyżej przedstawione stosunki łączące obrazy i przeciwobrazy z algebrą (Boole'a) przekrojów i sum zachodzą nie tylko dla par zbiorów (a przez indukcję – skończonej ich liczby), ale także dla dowolnej rodziny podzbiorów (także nieprzeliczalnej). Niech będzie rodziną indeksowaną podzbiorów a będzie rodziną indeksowaną podzbiorów Wówczas

oraz

W języku algebry podzbiorów powyższe obserwacje oznaczają, że funkcja brania przeciwobrazu jest homomorfizmem krat, zaś funkcja obrazu jest tylko homomorfizmem półkrat (ponieważ nie zawsze zachowuje przekroje).

Przeciwobraz zbioru względem złożenia dwóch funkcji oraz dany jest wzorem:

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Blyth 2005, s. 5

Bibliografia[edytuj]